O integrală trigonometrică transformată într-o integrală polinomială

Să calculăm integrala

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\cos^3x dx$$

Integrala dată este o integrală trigonometrică, deoarece conține funcții trigonometrice. Pentru a o calcula vom face o magie, numită „schimbare de variabilă”. Schimbarea de variabilă este un fel de notație; mai exact, înlocuim o expresie urâtă cu o singură literă, cu speranța că integrala noastră va deveni mai simplă. 

Schimbarea noastră de variabilă va fi  

$$t=\sin{x}.$$ 

De unde am știut ce schimbare de variabilă să fac? Veți găsi răspunsul singuri, după ce veți înțelege finalul. Veți vedea de ce am anticipat modul în care se va transforma integrala.

Așadar, dacă admitem că facem schimbarea de variabilă  $t=\sin x$, atunci trebuie să admitem că se vor schimba și limitele de integrare corespunzător. Mai exact, dacă integrala inițială trebuia calculată de la $0$ la $\frac{\pi}{2}$, noua integrală va trebui calculată de la $\sin 0$ la $\sin{\frac{\pi}{2}}$, adică, de la $0$ la $1$.

Mai mult, dacă integrala inițială conținea litera $x$, această litera va trebui să dispară complet din noua integrală și în locul ei va apărea cumva noua literă $t$. Pentru ca această schimbare să reușească complet este necesară și înlocuirea particulei „$dx$” (numită „diferențială”), căci și această particulă conține litera $x$. Aceasta este una dintre cele mai grele sarcini, dar nu imposibilă. Așadar, să vedem cum procedăm.

Dacă $t=\sin x$, atunci $t$ devine o nouă funcție care depinde de variabila $x$, pe care o putem deriva în raport cu variabila $x$ pentru a descoperi cum vom obține noua diferențială. Cum derivata funcției sinus este funcția cosinus, vom avea că 

$$t'=\cos x,$$

 ceea ce înseamnă că puteți înlocui în integrala veche produsul „$\color{blue}{\cos x dx}$” cu diferențiala nouă „$\color{blue}{dt}$”. În general, această regulă de schimbare a diferențialei este că produsul „$t'dx$” devine simplu „$dt$”.

Zis și făcut. Acum, descompunând produsul $\cos^3 x$ în $\cos^2 x\cos x$, pentru a putea evidenția mai bine produsul „$\color{blue}{\cos x dx}$” și amintindu-ne că din teorema fundamentală a trigonometriei rezultă că putem înlocui $\color{green}{\cos^2 x}$ cu $1-\sin^2 x=\color{green}{1-t^2}$, vom putea rescrie integrala noastră astfel: 

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\cos^3x dx=$$

$$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\color{green}{\cos^2 x}\color{blue}{\cos x dx}=$$

$$\int_0^1 t^4 \color{green}{(1-t^2)} \color{blue}{dt}.$$

Această ultimă integrală se calculează mai ușor decât integrala inițială, căci este o integrală polinomială. Mai exact, folosindu-ne de o formulă de integrare pe care o găsim în tabele, 

$$\color{red}{\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C},$$

prin desfacerea parantezei putem scrie integrala noastră mai simplu ca fiind

$$\int_0^1 t^4(1-t^2) dt=$$

$$=\int_0^1 t^4-t^6 dt=$$

$$=\int_0^1 t^4 dt-\int_0^1 t^6 dt=$$

$$=\left.\frac{t^5}{5}\right|_0^1-\left.\frac{t^7}{7}\right|_0^1=$$

$$=\frac 1 5-\frac 1 7=\frac{7-5}{35}.$$

Desigur, cei mai grăbiți, care vor și pot să beneficieze de avansul tehnologic al omenirii, pot accesa direct linkul corespunzător de la wolframalpha și obțin rezultatul calculului pentru integrala inițială în câteva secunde.

