O integrală trigonometrică transformată într-o integrală polinomială

Să calculăm integrala

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\cos^3x dx$$

Integrala dată este o integrală trigonometrică, deoarece conține funcții trigonometrice. Pentru a o calcula vom face o magie, numită „schimbare de variabilă”. Schimbarea de variabilă este un fel de notație; mai exact, înlocuim o expresie urâtă cu o singură literă, cu speranța că integrala noastră va deveni mai simplă. 

Schimbarea noastră de variabilă va fi  

$$t=\sin{x}.$$ 

De unde am știut ce schimbare de variabilă să fac? Veți găsi răspunsul singuri, după ce veți înțelege finalul. Veți vedea de ce am anticipat modul în care se va transforma integrala.

Așadar, dacă admitem că facem schimbarea de variabilă  $t=\sin x$, atunci trebuie să admitem că se vor schimba și limitele de integrare corespunzător. Mai exact, dacă integrala inițială trebuia calculată de la $0$ la $\frac{\pi}{2}$, noua integrală va trebui calculată de la $\sin 0$ la $\sin{\frac{\pi}{2}}$, adică, de la $0$ la $1$.

Mai mult, dacă integrala inițială conținea litera $x$, această litera va trebui să dispară complet din noua integrală și în locul ei va apărea cumva noua literă $t$. Pentru ca această schimbare să reușească complet este necesară și înlocuirea particulei „$dx$” (numită „diferențială”), căci și această particulă conține litera $x$. Aceasta este una dintre cele mai grele sarcini, dar nu imposibilă. Așadar, să vedem cum procedăm.

Dacă $t=\sin x$, atunci $t$ devine o nouă funcție care depinde de variabila $x$, pe care o putem deriva în raport cu variabila $x$ pentru a descoperi cum vom obține noua diferențială. Cum derivata funcției sinus este funcția cosinus, vom avea că 

$$t'=\cos x,$$

 ceea ce înseamnă că puteți înlocui în integrala veche produsul „$\color{blue}{\cos x dx}$” cu diferențiala nouă „$\color{blue}{dt}$”. În general, această regulă de schimbare a diferențialei este că produsul „$t'dx$” devine simplu „$dt$”.

Zis și făcut. Acum, descompunând produsul $\cos^3 x$ în $\cos^2 x\cos x$, pentru a putea evidenția mai bine produsul „$\color{blue}{\cos x dx}$” și amintindu-ne că din teorema fundamentală a trigonometriei rezultă că putem înlocui $\color{green}{\cos^2 x}$ cu $1-\sin^2 x=\color{green}{1-t^2}$, vom putea rescrie integrala noastră astfel: 

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\cos^3x dx=$$

$$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\color{green}{\cos^2 x}\color{blue}{\cos x dx}=$$

$$\int_0^1 t^4 \color{green}{(1-t^2)} \color{blue}{dt}.$$

Această ultimă integrală se calculează mai ușor decât integrala inițială, căci este o integrală polinomială. Mai exact, folosindu-ne de o formulă de integrare pe care o găsim în tabele, 

$$\color{red}{\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C},$$

prin desfacerea parantezei putem scrie integrala noastră mai simplu ca fiind

$$\int_0^1 t^4(1-t^2) dt=$$

$$=\int_0^1 t^4-t^6 dt=$$

$$=\int_0^1 t^4 dt-\int_0^1 t^6 dt=$$

$$=\left.\frac{t^5}{5}\right|_0^1-\left.\frac{t^7}{7}\right|_0^1=$$

$$=\frac 1 5-\frac 1 7=\frac{7-5}{35}.$$

Desigur, cei mai grăbiți, care vor și pot să beneficieze de avansul tehnologic al omenirii, pot accesa direct linkul corespunzător de la wolframalpha și obțin rezultatul calculului pentru integrala inițială în câteva secunde.

Calculați $\int(3x-7)^2 dx$.

