Raportul de monotonie

Există un raport prețios cu care putem afla dacă o funcție numerică este crescătoare sau este descrescătoare (bineînțeles, pe un anumit interval de numere reale). Iată acest raport: $$R=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}.$$ Aici, $x$ și $y$ sunt numere distincte din domeniul de definiție al funcției.

Dacă acest raport este strict pozitiv pe un anumit interval, atunci funcția este strict crescătoare pe acel interval. Dacă raportul este negativ, funcția este descrescătoare, iar dacă raportul este nul, funcția este constantă.

De exemplu, funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ dată de legea $f(x)=x^3-9$ are raportul de monotonie $$R=\frac{x^3-9-y^3+9}{x-y}=\frac{x^3-y^3}{x-y}=$$

$$=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}=x^2+xy+y^2,$$ rezultat despre care se poate arăta ușor că este pozitiv pentru orice valori distincte $x$ și $y$ (discriminantul rezultatului este negativ) și este nul doar pentru ambele valori nule. Cum rezultatul este pozitiv peste tot, avem că funcția este crescătoare pe tot intervalul de definiție (sau strict crescătoare pe $\mathbb{R^*}$).

Acest raport este util elevilor din prima treaptă a liceului, urmând ca după ce vor învăța derivatele (într-a XI-a) să determine monotonia trecând la limită acest raport și transformându-l în derivată.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.b

Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ f(x):R→R, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$. Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este funcție crescătoare pe $\mathbb{R}$.


În multe variante de bac am întâlnit această capcană excelentă. Și chiar am mai rezolvat un exemplu de asemenea problemă. Este oarecum o capcană, pentru că un elev superficial, dar care, totuși, simte măcar cam ce are de făcut, va gândi că are o groază de lucru, cam în felul următor: „Bun. Deci, am de calculat întâi primitiva, apoi trebuie să mă gândesc să arăt cumva că această primitivă este funcție crescătoare. Hmmm... Aaaa. Păi, da, știu, cu tabelul acela care conține semne și săgeți oblice! O să fac tabelul cu cele trei linii, care va conține $x$, derivata și funcția. Apoi în dreptul derivatei voi determina semnele, iar în dreptul funcției voi pune săgețile corespunzătoare.”