Sensul unui vector. Orientare. Clasa a IX-a.

Problema 5 din ultimul test ne cere vectorul opus al unui vector. Datorită faptului că un vector este orientat, contează ordinea în care scriem cele două litere care definesc vectorul. Așadar, vectorul XK nu este tot una cu vectorul KX. 

Este adevărat, cei doi vectori XK și KX nu diferă foarte mult între ei, căci au aceeași direcție și același modul. Singurul lucru prin care diferă ei este sensul. Dacă unul dintre ei pleacă „în sus”, celălalt va pleca „în jos”. Dacă unul dintre ei pleacă „spre dreapta”, celălalt va pleca „spre stânga”, iar dacă unul dintre ei va pleca „înainte”, celălalt va pleca „înapoi”. Am pus ghilimele pentru a mă referi la o orientare universală, independentă de suprafața Pământului.

Din acest motiv, cei doi vectori se numesc „opuși”. Așadar, dacă vi se va mai cere vreodată vectorul opus lui XK să știți că vi se cere de fapt vectorul ale cărui litere sunt comutate, adică vectorul KX.

Intersecția mulțimii precedente cu mulțimea numerelor raționale

Dacă în problema precedentă trebuia să intersectăm mulțimea M={-6;-1/5;-sqrt(9);0;sqrt(2);sqrt(3);0,7;8} cu mulțimea numerelor întregi, de data aceasta se cere să o intersectăm cu mulțimea numerelor raționale, notată cu Q. Astfel, elevul care va rezolva această problemă trebuie să cunoască simbolul mulțimii numerelor raționale și mai trebuie să știe ce înseamnă număr rațional sau măcar să poată face distincția dintre numerele raționale și numerele iraționale.


El va ști că tot ce a pus în rezolvarea precedentă (unde trebuia să intersecteze cu Z) va fi bun și în această rezolvare, deoarece orice număr întreg este și rațional. De asemenea, va ști că orice „radical urât”, adică radical cu virgulă va fi număr irațional, deci nu va trebui pus în intersecția cu Q. În mulțimea noastră avem doi radicali urâți, $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$, deci aceștia nu vor avea ce căuta printre numerele raționale din rezultat.

Drept urmare, intersecția dintre mulțimea M={-6;-1/5;-sqrt(9);0;sqrt(2);sqrt(3);0,7;8} și Q va fi
$$M\cap \mathbb{Q}=\color{red}{\{-6;-1/5;-\sqrt{9};0;0,7;8\}}.$$

Intersecția cu mulțimea numerelor întregi a unei mulțimi care conține tot felul de numere ciudate

În 20 de secunde ar trebui să putem rezolva următoarea problemă simplă de clasa a șaptea, a treia din testul-fulger apărut recent: „Dată fiind mulțimea M={-6;-1/5;-sqrt(9);0;sqrt(2);sqrt(3);0,7;8}, se cere intersecția dintre M și Z. ”

Altfel spus, se cer, de fapt, numerele întregi (căci Z este mulțimea numerelor întregi) din mulțimea M. Căci intersecția a două mulțimi este o nouă mulțime care conține elementele comune din cele două mulțimi, așa cum intersecția a două străzi conține partea comună a celor două străzi.

Ne rămâne atunci să analizăm pe rând fiecare element al mulțimii M ca să putem decide dacă el este număr întreg sau nu este. În cazul în care vom constata că este număr întreg îl vom așeza în noua mulțime, iar în cazul în care nu este număr întreg vom sări peste el.