Un elev care nu știe să folosească funcții compuse, va face eventual efortul de a desface paranteza de sub integrală și de a calcula mai apoi integrala fiecărui termen rezultat. Mai exact, folosindu-se de formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, el va face ceva de genul $$\int(3x-7)^2dx=\int (3x)^2-2\cdot 3x\cdot 7 +7^2 dx.$$ Așadar, $$\int(3x-7)^2dx=\int9x^2-42x+49dx.$$

Apoi, va desface integrala în trei integrale, conform proprietății $\int(f\pm g)=\int f\pm\int g$. Va obține atunci, sărăcuțul, după o groază de lucru, ceva de genul $$\int(3x-7)^2=\int 9x^2 dx-\int 42x dx+\int 49 dx.$$ Și încă tot nu a terminat, desigur. Gândiți-vă că de-acum trebuie să ia în parte fiecare dintre cele trei integrale, pentru a le calcula.

Să calculăm întâi integrala $\int 9x^2 dx$. Dacă ne amintim ușor, ne vom folosi de proprietatea că, atât la derivate, cât și la integrale constanta iese în față. Așadar, $$\int 9x^2 dx=9\int x^2 dx.$$ De-acum, fără acel $9$, integrala este una pe care o regăsim în tabel. Căci știm că $\int x^2 dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}$. Astfel, $$\int 9x^2 dx=9\frac{x^3}{3}=3x^3.$$

Apoi, vom avea că $$\int 42 x dx=42\int x dx=42\frac{x^2}{2}=21x^2.$$

În fine, $$\int 49 dx=49\int 1 dx=49x.$$

Punem acum rezultatele împreună și punem și constanta aceea plictisitoare, deci avem calculul integralei inițiale $$\int(3x-7)^2 dx=3x^3-21x^2+49x+c.$$

După o groază de lucru, elevul nostru a reușit să obțină rezultatul, pentru că a cunoscut formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ și pentru că a mai cunoscut că o constantă iese în față și a mai cunoscut cum se calculează o integrală dintr-o putere a lui $x$.



Dar, haideți să vedem cum ar fi procedat un alt elev, mai sârguincios, care știe să calculeze integrala unei funcții compuse. Privind mai lung la integrală, s-ar fi gândit dacă nu cumva ar putea s-o aducă la forma $$\int ceva' ceva^2 dx=\frac{ceva^3}{3}.$$ Observați că aici șmecheria este acel $ceva'$. Dacă sub integrală avem o funcție de $ceva$ și, pe lângă, îl mai avem și pe $ceva'$, atunci suntem cei mai fericiți, căci putem aplica formule de integrare pe care le știm deja din tabelul cu $x$.

Așadar, elevul nostru trebuie să stabilească întâi cine este acel $ceva$, după care să-l calculeze pe $ceva'$. Desigur, $ceva$-ul acestei integrale este, evident, $$ceva=3x-7.$$ Apoi, $$ceva'=(3x-7)'=(3x)'-7'=3x'-7'=3-0=3.$$

Dar, vai! Noi nu-l avem pe $3$ sub integrală și ne trebuie, căci numai atunci putem aplica formula aia frumoasă cu $\int ceva' ceva^2 dx=\frac{ceva^3}{3}$! Cum facem atunci? Păi, ne amintim că $$orice=1\cdot orice=\frac{3}{3}\cdot orice=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot orice.$$ Iată, deci, cum am reușit să îl aducem pe $3$ lângă orice vrem noi. În baza acestei șmecherii, vom avea $$\int(3x-7)^2 dx=\int\frac{1}{3}\cdot 3\cdot(3x-7)^2 dx.$$ Și cum constanta pe care vrem noi o putem scoate în față, mai obținem $$\int(3x-7)^2 dx=\frac{1}{3}\int 3\cdot(3x-7)^2 dx.$$

Dar acum, ceea ce a rămas sub integrală este tocmai de forma $$\int ceva'\cdot ceva^2 dx,$$ deci îl putem înlocui cu $$\frac{ceva^3}{3}.$$ Astfel, avem în final, $$\int(3x-7)^2 dx=\frac{1}{3}\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{(3x-7)^3}{9}+C,$$ care este o formă mult mai compactă decât cea pe care a găsit-o elevul precedent. Mai mult, această metodă este mult mai ușoară și mult mai generală, pentru că ea este aplicabilă și pentru exponenți mai ciudați. Cum ar fi procedat primul elev dacă în loc de exponentul $2$ al puterii de sub integrală i s-ar fi dat exponentul $30$? Ar fi desfăcut și acea paranteză? Desigur, nu, căci i-ar fi luat toată ora dedicată examenului.