Sume telescopice

Există ceva interesant în legătură cu sumele, despre care vă voi povesti acum. Să observăm întâi că
$$\frac{1}{2\cdot 3}=\frac 1 2-\frac 1 3,$$
căci $$\frac 1 2-\frac 1 3=\frac 3 6-\frac 2 6=\frac{3-2}{6}=\frac 1 6=\frac{1}{2\cdot 3}.$$
Tot astfel, mai avem și
$$\frac{1}{3\cdot 4}=\frac 1 3-\frac 1 4,$$
$$\frac{1}{4\cdot 5}=\frac 1 4-\frac 1 5.$$
Deci, este ca și cum am putea spune că în asemenea cazuri înmulțirea fracțiilor are același efect ca și scăderea lor.

Și-acum să vedeți minunea. Dacă adunăm cele trei exemple, obținem
$$\color{red}{\frac{1}{2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{4\cdot 5}}=\color{red}{\frac 1 2-\frac 1 3}+\color{blue}{\frac 1 3-\frac 1 4}+\color{green}{\frac 1 4-\frac 1 5}.$$
Și cum fracțiile care apar în mijlocul expresiei se reduc, căci unele sunt cu minus, iar altele cu plus, rămân doar cele două fracții, una de la început și cealaltă de la sfârșit. Adică
$$\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}=\frac 1 2-\frac 1 3+\frac 1 3-\frac 1 4+\frac 1 4-\frac 1 5=\frac 1 2-\frac 1 5.$$
Deci, este ca și cum am închide un tub telescopic de pescuit, motiv pentru care aceste sume se numesc „sume telescopice”. Așadar, pe viitor, veți ști să calculați sume de genul
$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots+\frac{1}{2017\cdot 2018},$$
adică sume de fracții cu numitori de numere consecutive.


Și lucrurile interesante nu se opresc aici. Numerele de la numitor nici nu trebuie să fie imediat consecutive, ci pot „merge și din doi în doi” ca să avem sumă telescopică. Haideți să vedem ce se întâmplă în acest caz. Avem, de exemplu,
$$\frac 1 1-\frac 1 3=\frac 3 3-\frac 1 3=\frac{2}{1\cdot 3}.$$
Apoi
$$\frac 1 3-\frac 1 5=\frac 5 {3\cdot 5}-\frac 3 {3\cdot 5}=\frac{2}{3\cdot 5}$$
și încă un exemplu
$$\frac 1 5-\frac 1 7=\frac 7 {5\cdot 7}-\frac 5 {5\cdot 7}=\frac{2}{5\cdot 7}.$$

Ce putem observa din aceste ultime trei exemple? Că dacă ni s-ar cere să calculăm suma $$S=\frac 2{1\cdot 3}+\frac 2{3\cdot 5}+\frac 2{5\cdot 7},$$ am putea scrie că $$S=\frac 1 1-\frac 1 3 +\frac 1 3-\frac 1 5+\frac 1 5-\frac 1 7=\frac 1 1-\frac 1 7=\frac 6 7.$$ Observați că și aici am redus fracțiile asemenea, iar suma s-a închis din nou precum un telescop, dispărându-i termenii din mijloc și rămânându-i doar capetele. Desigur, sper că ați fost atenți de data aceasta la $2$-ul acela de la numărător din suma inițială.

Așadar, acum vi se va părea mai ușor să înțelegeți cum am calculat suma în care numitorii „merg din trei în trei”, dată de $$S=\frac 3{1\cdot 4}+\frac 3{4\cdot 7}+\frac 3{7\cdot 10}+\frac 3{10\cdot 13}=\frac 1 1-\frac 1 {13}=\frac{12}{13}.$$