Numerele întregi sunt cele ce pot fi scrise  fără virgulă și fără fracție. Astfel, primul număr $-6$ este întreg, chiar dacă are semnul minus în față (numerele naturale sunt cele fără minus). Următorul număr, adică $-\frac{1}{5}$ nu poate fi scris fără fracție sau fără virgulă, așa că nu este număr întreg. Apoi, $-\sqrt{9}$ este număr întreg, căci este un radical frumos ce poate fi calculat și ne dă $-\sqrt{9}=-3$, așadar este număr întreg, deci îl vom așeza în mulțimea ce ne dă intersecția. Apoi numărul $0$ este număr întreg, căci este și natural și orice număr natural este și întreg (dar nu și reciproc). Radicalii urâți care urmează, $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ nu sunt numere întregi, ba chiar nici măcar numere raționale, căci toți radicalii ăștia urâți, care nu se pot calcula exact, sunt numere iraționale. Ne mai rămâne atunci să analizăm numerele $0,7$ și $8$, dintre care, desigur, doar numărul $8$ este număr întreg, așa cum ne trebuie nouă în rezultat.

Atunci, punând împreună concluziile precedente, înțelegeți mai bine de ce obținem că noua mulțime de la răspuns va fi formată din elementele: $$\color{red}{-6,\,-\sqrt{9},\,0,\,8}.$$

În triunghiul SUV unghiul U este dublul lui V, iar S are 60 de grade. Câte grade are U?

Acesta este enunțul celei de-a doua probleme din politestul pe care îl rezolvăm acum.

Pentru a rezolva problema pornim de la faptul că suma (măsurilor) unghiurilor unui triunghi este 180 de grade, oricât de urât ar fi triunghiul respectiv.  Până aici a fost geometrie, iar de aici încolo va fi algebră. Deci, avem de rezolvat o ecuație. 

Dacă notăm măsura unghiului V cu x, atunci ecuația noastră este $$2x+x+60=180.$$

Așadar, $3x=180-60=120$. De aici rezultă că unghiul V are măsura $x=40$, deci unghiul U, fiind dublul lui V, va avea valoarea $$U=2x=2\cdot 40=\color{red}{80}.$$

Fracție ireductibilă cu numitorul 12

Începem o nouă serie articole în care vom rezolva politestul-fulger de clasa a douăsprezecea apărut în 1 octombrie.

Astăzi, prima problemă ne cere să dăm un exemplu de fracție ireductibilă cu numitorul 12. Elevul de clasa a cincea (și, implicit, cel de clasa a douăsprezecea) trebuie să știe că o fracție este ireductibilă dacă nu se mai poate simplifica. Mai departe, aceasta înseamnă că numărătorul și numitorul sunt relativ prime, adică au cel mai mare divizor comun egal cu unitatea.

Numerele relativ prime nu trebuie să fie neapărat prime. Noțiunea de „relativ” se referă la o comparație între cele două numere, adică unul trebuie să fie prim față de celălalt. De exemplu, numerele 15 și 8, deși nu sunt prime, totuși sunt relativ prime pentru că nu există niciun număr cu care să se poată împărți exact amândouă (cu excepția lui 1, desigur, care este irelevant căci nu modifică nimic).

Așadar, ca să putem crea o fracție ireductibilă cu numitorul 12 este necesar să găsim un număr relativ prim cu 12 pe care să-l așezăm la numărătorul fracției. Desigur că orice număr prim va fi relativ prim cu orice alt număr care nu-l va avea ca divizor pe acel număr prim. Aceasta înseamnă că, de exemplu, orice număr prim mai mare decât 12 ar putea rezolva problema noastră. Mai exact, oricare dintre fracțiile: 

$$\color{red}{\frac{13}{12}},\,\frac{17}{12},\,\frac{19}{12},\,\frac{23}{12},\,\frac{29}{12},\,\dots$$ 

va fi o fracție care duce la rezolvarea problemei.

Da, bineînțeles, cum spunea, nu doar numerele prime mai mari decât 12 pentru numărător sunt soluția. Alte exemple, fără numere prime, pot fi:

$$\frac{25}{12},\,\frac{49}{12},\,\frac{121}{12},\,\frac{125}{12},\,\dots$$

Evident că elevul din clasele terminale ale liceului ar fi bine să cunoască aceste detalii, pentru a putea rezolva problemele mult mai complicate apărute de-a lungul anilor.

Ce valoare are produsul scalar dacă vectorii sunt perpendiculari?

Textul

Ultima problemă din politestul curent

spune „Ce valoare are produsul scalar dacă vectorii sunt perpendiculari?”