Dar, oare, sunt egale cele două rezultate pe care le-au obținut cei doi elevi? Oare $$\color{blue}{\frac{(3x-7)^3}{9}+C=3x^3-21x^2+49x+c}?$$  Observați că în partea stângă a egalității constanta este $C$ mare, pe când în partea dreaptă avem $c$ mic, căci cele două constante nu sunt obligatoriu egale.

Vrem să verificăm, deci, dacă cele două rezultate sunt egale, ținând seama că în partea dreaptă constanta poate fi alta decât în partea stângă. Pentru asta, trebuie să știm cum ridicăm la puterea a treia un binom. Deci, ne folosim de formula $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$

Astfel, $$(3x-7)^3=(3x)^3-3\cdot(3x)^2\cdot 7+3\cdot (3x)\cdot 7^2-7^3,$$ mai exact $$(3x-7)^3=27x^3-189 x^2+441x-343.$$ Atunci $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{27x^3-189x^2+441x-343}{9}+C.$$ Dar, o fracție de mai mulți termeni poate fi transformată în mai mulți termeni cu fracții, dacă desfacem numărătorul după metoda $$\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}.$$ Atunci, $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{27x^3}{9}-\frac{189x^2}{9}+\frac{441x}{9}-\frac{343}{9}+C.$$ Împărțind cu $9$ ceea ce se poate împărți, obținem $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=3x^3-21x^2+49x-\frac{343}{9}+C.$$

Hmmm... Dar primul elev a obținut parcă altceva: $$3x^3-21x^2+49x+c.$$ Așa este. Deci, coincide doar partea care îl conține pe $x$ și nu coincide constanta.

Dar, cum spuneam, constanta aceea poate fi oricât! Deci, dacă numai constantele diferă, înseamnă că integrala este bine calculată. Căci două primitive distincte ale aceleiași funcții diferă numai printr-o constantă.

Să se calculeze integrală din logaritm natural

Se cere, deci, să calculăm $$\int \ln x dx.$$ După ce vom termina integrala, o vom pune rapid în tabelul nostru, dar cu mențiunea că pentru aceste integrale ceva mai complexe nu este suficient să memorați rezultatul, ci trebuie să memorați și metoda.

Integrala cerută este un bun exemplu de integrală ce trebuie calculată PRIN PĂRȚI. Mai exact, trebuie să folosim una dintre formulele de integrare prin părți:

• $\int f\cdot g'=f\cdot g-\int f'\cdot g$
• $\int f'\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g'$

Dar, vai, sub integrala noastră există o singură funcție, nu două. Atunci cum putem aplica integrarea prin părți? Nicio problemă. Facem un artificiu. Scriem că $\ln x=1\cdot \ln x$, căci orice funcție poate fi considerată ca fiind unu ori funcția respectivă. Așadar, integrala noastră devine $$\int \ln x dx=\int 1\cdot \ln x dx.$$

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.b

Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ f(x):R→R, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$. Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este funcție crescătoare pe $\mathbb{R}$.


În multe variante de bac am întâlnit această capcană excelentă. Și chiar am mai rezolvat un exemplu de asemenea problemă. Este oarecum o capcană, pentru că un elev superficial, dar care, totuși, simte măcar cam ce are de făcut, va gândi că are o groază de lucru, cam în felul următor: „Bun. Deci, am de calculat întâi primitiva, apoi trebuie să mă gândesc să arăt cumva că această primitivă este funcție crescătoare. Hmmm... Aaaa. Păi, da, știu, cu tabelul acela care conține semne și săgeți oblice! O să fac tabelul cu cele trei linii, care va conține $x$, derivata și funcția. Apoi în dreptul derivatei voi determina semnele, iar în dreptul funcției voi pune săgețile corespunzătoare.”

