Un prim filmuleț de când am tableta grafică

Mi-am cumpărat recent o tabletă grafică și mă bate gândul să vă transmit multă informație cu ajutorul ei prin intermediul unor filmulețe cu care să rezolv niște probleme de mate cu lux de amănunte.

Iată, deci, primul asemenea filmuleț, în care vorbesc despre combinări și aranjamente.

Bacalaureat V39SIP4

Câte numere formate din 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{1,2,3,4\}$?

Un exemplu de număr bun este 123 pentru că el trebuie să fie din trei cifre. Un contraexemplu (număr ne-bun) este 111 pentru că cifrele acestui număr nu sunt distincte. Alt număr ne-bun este 567 pentru că cifrele sale nu se află în mulțimea indicată. 

Alt număr bun este 321. Deci, iată că la noi contează ordinea cifrelor, căci modificând ordinea cifrelor putem adăuga alte numere în lista pe care trebuie s-o numărăm.

Câte posibilități sunt? Observați că dacă nu am folosi cifra 4 problema noastră s-ar reduce la una mai simplă: câte numere de trei cifre distincte (deci, diferite) puteți forma cu (primele) trei cifre? 

Dar câte numere de trei cifre diferite puteți forma cu trei cifre diferite? Contează ordinea cifrelor. Și fiecare trebuie să ajungă în toate pozițiile. Asta înseamnă că trebuie să le permutăm pe toate. Deci, răspunsul acesta mic ar fi „permutări de trei”. Permutări de trei înseamnă „trei factorial”, adică $3\cdot 2\cdot 1$, adică șase.

Deci, sunt șase posibilități de a scrie un număr de trei cifre diferite cu trei cifre, indiferent care ar fi acele cifre. Iată, deci, că dacă lipsește cifra 4 din listă, putem forma șase numere bune pentru noi.

Dar tot șase numere bune vom putea forma și dacă lipsește cifra 3. Căci nu contează care lipsește. Căci și cu cifrele 1, 2, 4 putem forma tot „permutări de trei”, căci tot trei cifre sunt acolo, indiferent care sunt ele.

Observați, deci, că în total putem forma de patru ori combinații de câte șase. Șase numere când lipsește cifra 4, șase numere când lipsește cifra 3, șase numere când lipsește cifra 2 și șase numere când lipsește cifra 1. Acest joc de combinații se numește „aranjamente”. Deci, putem aranja patru cifre în grupuri de câte trei în $4\cdot 6=\color{red}{24}$ de feluri. 



Atunci când elementele folosite trebuie să fie distincte și când contează ordinea lor folosim aranjamente. Dacă nu contează ordinea lor, folosim combinări. 

Dacă ni s-ar fi dat mulțimea $A=\{2,3,4,5,6,7\}$ și ni s-ar fi cerut să aflăm câte numere cu câte 2 cifre distincte (în loc de 3 cum ni s-a cerut în problema dată) putem face cu cifre din această mulțime, am fi raționat astfel: 

• distincte, deci vom folosi aranjamente sau combinări
• contează ordinea, căci trebuie să formăm numere, deci folosim aranjamente. Dacă ni s-ar fi cerut să formăm submulțimi, atunci nu ar fi contat ordinea (căci nu contează ordinea elementelor într-o mulțime) și am fi folosit combinări.
• așadar, rezultatul ar fi fost $A_6^2=6\cdot 5=30$, căci sunt șase cifre în mulțimea pe care o putem folosi și trebuie să formăm numere de câte două cifre.

Mate-info 2016, subiectul I, problema 4

Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii $A=\{\sqrt 1,\, \sqrt 2, \,\sqrt 3, \,\sqrt 4, \,\sqrt 5, \,\sqrt 6 \}$,  aceasta să aibă cel mult două elemente. 

Să facem, pentru început, o oarecare introducere în lumea probabilităților.

Probabilitatea este un număr. Un număr cuprins între zero și unu, inclusiv. Probabilitatea ne arată cât de des se întâmplă ceva ce ne interesează. De exemplu, dacă ne interesează cât de des apare fața pe care se află numărul doi de la un zar cu șase fețe (căci pot exista și zaruri cu patru fețe (cum ar arăta un zar cu patru fețe?) sau cu opt fețe), atunci teoria probabilităților ne spune că feței cu numărul doi îi este asociată probabilitatea $\frac{1 }{6}$, adică undeva la $0,1666$. 

Combinări de n luate câte k

Definiția

Am să vă povestesc azi despre combinări. Combinările sunt niște numere, numere naturale (adică, fără minus și fără virgulă). Ele ne arată câte submulțimi putem forma cu niște elemente.

De exemplu, dacă cineva o să vă întrebe câte submulțimi de câte două elemente se pot forma cu elemente furate dintr-o mulțime care are patru elemente, atunci voi le veți putea răspunde că numărul căutat este „combinări de patru luate câte doi” și veți scrie . El este egal cu șase. Și vom vedea mai jos de ce.

Numărare

Dar oare cât o fi acest număr? Cât este combinări de patru luate câte doi? Păi, haideți să numărăm mulțimile. Începem cu o mulțime care are patru elemente. Fie aceasta . Să vedem câte submulțimi de câte două elemente putem forma cu elemente furate din această mulțime.

Vom avea următoarele mulțimi posibile: ,,,,și . Deci, combinări de patru luate câte doi este egal cu șase. Căci avem șase submulțimi posibile. Scriem condensat

.