În cinci secunde, elevul știe că doi vectori perpendiculari are produsul scalar egal cu zero, deoarece unghiul dintre vectorii perpendiculari fiind un unghi drept, cosinusul acestuia este zero.

În general, produsul scalar dintre doi vectori este un număr dat de un produs de trei factori, doi dintre factori fiind modulele vectorilor respectivi, iar al treilea factor fiind cosinusul unghiului dintre cei doi vectori. Adică:

$$|\vec u|\cdot|\vec v|=uv\cos(\vec u;\vec v).$$

Și cum $$\cos 90^o=0,$$ rezultă ceea ce se constată și la răspunsul din politest.

Care este valoarea extremă a funcției de gradul al doilea $f(x)=-2x^2+6x+5$?

În politestul de clasa a noua pe care îl discutăm acum

găsim problema:

„Fie funcția de gradul al doilea, definită pe R cu valori în R, dată prin $f(x)=-2x^2+6x+5$. Care este valoarea ei extremă?”

Se poate rezolva în 20 de secunde această problemă? Cum dumnezeu? Păi, elevul care știe că valoarea extremă a funcției de gradul al doilea este tocmai ordonata vârfului parabolei va calcula repede pe $\Delta$ și va face raportul necesar. 

Cum vârful parabolei are coordonatele: $$V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right)$$ și cum ordonata acestui vârf este $$-\frac{\Delta}{4a},$$

rezultă că vom calcula pe $\Delta=36+40=76$ și raportul $$-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{76}{-8}=\color{red}{\frac{19}{2}}.$$

Aceasta este valoarea extremă (maximă) a funcției date. Valoarea minimă nu există, căci pentru $a<0$ (coeficientul lui $x^2$ este negativ) parabola are vârful în sus, iar în acest caz cea mai mică valoare posibilă a funcției ar fi $-\infty$, care nu aparține mulțimii numerelor reale (ci numai lui $\mathbb{\bar{R}}$).

Care interval este soluția inecuației $2x-1>7$?

A șaptea problemă din politestul recent de clasa a noua ne cere să găsim soluția unei inecuații. Inecuația nu este complicată și tocmai de aceea primim 20 de secunde pentru rezolvarea ei.

Așadar, să începem. Dacă inecuația este $$2x-1>7,$$ noi o vom transforma în așa fel încât să scăpăm de numerele din jurul lui $x$. Astfel, din $2x-1>7$ putem obține $2x>7+1$, căci l-am aruncat pe $-1$ de lângă $x$ în partea cealaltă a semnului de inegalitate. Și observați că am început cu $-1$, nu cu $2$ deoarece procedăm ca și în cazul „mersului invers” când începem tocmai invers, cu operațiile care se fac ultimele (în acest caz am început cu scăderea și am transformat-o în adunare).

Acum am obținut inecuația echivalentă $$2x>8.$$ Următorul pas este să scăpăm și de $2$ care este înmulțit cu $x$. Pentru aceasta, desigur, vom împărți inecuația cu $2$. Cum $2$ este pozitiv, nu se va schimba semnul inegalității (dacă era negativ, s-ar fi schimbat). Obținem acum $$x>\frac{8}{2},$$ adică $$x>4.$$

Această ultimă formă a inecuației în care am reușit să-l eliberăm pe $x$ de numerele din jurul său este forma finală din care vom putea extrage intervalul cerut. Inecuația ne spune că ne trebuie toate numerele mai mari decât $4$. Toate acele numere sunt soluții ale inecuației date. Și cum exprimăm toate aceste numere ca un interval? Cum putem să ne referim la „toate numerele mai mari decât $4$”? Iată cum: $$\color{red}{(4;+\infty)}.$$

Acest interval este soluția inecuației date.

Ați găsit explicații mai detaliate undeva? Ce mă bucur că pot să vă ajut!

Care sunt elementele mulțimii A={x aparține lui Z | 3/x aparține lui Z}?

