Lucrăm în continuare pe testul precedent, de data aceasta la problema 2, de geometrie.
A doua problemă din test ne spune că triunghiurile AUL și ULA sunt asemenea. Chiar dacă nu desenați aceste triunghiuri, din teorema fundamentală a asemănării rezultă o egalitate frumoasă de trei rapoarte pe care le puteți scrie privind ordinea literelor date în formularea asemănării (ordinea literelor este crucială).
Mai precis, dacă triunghiurile AUL și ULA sunt asemenea, înseamnă că, din teorema fundamentală a asemănării (notată uneori prescurtat cu TFA), o teoremă foarte puternică și bogată în consecințe, rezultă următoarele egalități, care exprimă raportul de asemănare k:
$$\frac{AU}{UL}=\frac{AL}{UA}=\frac{UL}{LA}=k.$$
Aceste rapoarte conțin la numărător litere din primul triunghi, iar la numitor literele corespunzătoare ordinii lor, din al doilea triunghi. De exemplu, primul raport este format cu primele două litere din primul triunghi supra primele două litere din al doilea triunghi.
Din aceste rapoarte, cum $AU=UA$, deci ordinea literelor nu contează, rezultă astfel că:
$$AU=kUL,$$
$$AL=kAU=k(kUL)=k^2UL$$
și
$$UL=kAL=k(k^2UL)=k^3UL.$$
Din ultima relație obținem că valoarea lui k nu poate fi decât 1. Așadar, în fine, $AU=1\cdot UL=1\cdot AL$, ceea ce denotă că triunghiul dat este echilateral, așa cum apare în dreptul răspunsurilor.
Aceasta este demonstrația riguroasă, dar intuiția unui rezolvitor de probleme de geometrie de clasa a șaptea îi permite acestuia să se încadreze în timpul necesar obținerii punctajului maxim (deci în 20 secunde).