Aaa, dar ce ne facem dacă ni se cere o sumă de acest gen fără $3$-ul la numărător? Adică, ce ne-am face dacă ni s-ar cere să calculăm suma $$S=\frac 1{1\cdot 4}+\frac 1{4\cdot 7}+\frac 1{7\cdot 10}+\frac 1{10\cdot 13}?$$ Bineînțeles, am scrie această sumă sub forma $$S=\frac{1}{3}\left(\frac 3{1\cdot 4}+\frac 3{4\cdot 7}+\frac 3{7\cdot 10}+\frac 3{10\cdot 13}\right)$$ și am putea conclude atunci că $$S=\frac 1 3\left(\frac 1 1-\frac 1 {13}\right)=\frac 1 3\cdot\frac{12}{13}=\frac{4}{13}.$$


Dar nu pot să vă las din mână până nu vă mai spun că, de exemplu, suma $$S=\color{red}{\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}}$$ este și ea o sumă telescopică, chiar dacă are câte trei factori la numitor!
Căci ea se poate scrie ca $$S=\frac{1}{2}\left(\color{red}{\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot 5}}\right).$$
Și cu asta sper că v-am deschis un drum pe care să puteți merge și singuri atunci când veți avea de calculat asemenea sume interesante.

Numărul lui Euler și dobânda la o bancă ideală

Există în analiza matematică un număr ciudat și foarte important, numit „numărul lui Euler” și notat cu „e”, în onoarea marelui matematician care a descoperit o mulțime de proprietăți legate de acest număr. 

Nu Euler a descoperit numărul e, ci Jacob Bernoulli, în timp ce acesta studia probleme financiare legate de rata dobânzilor. Mai exact, Bernoulli și-a pus următoarea problemă:
-dacă aș depune un leu la o bancă ideală, corectă, care mi-ar calcula o dobândă de 100% pe an, dar nu doar o dată pe an, ci în fiecare lună, în fiecare zi, în fiecare oră, în fiecare minut, în fiecare secundă și așa mai departe, atunci cât aș primi după un an de la acea bancă ideală?

Desigur, un răspuns rapid ar fi că după un an ai primi în total doi lei de la bancă, din moment ce dobânda calculată la un leu este de 100%. Așa este, ar fi doi lei, dar asta în condițiile unei bănci care nu face efortul să-ți calculeze dobânda în fiecare moment al anului, ci doar după un an.

Dar cum ar fi dacă banca ar aplica dobânda de 100% pe an în fiecare lună sau în fiecare zi sau în fiecare oră sau în fiecare minut sau chiar în fiecare secundă? Tot doi lei aș primi de la bancă la sfârșit de an? Nici vorbă! Aș primi mai mult. Dar cât de mult aș primi de la bancă? Crește suma oricât de mult pe măsură ce micșorăm intervalul de timp pentru care calculăm dobânda? Sau există o limită superioară pe care n-o depășește niciodată, de exemplu, 3 lei?

Lunar

Păi, să vedem cum ar face calculele o asemenea bancă ideală. Pentru început, ca să capete prestigiu de corectitudine, șeful băncii și-ar putea propune să recalculeze și să aplice dobânda lunar la suma apărută. Ar însemna atunci că dobânda de 100% dintr-un an ar trebui s-o împartă la 12 și să aplice această dobândă în fiecare lună. 

Astfel, după prima lună, în cont s-ar strânge un leu, plus încă a douăsprezecea parte dintr-un leu. Adică, s-ar strânge $$l_1=1+\frac{1}{12}.$$ În a doua lună deja ar trebui aplicată dobânda la această sumă nou apărută, adică ar trebui să adunăm la această sumă a douăsprezecea parte din noua sumă. Așadar, în luna a doua am avea în cont suma de $$l_2=l_1+\frac{l_1}{12}.$$

Bineînțeles, în a treia lună am avea în cont suma de $$l_3=l_2+\frac{l_2}{12},$$ după a șaptea lună am avea în cont suma de $$l_7=l_6+\frac{l_6}{12}$$ și așa mai departe, astfel încât în ultima lună am avea în cont suma de $$l_{12}=l_{11}+\frac{l_{11}}{12}.$$