A șasea problemă din politestul-fulger pe care îl rezolvăm în această serie de articole ne cere mulțimea elementelor care satisfac o anumită proprietate. Elevul trebuie să înțeleagă cerința și să fie atent la mulțimile care apar în cerință. În cazul problemei noastre în cerință apare mulțimea numerelor întregi, adică a celor ce pot fi scrise simplu fără virgulă (dar care pot fi negative).

Așadar, care sunt elementele mulțimii A={x aparține lui Z | 3/x aparține lui Z}? 

Înainte de toate trebuie să ne uităm la fracția $\frac{3}{x}$ și să studiem ce ar trebui să fie numitorul pentru ca această fracție să fie număr întreg. Desigur, numitorul trebuie să fie un divizor al lui trei. Iar acești divizori ai lui trei pot fi și negativi, deoarece mulțimea Z conține și numere negative. Dacă ar fi fost vorba de N, atunci trebuia să avem grijă să ne limităm doar la divizorii pozitivi, dar mulțimea Z ne permite și numerele negative.

Cum divizorii întregi ai lui $3$ sunt $-3$, $-1$, $1$ și $3$ și cum numitorul nu mai conține altceva decât tocmai necunoscuta $x$, rezultă că răspunsul la problema noastră va fi simplu: $$\color{red}{-3,\,-1,\,1,\,3}.$$

Radical din 8 plus radical din 2 este radical din 18. Interesant, nu-i așa!?

Textul

Problema 5 din politest ne cere un lucru simplu: să adunăm $\sqrt{8}$ cu $\sqrt{2}$.

Sunt elevi care cred că rezultatul ar fi $\sqrt{8+2}$. Alții cred că adunarea nu se poate face, deoarece radicalii nu sunt de același fel.

Dar, de fapt, calculul se poate face ușor după ce ne ocupăm întâi de $\sqrt{8}$ pe care îl transformăm în $2\sqrt{2}$. Astfel, avem:

$$\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=\color{red}{3\sqrt{2}=\sqrt{18}}.$$

Mai exact, radicalii de același fel se adună ușor, așa cum adunăm merele sau perele. Astfel, doi radicali din 2, adunat cu încă un radical din 2 ne vor da trei radicali din 2, așa cum două mere plus un măr fac trei mere.

Mai rămâne să înțelegem de ce $\sqrt{2}$ poate fi asimilat cu $2\sqrt{2}$. O metodă ar fi descompunerea numărului 8 în factori primi, care ne va da că $8=2^3$. Cum doar doi de 2 se pot împerechea, celălalt 2 rămâne sub radical.

Cealaltă metodă este să observăm că numărul $8$ nu este liber de pătrate, căci în el se ascunde pătratul perfect $4$. Atunci $$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}.$$

Și consider că astfel v-am arătat detaliile rezolvării acestei probleme frumoase.

Problemă de a șaptea cu paralelogramul ABEL

O altă problemă din testul precedent spune că „În paralelogramul ABEL unghiul E are 70 de grade. Câte grade are unghiul A?".

Se poate rezolva problema în zece secunde, așa cum spune politestul-fulger? Bineînțeles. Oare trebuie desenat paralelogramul? Nicidecum. Este suficient să știm că ordinea literelor ne spune că unghiul A este opus unghiului E și că unghiurile opuse într-un paralelogram sunt egale. Gata.

Nu-i așa că aceste teste scot la iveală rapid și sigur cunoștințele fundamentale ale elevului? Nu-i așa că asemenea teste pot fi folosite chiar și cu cărțile în față? Cine știe nu mai are nevoie să caute și se încadrează în timp, iar cine are nevoie să caute nu știe și nu se încadrează în timp.

Cercul circumscris și mediatoarele

A doua problemă din politestul de clasa a IX-a apărut în 29 august este acum de clasa a șasea. Observați că politestele de clasa a IX-a au o problemă de a cincea și câte două problemele din clasele următoare.

Această primă problemă de clasa a șasea ne spune: în triunghiul VOR centrul cercului circumscris se află la 12 cm de punctul V. Se cere distanța de la punctul de intersecție a mediatoarelor triunghiului VOR la punctul O.

