Cercul și poligoanele regulate

Ca și oricare dintre triunghiuri, cel echilateral are două cercuri prietene, unul circumscris, care trece prin toate vârfurile sale și unul înscris care atinge toate laturile sale. Doar că, pentru triunghiul echilateral, datorită simetriei perfecte a acestuia, centrele celor două cercuri coincid cu centrul de greutate și cu ortocentrul triunghiului. Această coincidență plăcută simplifică legătura dintre lungimea laturii triunghiului echilateral și razele celor două cercuri.

În geogebra am realizat o fișă în care puteți găsi formulele aferente legăturii dintre poligoanele regulate aprofundate în gimnaziu, adică triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat.

Vedeți mai jos imaginile corespunzătoare acestor poligoane:

Vă doresc să puteți asimila cât mai multe dintre aceste minunate formule, între care există o legătură profundă.

Cercul circumscris și mediatoarele

A doua problemă din politestul de clasa a IX-a apărut în 29 august este acum de clasa a șasea. Observați că politestele de clasa a IX-a au o problemă de a cincea și câte două problemele din clasele următoare.

Această primă problemă de clasa a șasea ne spune: în triunghiul VOR centrul cercului circumscris se află la 12 cm de punctul V. Se cere distanța de la punctul de intersecție a mediatoarelor triunghiului VOR la punctul O.

Problema este extrem de simplă și ar putea fi rezolvată în mai puțin de un minut de către elevul care știe că punctul de intersecție a mediatoarelor triunghiului este tocmai centrul cercului circumscris triunghiului dat. Dar elevul care nu cunoaște această proprietate este pierdut. Tot pierdut este și elevul care nu înțelege textul și, implicit, nu înțelege cerința problemei.

Elevul care știe că centrul cercului circumscris este la intersecția mediatoarelor știe că acest centru este la distanțe egale de vârfurile triunghiului, aceste distanțe fiind razele cercului circumscris, deci știe că răspunsul va fi tot 12 cm.

Desigur, elevul „pierdut” ar trebui să poată redescoperi proprietatea conform căreia centrul cercului circumscris este la intersecția mediatoarelor. Adică, ar trebui să știe ce este o mediatoare și să știe că orice punct de pe mediatoare se află la distanțe egale de capetele segmentului mediat. Atunci ar deduce că cel puțin două dintre mediatoare se intersectează într-un punct aflat la distanță egală de capetele ambelor segmente mediate, deci la distanță egală de vârfurile triunghiului.

Relația dintre latura pătratului și raza cercului circumscris

Așa cum se arată în filmuleț, dacă am cunoaște lungimea razei cercului circumscris unui pătrat și ne-ar interesa lungimea laturii pătratului, atunci ne-am folosi de formula
$$l_4=R_4\sqrt 2.$$