Vrem să vedem cum arată mai exact acest rezultat. Calculăm mai amănunțit, ca să nu mai vedem rezultate intermediare precum au fost $l_7$, ci să vedem rezultatul final în funcție de leul acela depus inițial. Știind că $$l_2=l_1+\frac{l_1}{12},$$ după care dând factor comun pe $l_1$ și înlocuindu-l pe $l_1$ cu $1+\frac{1}{12}$, obținem că 
$$l_2=l_1+\frac{l_1}{12}=l_1\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)^2.$$

Deci, în luna a doua a apărut acea paranteză la puterea a doua. Oare cum va fi în luna a treia? În luna a treia avem $$l_3=l_2+\frac{l_2}{12}=l_2\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)^2\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)^3.$$

Și, bineînțeles, în ultima lună paranteza aceasta magică va apărea la puterea a douăsprezecea, adică va fi $$\color{blue}{l_{12}=\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}}.$$ O fi oare numărul acesta mai mare și mai corect decât dacă șeful băncii nu s-ar fi complicat cu împărțirea dobânzii totale la 12 luni? Bineînțeles, dacă veți face calculul cu un calculator, veți constata că $$\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}\approx 2,613,$$ deci mult mai mare decât acei 2 lei pe care i-am fi primit de la o bancă ursuză căreia i-ar fi fost lene să facă aceste calcule lunar.

Zilnic

Dar ce s-ar întâmpla dacă șeful băncii noastre ideale (hai să-i spunem „banca lui Bernoulli”) ar decide că poate să fie și mai corect în aplicarea dobânzii și că ar fi mai bine dacă ar reface calculele în fiecare zi, nu în fiecare lună? 

Bineînțeles, după cum deja cred că intuiți, atunci suma finală se va obține înlocuind în suma precedentă pe $12$ (care a reprezentat numărul de luni dintr-un an) cu $365$ (care reprezintă numărul de zile dintr-un an obișnuit).

Așadar, banca noastră și mai corectă ne-ar da la sfârșit de an după un leu, de fapt suma $$\color{blue}{\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}\approx 2,714}.$$

Pe ore

În fine, pentru că acum ați înțeles ce se întâmplă, dacă șeful băncii s-ar încăpățâna să facă pe eroul, ar recalcula dobânda în fiecare oră, iar la sfârșit de an ne-ar oferi suma de $$\color{blue}{\left(1+\frac{1}{8760}\right)^{8760}\approx 2,718}.$$ 

Mai departe, văzând că efortul de calcul devine sisific, iar contribuția suplimentară la suma finală devine insignifiantă, probabil că șeful băncii lui Bernoulli va decide că este mai rațional și mai realist să se oprească aici, căci oricum banca lui va fi câștigat deja prestigiul de bancă excelentă și foarte corectă.



Desigur, un matematician zelos va căuta totuși să vadă ce e cu numărul acesta ciudat de care se apropie suma de la sfârșit de an pe măsură ce împărțim acest an în intervale de timp egale din ce în ce mai mici. Astfel, el va scrie o expresie chinezească foarte complicată și va spune că numărul de care se apropie suma finală este $$\color{red}{e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}.$$ Acesta este fascinantul număr al lui Euler, care apare în matematică alături de numărul $\pi$ ca să nu ne lase să ne plictisim.

Să se calculeze integrală din logaritm natural

Se cere, deci, să calculăm $$\int \ln x dx.$$ După ce vom termina integrala, o vom pune rapid în tabelul nostru, dar cu mențiunea că pentru aceste integrale ceva mai complexe nu este suficient să memorați rezultatul, ci trebuie să memorați și metoda.