Problema este extrem de simplă și ar putea fi rezolvată în mai puțin de un minut de către elevul care știe că punctul de intersecție a mediatoarelor triunghiului este tocmai centrul cercului circumscris triunghiului dat. Dar elevul care nu cunoaște această proprietate este pierdut. Tot pierdut este și elevul care nu înțelege textul și, implicit, nu înțelege cerința problemei.

Elevul care știe că centrul cercului circumscris este la intersecția mediatoarelor știe că acest centru este la distanțe egale de vârfurile triunghiului, aceste distanțe fiind razele cercului circumscris, deci știe că răspunsul va fi tot 12 cm.

Desigur, elevul „pierdut” ar trebui să poată redescoperi proprietatea conform căreia centrul cercului circumscris este la intersecția mediatoarelor. Adică, ar trebui să știe ce este o mediatoare și să știe că orice punct de pe mediatoare se află la distanțe egale de capetele segmentului mediat. Atunci ar deduce că cel puțin două dintre mediatoare se intersectează într-un punct aflat la distanță egală de capetele ambelor segmente mediate, deci la distanță egală de vârfurile triunghiului.

Prima problemă din politestul-fulger de clasa a IX-a, generat în 29 august

În cele ce urmează ne vom ocupa de un politest-fulger din imaginea de mai jos, în care vedeți o listă cu 9 probleme, prima de clasa a cincea și apoi câte două din fiecare clasă până într-a noua inclusiv. Baza de itemi acoperită are 938 de elemente momentan, iar politestul apărut ar trebui să poată fi rezolvat în 270 de secunde.

Prima problemă, de clasa a cincea, ne spune că „Segmentul LH are lungimea de 8 cm, segmentul HV are lungimea de 50 mm, iar punctele H, V și L sunt coliniare în această ordine. Ce lungime are segmentul VL?”.

Dacă punctele H, V și L sunt coliniare în această ordine, atunci suma segmentelor mici trebuie să ne dea exact segmentul mare. Mai concret, 

$$HV+VL=HL.$$

Așadar, elevul de clasa a cincea care întâlnește această problemă trebuie să înțeleagă enunțul, să își amintească ce înseamnă coliniaritatea celor trei puncte și ce consecință metrică are această coliniaritate. Desigur că în 60 de secunde se poate realiza aceasta.

Urmează atunci o simplă înlocuire, în care ținem seama că segmentul $HL$ are aceeași lungime cu segmentul $LH$, astfel că relația precedentă devine:
$$HV+VL=HL\Longrightarrow 50\, \text{mm}+VL=8\,\text{cm}.$$

Următoarea etapă de rezolvare a problemei este transformarea unităților de măsură pentru a putea omogeniza relația, formă în care vom putea calcula lungimea lui VL. Căci, un elev superficial care s-ar grăbi să facă asemenea calcule fără să țină seama de faptul că unitățile de măsură sunt diferite, ar ajunge la un rezultat aberant și anume ar fi nevoit să facă scăderea $8-50$ care l-ar duce la un rezultat număr negativ.

Așadar, contează mult unitatea de măsură. O valoare numerică singură, fără unitatea de măsură asociată nu ne dă nicio informație despre lungimea segmentelor. Numai ansamblul celor două ne poate da precizia de care este nevoie.

Atunci trebuie să transformăm centimetri în milimetri sau milimetri în centimetri. Alegem ultima variantă. Cum 50 de milimetri înseamnă 5 centimetri, relația noastră devine acum omogenă:

$$50\, \text{mm}+VL=8\,\text{cm}\Longrightarrow 5\, \text{cm}+VL=8\,\text{cm}.$$

Din această ultimă relație rezultă că 
$$VL=8\,\text{cm}-5\,\text{cm}=\color{red}{3\,\text{cm}}.$$

Ultima problemă din testul generat automat în 5 august

A noua problemă, deci ultima, ne cere să găsim cel mai mic număr natural din intervalul (-7; 4]. Cu puțină atenție, elevul nu va confunda cerința. Căci, în timp ce un elev neatent ar putea crede că răspunsul este $-6$, elevul vigilent va observa că se cere numărul care trebuie să fie natural, nu întreg. 