Tabel comun cu derivate și integrale

Vă prezint mai jos o listă cu derivatele și integralele unor funcții. La integrale nu am mai pus nici $dx$ și nici constanta, pentru că voi le subînțelegeți și am dorit ca tabelul să fie cât mai simplu și să redea cât mai bine esența. De asemenea, acolo unde am folosit numere concrete, precum 8 sau 5, voi puteți pune alte numere corespunzătoare.

$$\begin{array}{| c | c |}
\hline
5^\prime=0&\int 0=\text{orice număr}\\\hline
x^\prime=1&\int 3=3x\\\hline
(4\cdot f)^\prime=4\cdot f^\prime&\int 4\cdot f=4\cdot\int f\\\hline
(f+g)^\prime=f^\prime+g^\prime&\int f+g=\int f+\int g\\\hline
\left(\int f\right)^\prime=f&\int (f^\prime)=f\\\hline
(f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime&f\cdot g=\int f^\prime\cdot g+\int f\cdot g^\prime\\\hline
\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f^\prime\cdot g-f\cdot g^\prime}{g^2}&\frac{f}{g}=\int\frac{f^\prime}{g}-\int\frac{f\cdot g^\prime}{g^2}\\\hline
(x^8)^\prime=8x^{8-1}&\int x^5=\frac{x^{5+1}}{5+1}\\\hline
\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=-\frac{1}{x^{2}}& \int\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{x} \\\hline
\left(\frac{1}{x^6}\right)^\prime=-\frac{6}{x^{6+1}}& \int\frac{1}{x^8}=-\frac{1}{7x^7} \\\hline
(\sqrt{x})^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}&\int\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\\\hline
(\sqrt[7]{x^4})^\prime=\left(x^\frac{4}{7}\right)^\prime=\frac{4}{7\sqrt[7]{x^{7-4}}}&\int(\sqrt[7]{x^4})^\prime=\frac{7}{7+4}\sqrt[7]{x^{7+4}}\\\hline
(\ln x)^\prime=\frac{1}{x} &\int\frac{1}{x}=\ln|x|\\\hline
(e^x)^\prime=e^x&\int e^x=e^x\\\hline
(e^{-x})^\prime=-e^{-x}&\int e^{-x}=-e^{-x}\\\hline
[(x+5)\cdot e^x]^\prime=(x+6)\cdot e^x&\int(x+0)\cdot e^x=(x-1)\cdot e^x\\\hline
(a^x)^\prime=a^x\cdot\ln a&\int a^x=\frac{a^x}{\ln a}\\\hline
(\sin x)^\prime=\cos x&\int\sin x=-\cos x\\\hline
(\cos x)^\prime=-\sin x&\int\cos x=\sin x\\\hline
(\tan x)^\prime=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^\prime=\frac{1}{\cos^2 x}&\int\frac{1}{\cos^2 x}=\tan x\\\hline
(\cot x)^\prime=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^\prime=-\frac{1}{\sin^2 x}&\int\frac{1}{\sin^2 x}=-\cot x\\\hline
(\ln|\cos x|)^\prime=\frac{(\cos x)^\prime}{\cos x}=-\tan x&\int\tan x=-\ln|\cos x|\\\hline
(\ln|\sin x|)^\prime=\frac{(\sin x)^\prime}{\sin x}=\cot x&\int\cot x=\ln|\sin x|\\\hline
(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1+x^2}&\int\frac{1}{1+x^2}=\arctan x\\\hline
\left(\frac{1}{5}\arctan\frac{x}{5}\right)^\prime=\frac{1}{25+x^2}&\int\frac{1}{5^2+x^2}=\frac{1}{5}\arctan\frac{x}{5}\\\hline
\left(\frac{1}{2\cdot 5}\ln\left|\frac{x-5}{x+5}\right|\right)^\prime=\color{blue}{\frac{1}{x^2-25}}&\int\color{blue}{\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x+5}}=\ln\left|\frac{x-5}{x+5}\right|\\\hline
(\ln|x+\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm ceva}}|)^\prime=\frac{1}{\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm ceva}}}&\int\frac{1}{\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm orice}}}=\ln|x+\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm orice}}|\\\hline
(\arcsin{\frac{x}{8}})^\prime=(-\arccos{\frac{x}{8}})^\prime=\frac{1}{\sqrt{8^2-x^2}}&\int\frac{1}{\sqrt{64-x^2}}=\text{vedeți ce e în stânga}\\\hline
\end{array}.$$

Alte integrale utile veți găsi mai jos:

• Integrală din logaritm natural: $$\int\ln x dx=x\ln x-x.$$

Notați-vă undeva lincul către acest articol, căci veți avea des nevoie de el.