Integrala cerută este un bun exemplu de integrală ce trebuie calculată PRIN PĂRȚI. Mai exact, trebuie să folosim una dintre formulele de integrare prin părți:

• $\int f\cdot g'=f\cdot g-\int f'\cdot g$
• $\int f'\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g'$

Dar, vai, sub integrala noastră există o singură funcție, nu două. Atunci cum putem aplica integrarea prin părți? Nicio problemă. Facem un artificiu. Scriem că $\ln x=1\cdot \ln x$, căci orice funcție poate fi considerată ca fiind unu ori funcția respectivă. Așadar, integrala noastră devine $$\int \ln x dx=\int 1\cdot \ln x dx.$$

Să se demonstreze că inegalitatea $e^x\geqslant x+1$ este adevărată pentru orice număr real $x$.

Pentru a demonstra o inegalitate de acest gen cu metode de liceu avem la dispoziție legătura dintre monotonia unei funcții și derivată. Această legătură spune că dacă derivata funcției date este pozitivă, atunci funcția însăși este crescătoare.

Deși la prima vedere nu pare să ne ajute prea mult această informație pentru a demonstra inegalitatea cerută, vom vedea totuși că tabelul cu monotonia funcției este foarte prețios în acest caz. Și sunt mari șanse ca ori de câte ori vi se cere să demonstrați o inegalitate, tabelul cu monotonia unei funcții legate de acea inegalitate să fie baza demonstrației.

După cum ați observat deja (dacă ați observat, dar nu-i musai), pentru a demonstra o inegalitate avem nevoie întâi de o funcție. De o funcție legată de acea inegalitate. Și nu-i ușor să găsim o asemenea funcție cu care putem demonstra inegalitatea. Elevul care poate găsi o asemenea funcție este demn de a fi felicitat. 

Puncte de discontinuitate

Puncte de discontinuitate

Funcțiile pot fi continue sau discontinue (într-unul sau mai multe (chiar într-o infinitate de) puncte). Putem desena funcțiile continue fără a fi nevoiți să ridicăm creionul de pe hârtie. În schimb, funcțiile discontinue ne obligă să întrerupem undeva desenul lor, ne obligă să ridicăm creionul de pe hârtie și să începem desenul din altă parte, mai sus sau ceva mai jos de unde l-am lăsat.

Bineînțeles, desenul unei funcții este graficul ei, adică mulțimea punctelor din plan (căci discutăm despre funcțiile (de o singură variabilă) pe care le-ați învățat deja) care, prin intermediul funcției date, asociază punctelor de pe axa orizontală (axa absciselor) cel mult (și cel puțin, desigur) câte un punct de pe axa verticală.

Riguros vorbind, într-un punct de continuitate $x_0$ sunt satisfăcute următoarele două egalități de numere reale (deci și finite!): $$l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0), $$ unde cu $l_s(x_0)$ am notat limita la stânga a funcției în punctul $x_0$.

Iată graficul unei funcții continue oarecare:

Orice punct am alege pe axa OX (dacă funcția este definită pe toată axa OX), deasupra lui (sau dedesubt) se află cel mult un punct albastru de pe graficul funcției. 

Așadar, în timp ce funcțiile continue nu ne fac probleme cu desenul lor, funcțiile discontinue își cam fac de cap, „sărind” din loc în loc peste anumite valori de pe axa verticală a graficului. Altfel spus, într-un punct de discontinuitate găsim două sau mai multe puncte de pe axa verticală corespunzătoare punctului dat. Și cum o funcție nu mai este funcție dacă asociază unei abscise mai mult de un punct, rezultă că acolo funcția trebuie numită, oarecum impropriu, „funcție discontinuă”. Impropriu, căci acolo funcția efectiv nu mai este funcție.

Iată acum graficul unei funcții discontinue (cu punct de discontinuitate de prima speță) în punctul $x_0$:

În legătură cu aceste discontinuități, se nasc (doar) două cazuri posibile:

Derivata unei funcții este viteza ei

Așa cum vă spune și titlul, derivata unei funcții este viteza acestei funcții, adică, este viteza cu care se ridică graficul funcției, în timp ce el se deplasează și spre dreapta. Dacă graficul funcției coboară atunci când se deplasează spre dreapta, atunci derivata funcției este negativă, căci coborârea este de fapt ridicare negativă.