Și cum numerele naturale nu sunt negative, cel mai mic număr natural posibil este numărul $0$. Și cum acest număr se regăsește în intervalul dat, răspunsul final va fi, desigur, $\color{red}{0}$.

Problema 8 din testul precedent, geometrie cu teorema medianei principale și a unghiului de 30

A opta problemă din test, de geometrie, ne spune că avem cateta mică de 14 cm și se cere distanța de la vârful unghiului mic la suportul medianei principale. Oare putem rezolva problema în 45 de secunde?

Elevul harnic va schița repede un desen de genul:

Acest desen este justificat de două teoreme importante pe care le-a învățat deja elevul isteț de clasa a șaptea: teorema unghiului de 30 de grade (care poate fi înlocuită și de funcțiile trigonometrice) și teorema medianei principale (cea corespunzătoare ipotenuzei).

Mai precis, elevul care știe ce este mediana corespunzătoare ipotenuzei va pregăti dreapta roșie, căci aceasta conține mediana care pornește din vârful unghiului de 90 de grade și se duce pe mijlocul M al ipotenuzei.

De asemenea, dacă știe ce înseamnă distanță de la un punct la o dreaptă, va duce frumos o perpendiculară (albastră) pe dreapta roșie din vârful unghiului mic, de 30 de grade, așa cum cere problema. 

Cu desenul făcut își va aminti că triunghiul dreptunghic special (Timaios) care are un unghi de 30 de grade este un triunghi cu proprietăți minunate (iar pentru studiul acestui triunghi are un echer cu un unghi de 30 de grade). Mai exact, își va aminti teorema unghiului de 30 de grade care spune că într-un asemenea triunghi dreptunghic special (ce cu unghiul de 30 de grade) ipotenuza este dublul catetei mici. 

Cunoscând ipotenuza și cateta mică, el poate determina cu teorema lui Pitagora lungimea catetei mari. Sau, dacă este și mai isteț, el poate reține că lungimea catetei mari în triunghiul acesta minunat este ca și a celei mici, doar că îi mai lipim un radical din trei. Sau, dacă îi plac funcțiile trigonometrice, va putea afla direct cateta mare din cateta mică cu ajutorul funcției tangentă de 30 de grade care este raportul dintre cateta opusă unghiului de 30 de grade (cea mică în cazul nostru) și cateta alăturată (cea mare).

Odată ce a găsit lungimea catetei mari, elevul nostru va trebui să-și amintească teorema medianei principale care îi va spune că în orice triunghi dreptunghic (nu doar în cel cu un unghi de 30 de grade) mediana corespunzătoare ipotenuzei este și ea jumătate din ipotenuză, ceea ce înseamnă că triunghiul AMB este isoscel, deci și unghiul BAD este de 30 de grade, deci și în triunghiul BAD poate folosi teorema unghiului de 30 de grade, deci cateta mică din acest triunghi, adică BD va fi jumătate din ipotenuza triunghiului BAD, care ipotenuză este acum AB, adică fosta catetă mare din triunghiulABC, a cărei lungime a găsit că este $14\sqrt{3}$. 

Și cum jumătate din $14\sqrt{3}$ este $\color{red}{7\sqrt{3}}$, elevul care știe dinainte, fără să clipească, toate aceste lucruri, poate finaliza rezolvarea într-un timp rezonabil, din câteva priviri ale desenului făcut corect.

Problema 6 din testul-fulger: calculează $\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}$

Pentru a face calculul cerut de problema 6 în 60 de secunde

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}$$

va trebui să aducem la o formă mai simplă expresia, așa cum spuneam la problema 4 deja rezolvată. Dar, de data aceasta, numitorul acestei fracții urâte este oarecum mai complicat, căci are o adunare și ar însemna că raționalizarea numitorului acestei fracții ar fi ceva mai laborioasă decât a fost la problema 4.

