Suma lui Gauss

Cum calculați $1+2+3+\dots+17$? Desigur, nu vă apucați să adunați termen cu termen, ci vă folosiți de metoda deșteaptă descoperită de Gauss și anume de aceea în care transformați această sumă într-un produs. Mai exact, îl luați frumușel pe ultimul termen (pe 17), îl înmulțiți cu succesorul său (adică cu 18) și împărțiți rezultatul la 2. Sau puteți începe întâi cu împărțirea numărului par (dintre două numere consecutive, întotdeauna unul va fi par).

Dar cum calculați $4+7+10+\dots+121$? Aici aveți de parcurs trei pași:

Pasul 1: determinați rația R, adică diferența dintre doi termeni consecutivi, deci cu cât crește fiecare termen. În cazul nostru rația este 3.

Pasul 2: determinați câte numere aveți de adunat. Pentru aceasta folosiți formula: $$\color{blue}{N=\frac{Ultimul-Primul}{Rație}+1}.$$ În cazul nostru, $N=\frac{121-4}{3}+1=40$.

Pasul 3: determinați, în sfârșit, suma propriu-zisă cu formula $$\color{red}{S=\frac{(Ultimul+Primul)\cdot \color{blue}{N}}{2}}.$$ Adică, în cazul nostru, $S=\frac{(121+4)\cdot 40}{2}=125\cdot 20=2500$.

Vă rog să observați că în pasul al treilea se adună ultimul și primul termen, nu se scad precum se făcea în pasul al doilea.

Apropo, puteți calcula această sumă și cu ajutorul minunatului Wolframalpha, accesând acest link. 

Mult succes!

Bacalaureat, M2, V39SIP2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3-2x$. Să se calculeze $f(0)+f(1)+f(2)+\dots +f(6)$.


Problema poate fi rezolvată „băbește” (deci, cam așa cum ar proceda o băbuță care nu prea știe Matematică). Adică, putem lua pe rând fiecare termen al sumei și să ne apucăm să-l determinăm, după care să adunăm termenii obținuți, să ne bucurăm de rezultat și să ne mirăm de ce nu am primit punctajul maxim din moment ce am prezentat rezultatul.

Facem, așadar: $f(0)=3-2\cdot 0=3-0=3$, $f(1)=3-2\cdot 1=3-2=1$, $f(2)=3-2\cdot 2=3-4=-1$ și așa mai departe, până la $f(6)=3-2\cdot 6=3-12=-9$. 

Dar, atenție la expresia „și așa mai departe”! Tocmai asta înseamnă punctele acelea de suspensie „$\dots$”, că trebuie să calculăm și $f(3)$ și $f(4)$ și $f(5)$! Unii elevi le lasă pe astea afară, pentru că nu cunosc încă semnificația punctelor de suspensie (pentru că nici nu s-a deranjat vreun profesor de mate să le spună vreodată un asemenea „fleac”, ci, eventual au fost subînțelese din limbajul natural). Ori, asemenea eșecuri îi determină pe elevi să urască Matematica, lucru extrem de grav pentru el însuși și pentru societate.

Deci, am calculat băbește toți cei șapte termeni (șase plus unu), aceștia fiind $3$, $1$, $-1$, $-3$, $-5$, $-7$ și $-9$. Mai departe ne apucăm să-i adunăm, desigur, tot băbește: $$3+1+(-1)+(-3)+(-5)+(-7)+(-9)=\color{red}{-21}.$$

Deci, rezultatul cerut este $-21$. Metoda de aflare a acestui rezultat îi spune deja examinatorului foarte multe despre lucrarea pe care urmează să o corecteze, despre elevul a cărui lucrare o are în față. Examinatorului i-ar fi plăcut să vadă o rezolvare mai eficientă, bazată pe niște cunoștințe mai generale. Ce făcea elevul dacă, în loc de $f(6)$, expresia de calculat s-ar fi terminat cu $f(60)$ sau cu $f(600)$? Ar fi calculat până la ieșirea din examen?

Examinatorului i-ar fi plăcut să vadă o rezolvare bazată pe cunoștințele elevului despre PROGRESII ARITMETICE. Aceste cunoștințe i-ar fi permis elevului să folosească REGULA SUMEI pentru progresiile aritmetice, care spune că:

• suma termenilor unei progresii aritmetice este, de fapt, mai simplu, un produs (o înmulțire) dintre numărul de termeni care trebuie adunați și media aritmetică dintre primul și ultimul termen al sumei.

Așadar, elevul trebuia să înceapă rezolvarea cu observația că termenii ce trebuie adunați sunt în progresie aritmetică (de rație $-2$ (numărul din fața lui $x$), adică termenii merg din $-2$ în $-2$). Cum numărul de termeni din această progresie este ușor de stabilit (șase plus unu, deci șapte), rezulta că singurul lucru mai greu de calculat era media aritmetică dintre primul și ultimul termen al sumei.

Dar, așa cum media notelor este suma lor împărțită cu numărul lor, tot astfel, media aritmetică dintre primul și ultimul număr al sumei este $$\frac{f(0)+f(6)}{2}=\frac{3+(-9)}{2}=\frac{-6}{2}=\color{lightgreen}{-3}.$$

Așadar, din regula sumei, aflăm că rezultatul este $$S=\color{blue}{7}\cdot(\color{lightgreen}{-3})=\color{red}{-21}.$$

Același rezultat ca mai sus, dar obținut mult mai elegant, mult mai rapid și valabil pentru mult mai multe cazuri. Iar a cunoaște Matematică înseamnă a cunoaște cât mai multe dintre asemenea scurtături.

Mate-info 2016, subiectul I, problema 1

Determinați numărul real $x$ știind că numerele $7$, $3x$ și $x^2+2$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Așa cum v-am povestit într-un articol precedent în care am scris despre progresii aritmetice, când este vorba despre "termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice" înseamnă că este vorba de regulă de TREI termeni ai unei progresii aritmetice, termeni care vin frumos, ordonat, unul după celălalt. Iar atunci când este vorba despre trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, trebuie să vă amintiți automat de faptul că termenul din mijlocul celor trei este tocmai media aritmetică a vecinilor săi.

Progresii aritmetice

Progresia aritmetică este un $\textit{șir}$ de numere. Dar nu orice șir de numere, ci unul foarte special. Și anume, un șir de numere care „merg din câtva în câtva”, prin adunare. (Cele care merg prin înmulțire se numesc „progresii $\textit{geometrice}$”.)

De exemplu, șirul de numere $3,5,7,9,\dots$ este o progresie aritmetică de numere care merg din doi în doi. Acest „doi” se numește $\textit{rația}$ progresiei aritmetice. Dacă știm rația unei progresii aritmetice, atunci știm aproape totul despre ea.

Am spus „aproape totul” pentru că există de exemplu și alte progresii aritmetice care merg din doi în doi, dar care sunt, totuși, diferite de această progresie dată ca exemplu mai sus. Un asemenea exemplu diferit de progresie aritmetică din doi în doi este $2,4,6,8,\dots$. Vedeți că și această progresie aritmetică merge din doi în doi, doar că ea $\textit{nu începe}$ la fel ca progresia precedentă.