O prietenie dintre cerc și triunghiul dreptunghic, care durează de milioane de ani

Se spune că, demult, încă din negura vremurilor, cu mult înainte de apariția dinozaurilor, cercul și-a dat întâlnire cu triunghiul dreptunghic, în taină și nu s-au mai despărțit de atunci niciodată. Și nici nu se vor mai despărți vreodată, deoarece au jurat într-o prietenie veșnică. Iar ei se țin de cuvânt...

De-a lungul anilor, însă, odată cu apariția pe Pământ a omului pasionat de Matematică (homo mathematicus), taina celor două figuri geometrice a început să se risipească, în ciuda faptului că ele au rămas, totuși, prietene.

Și iată care este taina lor, ascunsă în imaginea de mai jos:

Ce trebuie să observați aici? Că unghiul CAB subîntinde semicercul roșu, adică are $90^o$, astfel că triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar ipotenuza triunghiului dreptunghic este tocmai diametrul cercului circumscris triunghiului. 

Mai observați de aici că segmentele OA, OB și OC sunt tocmai raze ale cercului circumscris, deci sunt egale între ele, proprietate ce poartă numele de teorema medianei (mediana principală AO este jumătate din ipotenuză).

Multe probleme din geometria plană își găsesc rezolvarea în această legătură minunată de care uită majoritatea elevilor de gimnaziu. Așa că, intervenția mea are menirea de a sublinia încă o dată prietenia dintre triunghiul dreptunghic și cerc.

Problema 8 din testul precedent, geometrie cu teorema medianei principale și a unghiului de 30

A opta problemă din test, de geometrie, ne spune că avem cateta mică de 14 cm și se cere distanța de la vârful unghiului mic la suportul medianei principale. Oare putem rezolva problema în 45 de secunde?

Elevul harnic va schița repede un desen de genul:

Acest desen este justificat de două teoreme importante pe care le-a învățat deja elevul isteț de clasa a șaptea: teorema unghiului de 30 de grade (care poate fi înlocuită și de funcțiile trigonometrice) și teorema medianei principale (cea corespunzătoare ipotenuzei).

Mai precis, elevul care știe ce este mediana corespunzătoare ipotenuzei va pregăti dreapta roșie, căci aceasta conține mediana care pornește din vârful unghiului de 90 de grade și se duce pe mijlocul M al ipotenuzei.

De asemenea, dacă știe ce înseamnă distanță de la un punct la o dreaptă, va duce frumos o perpendiculară (albastră) pe dreapta roșie din vârful unghiului mic, de 30 de grade, așa cum cere problema. 

Cu desenul făcut își va aminti că triunghiul dreptunghic special (Timaios) care are un unghi de 30 de grade este un triunghi cu proprietăți minunate (iar pentru studiul acestui triunghi are un echer cu un unghi de 30 de grade). Mai exact, își va aminti teorema unghiului de 30 de grade care spune că într-un asemenea triunghi dreptunghic special (ce cu unghiul de 30 de grade) ipotenuza este dublul catetei mici. 

Cunoscând ipotenuza și cateta mică, el poate determina cu teorema lui Pitagora lungimea catetei mari. Sau, dacă este și mai isteț, el poate reține că lungimea catetei mari în triunghiul acesta minunat este ca și a celei mici, doar că îi mai lipim un radical din trei. Sau, dacă îi plac funcțiile trigonometrice, va putea afla direct cateta mare din cateta mică cu ajutorul funcției tangentă de 30 de grade care este raportul dintre cateta opusă unghiului de 30 de grade (cea mică în cazul nostru) și cateta alăturată (cea mare).

Odată ce a găsit lungimea catetei mari, elevul nostru va trebui să-și amintească teorema medianei principale care îi va spune că în orice triunghi dreptunghic (nu doar în cel cu un unghi de 30 de grade) mediana corespunzătoare ipotenuzei este și ea jumătate din ipotenuză, ceea ce înseamnă că triunghiul AMB este isoscel, deci și unghiul BAD este de 30 de grade, deci și în triunghiul BAD poate folosi teorema unghiului de 30 de grade, deci cateta mică din acest triunghi, adică BD va fi jumătate din ipotenuza triunghiului BAD, care ipotenuză este acum AB, adică fosta catetă mare din triunghiulABC, a cărei lungime a găsit că este $14\sqrt{3}$. 

Și cum jumătate din $14\sqrt{3}$ este $\color{red}{7\sqrt{3}}$, elevul care știe dinainte, fără să clipească, toate aceste lucruri, poate finaliza rezolvarea într-un timp rezonabil, din câteva priviri ale desenului făcut corect.

Cele mai importante proprietăți ale triunghiului dreptunghic

Începem anul într-o manieră inedită. Mă veți auzi cântând în filmulețul de mai jos, o melodie despre triunghiul dreptunghic oarecare, isoscel și Timaios.

Vă reamintesc aici despre teorema medianei principale (deci, a medianei care pleacă din unghiul drept) și teorema lui Timaios (teorema 30, 60, 90), ambele teoreme spunându-ne cât de importantă este relația dintre mediana principală, respectiv, cateta mică și ipotenuza. Mai exact, mediana principală este jumătate din ipotenuză, iar cateta mică (adică aceea care se opune unghiului mic, de 30 de grade) este și ea tot jumătate din ipotenuză.

Iertați-mi începutul ilariant și sper ca noua abordare să fie mai eficientă decât toate abordările de până acum.