Rezolvarea cu factorul comun

Mai bine, dacă aruncăm o privire la numărătorul fracției (partea de sus), constatăm că acolo se află radicalul $\sqrt{98}$ pe care elevul cu experiență știe că trebuie să-l modifice puțin, adică „să scoată factorul de sub radical”, căci numărul 98 nu este „liber de pătrate”, în el ascunzându-se pătratul perfect $49$. Așadar, din $\sqrt{98}$ putem să facem $$\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=\sqrt{49}\cdot\sqrt{2}=7\sqrt{2}.$$

Cu această observație, fracția noastră devine acum 
$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{21+7\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}.$$

Acum numărătorul are o poveste fascinantă, care ne va permite să rezolvăm mai repede problema decât am fi rezolvat-o dacă porneam pe drumul raționalizării. Mai exact, expresia $21+7\sqrt{2}$ ne permite să dăm factorul comun pe $7$, deoarece $21=7\cdot 3$. Atunci calculul nostru devine mult mai interesant:

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{21+7\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{7(3+\sqrt{2})}{3+\sqrt{2}}.$$

Sunt convins că acum ați observat deja magia calculului care urmează: putem simplifica cu $\color{blue}{3+\sqrt{2}}$! Yuuuuppppiiii! Ce simplu a fooost! Așadar, simplificând obținem 

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{21+7\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{7(\color{blue}{3+\sqrt{2}})}{\color{blue}{3+\sqrt{2}}}=\frac{7}{1}=\color{red}{7}.$$

Rezolvarea cu raționalizarea

Desigur, dacă am fi urmat drumul raționalizării înainte să observăm că se naște factorul comun ce ne va permite simplificarea, am fi ajuns la aceeași valoare, căci Matematica este coerentă, doar că ne-ar fi purtat pe căi mai întortocheate. Iată cam ce însemna raționalizarea numitorului, deci amplificarea cu conjugata.

Știm că atunci când avem o sumă (sau diferență) cu radicali la numitor, putem amplifica fracția cu așa-numita „expresie conjugată”, adică exact aceeași expresie care se regăsește deja la numitor, doar că cu semnul schimbat (dacă este sumă, amplificăm cu diferența, iar dacă e diferență amplificăm cu suma).

Atunci, făcând amplificarea și muncind cu răbdare pentru a desface apoi parantezele prin înmulțirea termenilor corespunzători, avem

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{(3-\sqrt{2})(21+\sqrt{98})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}=$$

$$=\frac{63+3\sqrt{98}-21\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{98}}{9-2}.$$

Observați că pentru numitor am folosit formula de calcul prescurtat care spune că $$\color{red}{(a-b)(a+b)=a^2-b^2},$$ adică $(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})=3^2-(\sqrt{2})^2=9-2$.

Apoi, ocupându-ne de numărător și observând că $3\sqrt{98}=3\cdot 7\sqrt{2}=21\sqrt{2}$, care se va reduce cu $-21\sqrt{2}$ și observând că produsul acela de radicali va da $\sqrt{2}\sqrt{98}=\sqrt{196}=14$, calculul nostru devine atunci 

$$\frac{63+3\sqrt{98}-21\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{98}}{9-2}=\frac{63-14}{7}=\frac{49}{7}=\color{red}{7}.$$

O groază de lucru cu raționalizarea asta, dar măcar tot i-am dat de capăt și am ajuns la același rezultat.

Problema 5 din testul-fulger recent

Problema 5 ne spune că într-o parcare sunt automobile și biciclete, în total 17 vehicule și 44 de roți. Ne cere numărul de biciclete. Rezolvarea ar putea dura în mod normal vreo 60 de secunde, dar nu este exclus să se poată rezolva și mai repede.

Metoda mai veche a elevului de clasa a cincea: metoda falsei ipoteze

Cum procedăm? În ultimă instanță, problema ar putea fi rezolvată chiar și de către un elev bun de clasa a cincea, prin metoda falsei ipoteze, adică acea metodă în care presupunem ceva chiar dacă ar fi absurd și tragem concluziile care se impun. 

