Intersecția mulțimii precedente cu mulțimea numerelor raționale

Dacă în problema precedentă trebuia să intersectăm mulțimea M={-6;-1/5;-sqrt(9);0;sqrt(2);sqrt(3);0,7;8} cu mulțimea numerelor întregi, de data aceasta se cere să o intersectăm cu mulțimea numerelor raționale, notată cu Q. Astfel, elevul care va rezolva această problemă trebuie să cunoască simbolul mulțimii numerelor raționale și mai trebuie să știe ce înseamnă număr rațional sau măcar să poată face distincția dintre numerele raționale și numerele iraționale.


El va ști că tot ce a pus în rezolvarea precedentă (unde trebuia să intersecteze cu Z) va fi bun și în această rezolvare, deoarece orice număr întreg este și rațional. De asemenea, va ști că orice „radical urât”, adică radical cu virgulă va fi număr irațional, deci nu va trebui pus în intersecția cu Q. În mulțimea noastră avem doi radicali urâți, $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$, deci aceștia nu vor avea ce căuta printre numerele raționale din rezultat.

Drept urmare, intersecția dintre mulțimea M={-6;-1/5;-sqrt(9);0;sqrt(2);sqrt(3);0,7;8} și Q va fi
$$M\cap \mathbb{Q}=\color{red}{\{-6;-1/5;-\sqrt{9};0;0,7;8\}}.$$

Intersecția cu mulțimea numerelor întregi a unei mulțimi care conține tot felul de numere ciudate

În 20 de secunde ar trebui să putem rezolva următoarea problemă simplă de clasa a șaptea, a treia din testul-fulger apărut recent: „Dată fiind mulțimea M={-6;-1/5;-sqrt(9);0;sqrt(2);sqrt(3);0,7;8}, se cere intersecția dintre M și Z. ”

Altfel spus, se cer, de fapt, numerele întregi (căci Z este mulțimea numerelor întregi) din mulțimea M. Căci intersecția a două mulțimi este o nouă mulțime care conține elementele comune din cele două mulțimi, așa cum intersecția a două străzi conține partea comună a celor două străzi.

Ne rămâne atunci să analizăm pe rând fiecare element al mulțimii M ca să putem decide dacă el este număr întreg sau nu este. În cazul în care vom constata că este număr întreg îl vom așeza în noua mulțime, iar în cazul în care nu este număr întreg vom sări peste el.

Numerele întregi sunt cele ce pot fi scrise  fără virgulă și fără fracție. Astfel, primul număr $-6$ este întreg, chiar dacă are semnul minus în față (numerele naturale sunt cele fără minus). Următorul număr, adică $-\frac{1}{5}$ nu poate fi scris fără fracție sau fără virgulă, așa că nu este număr întreg. Apoi, $-\sqrt{9}$ este număr întreg, căci este un radical frumos ce poate fi calculat și ne dă $-\sqrt{9}=-3$, așadar este număr întreg, deci îl vom așeza în mulțimea ce ne dă intersecția. Apoi numărul $0$ este număr întreg, căci este și natural și orice număr natural este și întreg (dar nu și reciproc). Radicalii urâți care urmează, $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ nu sunt numere întregi, ba chiar nici măcar numere raționale, căci toți radicalii ăștia urâți, care nu se pot calcula exact, sunt numere iraționale. Ne mai rămâne atunci să analizăm numerele $0,7$ și $8$, dintre care, desigur, doar numărul $8$ este număr întreg, așa cum ne trebuie nouă în rezultat.

Atunci, punând împreună concluziile precedente, înțelegeți mai bine de ce obținem că noua mulțime de la răspuns va fi formată din elementele: $$\color{red}{-6,\,-\sqrt{9},\,0,\,8}.$$

În triunghiul SUV unghiul U este dublul lui V, iar S are 60 de grade. Câte grade are U?

Acesta este enunțul celei de-a doua probleme din politestul pe care îl rezolvăm acum.

Pentru a rezolva problema pornim de la faptul că suma (măsurilor) unghiurilor unui triunghi este 180 de grade, oricât de urât ar fi triunghiul respectiv.  Până aici a fost geometrie, iar de aici încolo va fi algebră. Deci, avem de rezolvat o ecuație. 

Dacă notăm măsura unghiului V cu x, atunci ecuația noastră este $$2x+x+60=180.$$

Așadar, $3x=180-60=120$. De aici rezultă că unghiul V are măsura $x=40$, deci unghiul U, fiind dublul lui V, va avea valoarea $$U=2x=2\cdot 40=\color{red}{80}.$$

Fracție ireductibilă cu numitorul 12

Începem o nouă serie articole în care vom rezolva politestul-fulger de clasa a douăsprezecea apărut în 1 octombrie.

Astăzi, prima problemă ne cere să dăm un exemplu de fracție ireductibilă cu numitorul 12. Elevul de clasa a cincea (și, implicit, cel de clasa a douăsprezecea) trebuie să știe că o fracție este ireductibilă dacă nu se mai poate simplifica. Mai departe, aceasta înseamnă că numărătorul și numitorul sunt relativ prime, adică au cel mai mare divizor comun egal cu unitatea.

Numerele relativ prime nu trebuie să fie neapărat prime. Noțiunea de „relativ” se referă la o comparație între cele două numere, adică unul trebuie să fie prim față de celălalt. De exemplu, numerele 15 și 8, deși nu sunt prime, totuși sunt relativ prime pentru că nu există niciun număr cu care să se poată împărți exact amândouă (cu excepția lui 1, desigur, care este irelevant căci nu modifică nimic).

Așadar, ca să putem crea o fracție ireductibilă cu numitorul 12 este necesar să găsim un număr relativ prim cu 12 pe care să-l așezăm la numărătorul fracției. Desigur că orice număr prim va fi relativ prim cu orice alt număr care nu-l va avea ca divizor pe acel număr prim. Aceasta înseamnă că, de exemplu, orice număr prim mai mare decât 12 ar putea rezolva problema noastră. Mai exact, oricare dintre fracțiile: 

$$\color{red}{\frac{13}{12}},\,\frac{17}{12},\,\frac{19}{12},\,\frac{23}{12},\,\frac{29}{12},\,\dots$$ 

va fi o fracție care duce la rezolvarea problemei.

Da, bineînțeles, cum spunea, nu doar numerele prime mai mari decât 12 pentru numărător sunt soluția. Alte exemple, fără numere prime, pot fi:

$$\frac{25}{12},\,\frac{49}{12},\,\frac{121}{12},\,\frac{125}{12},\,\dots$$

Evident că elevul din clasele terminale ale liceului ar fi bine să cunoască aceste detalii, pentru a putea rezolva problemele mult mai complicate apărute de-a lungul anilor.