Dacă, graficul unei funcții se ridică mai mult decât graficul altei funcții (desenate în același sistem de referință XOY), atunci derivata primei funcții este mai mare decât derivata celei de-a doua funcții.

În figura de mai jos dreapta roșie este graficul funcției $f(x)=3x-1$, iar dreapta albastră este graficul funcției $g(x)=2x-1$.

Observați că dreapta roșie urcă mai repede decât dreapta albastră. Acest lucru se datorează faptului că derivata funcției $f(x)$ este mai mare decât derivata funcției $g(x)$. Derivata lui $3x-1$ este $3$, iar derivata lui $2x-1$ este $2$.


Tot astfel, parabola roșie coboară și urcă mai rapid decât parabola albastră, deoarece derivata funcției $f(x)=3x^2-1$ (în modul, deci, dacă facem abstracție de semn) este mai mare decât derivata funcției $g(x)=2x^2-1$.

Derivata lui $3x^2-1$ este $6x$, pe când derivata funcției $2x^2-1$ este $4x$.

Mai observați că viteza dreptelor de mai sus nu se schimbă nicăieri, indiferent în care loc măsurăm această viteză. În schimb, viteza unei parabole (a oricăreia dintre ele) depinde de locul (de $x$-ul) în care vrem să o determinăm. Astfel, în partea negativă a $x$-ilor, derivata parabolei este și ea negativă, iar parabola coboară, apoi urmează o porțiune în care parabola își încetinește mult coborârea, această coborâre anulându-se chiar când $x=0$, după care urmează urcarea nestăvilită cu o viteză din ce în ce mai mare. 

Putem spune că, spre deosebire de drepte, parabolele au și o „accelerație” nenulă, nu doar o „viteză”.

Aveți, așadar, o interpretare cinematică a derivatei, identică cu cea pe care s-a bazat Newton când a creat un aparat matematic cu derivate pe care să-l poată folosi în Fizică.

Calculați derivata funcției $f(x)=\frac{1}{x}$.

Această derivată apare extraordinar de des în calcule, așa că merită să-i acordăm o atenție separată. Și chiar o voi pune în tabelul comun al derivatelor și integralelor, alături de integrala corespunzătoare, după ce termin de scris acest articol. 

Atenție! Din start trebuie să vă spun că $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$ nu este $\ln x$, așa cum mulți elevi se grăbesc să creadă. Doar integrala acestei fracții este logaritmul, nu și derivata!

Așadar, cât este $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$?

Avem două metode la îndemână pentru a calcula această derivată. Prima metodă pe care v-o prezint este abordată des de către elevii care știu cum se derivează o fracție. Mai exact, elevii care știu cum se derivează o fracție știu de fapt formula foarte importantă scrisă astfel: $$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

Dacă știți integrala cu $x$, atunci știți și integrala cu $u$.

Să presupunem că știți o integrală oarecare cu $x$, de exemplu, știți că $$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}.$$ Această integrală este valabilă, orice literă am folosi în locul lui $x$. Așadar, dacă schimbăm aici doar litera $x$ cu litera $u$, n-ar trebui să se schimbe adevărul egalității. Așadar, avem și adevărul $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}.$$

Problema este că în noua integrală cu $u$ s-a schimbat și $dx$-ul în $du$, ceea ce face ca schimbarea noastră de literă să devină oarecum inutilă. Nouă ne-ar plăcea să facem o integrală cu $u$, dar în care să ne rămână $dx$-ul, pentru că nouă ni se cer integrale cu $dx$, nu cu $du$.

Rezolvarea problemei este simplă. Ne folosim de egalitatea remarcabilă prin care putem trece de la $du$ la $dx$ foarte ușor: $$\large{\color{red}{du=u'\cdot dx}}.$$ Această egalitate ne spune că integrala cu $du$ devine integrală cu $dx$, doar că mai trebuie să înmulțim cu $u'$.

