Inegalitatea mediilor: media aritmetică este mai mare decât media geometrică

Folosindu-ne de cea mai importantă inegalitate din gimnaziu, despre care am discutat în articolul precedent, putem obține o nouă inegalitate importantă, valabilă pentru medii.

Mai exact, dacă pornim de la două numere reale pozitive $0\leq a\leq b$, putem calcula media lor aritmetică dată de $$M_a(a,b)=\frac{a+b}{2}$$ și media lor geometrică $$M_g=\sqrt{a\cdot b}.$$

De exemplu, dacă numerele sunt $a=4$ și $b=9$, atunci media lor aritmetică este $$M_a=\frac{4+9}{2}=\frac{13}{2}=6,5$$ și $$M_g=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6.$$

Observați deja că $6,5>6$ și astfel media aritmetică a celor două numere alese este mai mare decât media lor geometrică. 

Această inegalitate este una generală, în sensul că media aritmetică a două (sau mai multor) numere reale pozitive este întotdeauna mai mare sau cel puțin egală cu media lor geometrică. Deci, întotdeauna avem $$\color{red}{\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{a\cdot b}}.$$

Căci, pornind de la cea mai importantă inegalitate din gimnaziu, care ne spune că orice număr real ridicat la puterea a doua este mai mare decât zero sau cel puțin egal cu zero, rezultă că acest lucru este valabil și pentru diferența a două numere reale pozitive, oricare ar fi ele $(x-y)^2$, adică avem $$(x-y)^2\geq 0.$$ 

Mai departe, ridicând la puterea a doua paranteza prin înmulțirea parantezei cu ea însăși sau prin utilizarea formulei de calcul prescurtat, vom avea că $$(x-y)^2=(x-y)\cdot(x-y)=x^2-xy-yx+y^2=x^2-2xy+y^2.$$ Și cum $(x-y)^2\geq 0$, rezultă că $$x^2-2xy+y^2\geq 0,$$ ceea ce mai înseamnă și $$x^2+y^2\geq 2xy$$ (am aruncat în dreapta termenul $2xy$) și mai înseamnă și $$\frac{x^2+y^2}{2}\geq xy$$ (am împărțit inegalitatea precedentă cu 2).

Acum, notând $x^2=a$ și $y^2=b$, cum $a$ și $b$ sunt pozitive, va rezulta că $x=\sqrt{a}$, $y=\sqrt{b}$ și $xy=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, ceea ce ne duce direct la inegalitatea mediilor.

Și există o medie (media pătratică) care este chiar mai mare decât media aritmetică. Pentru numerele concrete alese mai sus avem $$M_p=\sqrt{\frac{4^2+9^2}{2}}=\sqrt{48,5}\approx 6,96.$$

Și există o medie (media armonică) care este mai mică decât media geometrică. Media armonică a lui 4 și 9 este $$M_h=\frac{2}{\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}=\frac{2}{0,25+0,(1)}\approx 5,53.$$

Astfel, putem sintetiza inegalitatea mediilor mai frumos: $$\color{red}{b\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\geq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq a}.$$

Din această inegalitate celebră mai rezultă că dacă oricare două dintre aceste medii sunt egale, va rezulta că și numerele ale căror medii se calculează sunt egale, concluzie foarte subtilă ce este valorificată în unele probleme mai dificile.

Cea mai importantă inegalitate din gimnaziu!

Elevii de clasa a șasea învață să lucreze cu numere negative, mai mici decât zero. Ca exemplu, primesc temperatura mediului înconjurător sau etajele de la subsolul unor clădiri înalte. 

Li se spune că iarna, atunci când este mai frig decât frigul la care îngheață apele curate, temperatura este negativă, mercurul termometrului fiind foarte înghesuit, ocupând volum mai mic, în timp ce vara temperatura este, de regulă, pozitivă, iar mercurul termometrului este extins mai mult, dilatat mai mult. 

De exemplu, atunci când temperatura este de $-3^o$, este mai frig (nivelul mercurului este mai coborât) decât atunci când temperatura este de $+5^o$, iar diferența de temperatură în acest caz este de $8^o$, adică mercurul urcă 8 etaje ca să ajungă de la etajul $-3$ la etajul 5.

Apoi, după ce au învățat numerele negative, învață să lucreze cu puterile acestora și află că dacă exponentul la care se ridică un număr negativ este par, atunci rezultatul ridicării este un număr pozitiv. De exemplu, $(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=+9$.

Din acest moment li se poate povesti despre cea mai importantă inegalitate din gimnaziu și anume despre faptul că $$\color{red}{orice^2\geq 0}.$$

Așadar, orice număr învățat în gimnaziu, ridicat la puterea a doua va da un rezultat pozitiv, indiferent de număr. 

În liceu se învață și alt tip de numere (așa-numitele numere complexe), care ridicate la pătrat ne pot da și un rezultat negativ.

Această inegalitate de care v-am vorbit este cea mai importantă, deoarece din ea rezultă o mulțime de alte inegalități. De exemplu, inegalitatea mediilor se demonstrează ușor cu această inegalitate importantă, ceea ce denotă că inegalitatea mediilor este o consecință frumoasă a celei mai importante inegalități din gimnaziu. 

Așadar, dragii mei, rogu-vă să vă amintiți des despre această minunăție învățată în gimnaziu, căci ea vă va scoate din belele în majoritatea cazurilor când vi se va cere să demonstrați o inegalitate.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2b

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $I_{n+1} \leq I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 


Ca să demonstrăm o asemenea inegalitate de integrale ne folosim de monotonia integralei. Într-un articol precedent recent spuneam ceva important despre monotonie, spuneam că funcțiile crescătoare nu modifică semnul inegalității, pe când cele descrescătoare îl modifică.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1c

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Demonstrați că $f(2\sqrt 3 )<f(3\sqrt 2)$.


Dacă v-aș fi cerut să comparați numerele $2\sqrt 3 $ și $3\sqrt 2 $, ați fi găsit că $2\sqrt 3 <3\sqrt 2$, căci ați fi introdus sub radical (prin ridicare la pătrat) numerele din fața radicalului.

Acum amintiți-vă regula aia minunată: funcțiile crescătoare nu modifică semnul unei inegalități. În schimb, funcțiile descrescătoare modifică (îl inversează) semnul inegalităților asupra cărora sunt aplicate. Amănunte despre această proprietate puteți găsi în articolul în care descriam legătura dintre monotonie și derivată.

Să se demonstreze că inegalitatea $e^x\geqslant x+1$ este adevărată pentru orice număr real $x$.

Pentru a demonstra o inegalitate de acest gen cu metode de liceu avem la dispoziție legătura dintre monotonia unei funcții și derivată. Această legătură spune că dacă derivata funcției date este pozitivă, atunci funcția însăși este crescătoare.

Deși la prima vedere nu pare să ne ajute prea mult această informație pentru a demonstra inegalitatea cerută, vom vedea totuși că tabelul cu monotonia funcției este foarte prețios în acest caz. Și sunt mari șanse ca ori de câte ori vi se cere să demonstrați o inegalitate, tabelul cu monotonia unei funcții legate de acea inegalitate să fie baza demonstrației.

După cum ați observat deja (dacă ați observat, dar nu-i musai), pentru a demonstra o inegalitate avem nevoie întâi de o funcție. De o funcție legată de acea inegalitate. Și nu-i ușor să găsim o asemenea funcție cu care putem demonstra inegalitatea. Elevul care poate găsi o asemenea funcție este demn de a fi felicitat.