Cea mai importantă inegalitate din gimnaziu!

Elevii de clasa a șasea învață să lucreze cu numere negative, mai mici decât zero. Ca exemplu, primesc temperatura mediului înconjurător sau etajele de la subsolul unor clădiri înalte. 

Li se spune că iarna, atunci când este mai frig decât frigul la care îngheață apele curate, temperatura este negativă, mercurul termometrului fiind foarte înghesuit, ocupând volum mai mic, în timp ce vara temperatura este, de regulă, pozitivă, iar mercurul termometrului este extins mai mult, dilatat mai mult. 

De exemplu, atunci când temperatura este de $-3^o$, este mai frig (nivelul mercurului este mai coborât) decât atunci când temperatura este de $+5^o$, iar diferența de temperatură în acest caz este de $8^o$, adică mercurul urcă 8 etaje ca să ajungă de la etajul $-3$ la etajul 5.

Apoi, după ce au învățat numerele negative, învață să lucreze cu puterile acestora și află că dacă exponentul la care se ridică un număr negativ este par, atunci rezultatul ridicării este un număr pozitiv. De exemplu, $(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=+9$.

Din acest moment li se poate povesti despre cea mai importantă inegalitate din gimnaziu și anume despre faptul că $$\color{red}{orice^2\geq 0}.$$

Așadar, orice număr învățat în gimnaziu, ridicat la puterea a doua va da un rezultat pozitiv, indiferent de număr. 

În liceu se învață și alt tip de numere (așa-numitele numere complexe), care ridicate la pătrat ne pot da și un rezultat negativ.

Această inegalitate de care v-am vorbit este cea mai importantă, deoarece din ea rezultă o mulțime de alte inegalități. De exemplu, inegalitatea mediilor se demonstrează ușor cu această inegalitate importantă, ceea ce denotă că inegalitatea mediilor este o consecință frumoasă a celei mai importante inegalități din gimnaziu. 

Așadar, dragii mei, rogu-vă să vă amintiți des despre această minunăție învățată în gimnaziu, căci ea vă va scoate din belele în majoritatea cazurilor când vi se va cere să demonstrați o inegalitate.

Intersecția cu mulțimea numerelor întregi a unei mulțimi care conține tot felul de numere ciudate

În 20 de secunde ar trebui să putem rezolva următoarea problemă simplă de clasa a șaptea, a treia din testul-fulger apărut recent: „Dată fiind mulțimea M={-6;-1/5;-sqrt(9);0;sqrt(2);sqrt(3);0,7;8}, se cere intersecția dintre M și Z. ”

Altfel spus, se cer, de fapt, numerele întregi (căci Z este mulțimea numerelor întregi) din mulțimea M. Căci intersecția a două mulțimi este o nouă mulțime care conține elementele comune din cele două mulțimi, așa cum intersecția a două străzi conține partea comună a celor două străzi.

Ne rămâne atunci să analizăm pe rând fiecare element al mulțimii M ca să putem decide dacă el este număr întreg sau nu este. În cazul în care vom constata că este număr întreg îl vom așeza în noua mulțime, iar în cazul în care nu este număr întreg vom sări peste el.

Numerele întregi sunt cele ce pot fi scrise  fără virgulă și fără fracție. Astfel, primul număr $-6$ este întreg, chiar dacă are semnul minus în față (numerele naturale sunt cele fără minus). Următorul număr, adică $-\frac{1}{5}$ nu poate fi scris fără fracție sau fără virgulă, așa că nu este număr întreg. Apoi, $-\sqrt{9}$ este număr întreg, căci este un radical frumos ce poate fi calculat și ne dă $-\sqrt{9}=-3$, așadar este număr întreg, deci îl vom așeza în mulțimea ce ne dă intersecția. Apoi numărul $0$ este număr întreg, căci este și natural și orice număr natural este și întreg (dar nu și reciproc). Radicalii urâți care urmează, $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ nu sunt numere întregi, ba chiar nici măcar numere raționale, căci toți radicalii ăștia urâți, care nu se pot calcula exact, sunt numere iraționale. Ne mai rămâne atunci să analizăm numerele $0,7$ și $8$, dintre care, desigur, doar numărul $8$ este număr întreg, așa cum ne trebuie nouă în rezultat.

Atunci, punând împreună concluziile precedente, înțelegeți mai bine de ce obținem că noua mulțime de la răspuns va fi formată din elementele: $$\color{red}{-6,\,-\sqrt{9},\,0,\,8}.$$