Un alt exemplu

În articolul precedent v-am dat o metodă de calcul al unei integrale din tabel, cunoscând o derivată din tabel. Să mai luăm acum un exemplu. Să presupunem că știți din tabelul cu derivate faptul că $$\large{\color{green}{\left(a^x\right)'=a^x\ln a}}.$$

Conform primei reguli din celălalt articol, aplicăm integrala acestei egalități și obținem $$\int\left(a^x\right)'=\int a^x\ln a.$$ Apoi, conform celei de-a doua reguli, integrala și derivata dispar și rămâne $$a^x=\int a^x\ln a.$$

Mai departe urmează niște calcule banale în care ținem seama de faptul că $\ln a$ este o constantă pe care o putem scoate în fața integralei și obținem $$a^x=\ln a\int a^x.$$ Apoi aruncăm constanta $\ln a$ în partea din stânga egalității, caz în care ea ajunge la numitor, deci obținem $$\frac{a^x}{\ln a}=\int a^x.$$

Apoi rotim egalitatea, căci din $a=b$ putem deduce și $b=a$, deci avem în sfârșit $$\large{\color{red}{\int a^x=\frac{a^x}{\ln a}}}.$$

Ce ziceți, v-am convins acum că nu trebuie să memorați tot ceea ce întâlniți?

Cum? E prea stufos tabelul cu integrale? Aveți prea multe formule de reținut? Hmmm... Haideți să mai tăiem din ele!

Mi se pare mie, ori chiar credeți că tabelul cu integrale e prea stufos? Păi, de ce, dragilor? Păi, dacă știți derivate, atunci știți și integrale cu duiumul. Haideți să vedem câteva exemple. Presupunem că știți bine tabelul cu derivate și vom încerca să deducem din acest tabel câteva integrale din tabelul cu integrale. Să vedem ce iese.

Vom aplica două reguli de bază:

1. Dacă $f=g$, atunci și $\int f=\int g$, abstracție făcând de constanta $C$. Bineînțeles, voi la examene veți pune și $dx$-ul, dar eu nu-l pun ca să nu încarc inutil expunerea.
2. Dacă integrala unei funcții se ciocnește cu derivata ei, cele două dispar și lasă în urmă funcția. Simbolic, putem scrie acest lucru astfel: $$\int f^\prime=f.$$ Așadar, integrala anihilează câte o derivată. Tot aici mai putem spune că avem atunci și $$\int f''=f'$$ sau $$\int f'''=f''.$$

Mergem înainte cu aceste reguli faine. Și veți vedea că matematica nu este chiar atât de anostă precum pare.

Să se calculeze $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}.$$

Pentru a calcula limita $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}$$ vom încerca întâi să înlocuim $x$-ul cu 3, să vedem ce iese. Am avea atunci $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}=\frac{5^3-125}{3-3}=\frac{125-125}{3-3}=\frac{0}{0}.$$

Dar, nimeni nu știe cât este $\frac{0}{0}$, pentru că această fracție este unul dintre cazurile de nedeterminare despre care v-am mai vorbit deja. Și am calculat deja o limită cu acest rezultat, doar că acolo aveam un raport de două polinoame, ori aici numărătorul nu este polinom (funcțiile exponențiale nu sunt funcții polinomiale).

Limite de fracții în cazul zero pe zero

Desigur că titlul este oarecum vag, deoarece putem face fracție cu orice funcție. De exemplu, putem scrie că $f(x)=\frac{f(x)}{1}$ și asta ar însemna că articolul nostru ar trebui să discute despre orice fracție posibilă.

Desigur, nu-i chiar așa, iar un începător nu va fi atât de pretențios. Dimpotrivă, când va auzi „limite de fracții” el se va gândi că este vorba despre limite cu fracții polinomiale. Și va avea dreptate. Căci asemenea limite merită o discuție separată.

Așadar, dăm întâi un exemplu de limită cu fracție polinomială
$$\lim_{x\to 5}\frac{x-6}{2x-7},$$
ca să ne asigurăm că elevul înțelege bine la ce fel de fracții ne referim.

Limita dată în exemplul nostru este simplă și se poate calcula ușor prin înlocuirea lui $x$ cu 5. Dar există probleme atunci când ajungem la cazuri exceptate, precum $\frac{\infty}{\infty}$ sau $\frac{0}{0}$ despre care am povestit în articolul precedent. Noi aici ne vom ocupa deocamdată doar cu acest ultim caz exceptat, $\color{red}{\frac{0}{0}}$.

Să dăm, deci, un exemplu de limită în care apare cazul exceptat $\frac{0}{0}$. Să calculăm, de pildă
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}.$$

Observați că dacă înlocuim pe $x$ cu 3 (așa cum se cuvine pentru început), obținem
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\frac{3^2-7\cdot 3+12}{3-3}=\frac{0}{0},$$
deci caz exceptat.

Ce facem când ajungem la un caz exceptat, vă mai amintiți? Prelucrăm expresia înainte de a face înlocuirea. Bine, bine, dar ce am putea prelucra noi la această expresie?

De regulă, la asemenea limite, numărătorul se împarte exact cu numitorul și rezultă un polinom mai simplu decât numărătorul. Prin împărțire scăpăm de fracție, deci scăpăm și de cazul exceptat. Dacă știți să împărțiți polinoame, atunci puteți face direct împărțirea numărătorului la numitor și obțineți

$\begin{array}{ ll | l }

x^2&-7x+12&x-3 \\
\hline
-x^2&+3x &\color{red}{x-4}\\
\hline
=&\underline{-4x+12}&\\
&\underline{+4x-12}&\\
&=====&\\
\end{array}$.

Dacă nu vă mai amintiți cum se face împărțirea polinoamelor, atunci trebuie să vă amintiți măcar următoarea șmecherie cu factorul comun prin care trebuie să facem ceva cu numărătorul în așa fel încât să aibă legătură cu numitorul. Mai exact, scriem numărătorul astfel

$$x^2-7x+12=x^2-3x-4x+12=x(x-3)-4(x-3).$$

Observați că am prelucrat numărătorul în așa fel încât să dăm factor comun și să apară numitorul în paranteze. Astfel, mai dăm o dată factor comun tocmai numitorul și obținem

$$x^2-7x+12=x(x-3)-4(x-3)=(x-3)\color{red}{(x-4)}.$$

O altă șmecherie pe care o puteți folosi este să căutați rădăcinile polinomului de la numărător. Cum polinomul de la numărător are gradul doi, putem calcula delta

$$\Delta=(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

Atunci, rădăcinile vor fi

$$x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1},$$

deci $x_1=3$ și $x_2=4$. În acest caz, rădăcinile ne spun că polinomul nostru de gradul doi $x^2-7x+12$ poate fi scris ca un produs de polinoame de gradul întâi

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

Dacă nu știți nici împărțirea polinoamelor, nici șmecheria cu factorul comun și nici măcar legătura dintre rădăcinile unui polinom și descompunerea acestuia în paranteze, dar vă mai amintiți, totuși, regula lui l'Hôpital, atunci sunteți câștigați, căci cu această regulă puteți calcula orice limite de fracții polinomiale. Problema este că regula lui l'Hôpital poate fi folosită doar atunci când este permisă utilizarea derivatei (cum este cazul la bac), iar derivatele se învață după limite, căci însăși derivata este o limită. Așa că, până la urmă, va trebui să învățați împărțirea polinoamelor, șmecheria cu factorul comun sau descompunerea cu parantezele.

Așadar, presupunând că printr-una dintre metode am reușit să obținem rezultatul împărțirii polinomului de la numărător cu polinomul de la numitor, am ajuns în situația în care putem scrie

$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x-4)=3-4=-1,$$

acesta fiind răspunsul căutat în cazul limitei noastre.