De exemplu, am putea presupune că toate vehiculele ar fi biciclete. Atunci am obține prea puține roți. Mai exact, dacă vehiculele ar fi numai biciclete, cum ele au doar câte două roți, ar însemna că totalul de 17 vehicule, deci de 17 biciclete, ne aduce doar $17\cdot 2=34$ de roți. Ori problema spune că sunt 44 de roți, deci cu $44-34=\color{blue}{10}$ roți mai mult decât în realitate. Înseamnă că acele 10 roți în plus se datorează automobilelor care au, de regulă, patru roți, adică cu $4-2=\color{green}{2}$ roți în plus față de biciclete. Ar rezulta că automobile sunt de fapt $\frac{\color{blue}{10}}{\color{green}{2}}=5$ și doar $17-5=\color{red}{12}$ biciclete.

La același rezultat ajungem și dacă facem o altă presupunere absurdă, de exemplu că toate sunt automobile. Atunci am avea $17\cdot 4=68$ de roți, adică cu $68-44=24$ mai mult decât în realitate, ceea ce înseamnă că cele $24$ de roți în minus se datorează diferenței de roți $4-2=2$ provenite de la biciclete.

Observați că metoda falsei ipoteze presupune, de regulă două scăderi și o împărțire. Desigur, metoda putea fi aplicată la orice presupunere. Chiar dacă am fi presupus că sunt 16 automobile și o singură bicicletă, am fi ajuns la concluzia corectă. 

Metoda modernă a elevului de clasa a șaptea: metoda sistemului

Dar, desigur, elevul de clasa a șaptea are o metodă mult mai modernă făcând un sistem frumos pe care să-l rezolve. Notând cu $a$ numărul automobilelor și cu $b$ cel al bicicletelor, elevul de clasa a șaptea va scrie sistemul:

$$\begin{cases}
\,\,\,a+\,b&=17\\
4a+2b&=44
\end{cases}$$

și va rezolva acest sistem cu metoda reducerii. Mai exact, va amplifica, de exemplu, prima relație cu $(-4)$ ca să elimine automobilele și va obține

$$\begin{cases}
-4a-4b&=-68\\
\,\,\,\,4a+2b&=\,\,44
\end{cases}.$$

Adunând apoi cele două linii ale sistemului, i se vor reduce automobilele și va rămâne cu ecuația simplă $$-2b=-24,$$ care ne duce, desigur, la răspunsul final, $$\color{red}{b=12}.$$

A patra problemă din testul-fulger: calculează $\frac{4}{\sqrt{8}}$

O problemă de 10 secunde ne cere să calculăm $\frac{4}{\sqrt{8}}$.

Ce înseamnă în acest context „a calcula”? Înseamnă a aduce la o formă și mai simplă, făcând diverse calcule care ne-ar putea apropia de o asemenea formă. De exemplu, din $\sqrt{8}$, scoțând factorul posibil, noi putem obține ceva mai interesant și anume $2\sqrt{2}$.

De aceea, avem mai departe că $$\frac{4}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}.$$

Apoi, simplificând cu 2, obținem $$\frac{4}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}.$$

În fine, cum numărul $2$ se poate scrie și ca $2=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$, simplificând apoi cu $\sqrt{2}$, rezultă că avem
$$\frac{4}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\color{red}{\sqrt{2}},$$

ceea ce reprezintă rezultatul final al calculului dorit.

Completează punctele de suspensie: $x^2+\dots+16=(x+4)^2$

Problema 3 din testul de clasa a șaptea generat în 5 august ne cere să completăm în 5 secunde punctele de suspensie în cazul următor: $$x^2+\dots+16=(x+4)^2$$

Elevul care cunoaște formula de calcul prescurtat $$\color{red}{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2},$$ va realiza repede că poate fi aplicată și în cazul în care $a=x$, respectiv $b=4$. Atunci el va face o evaluare mentală rapidă și va scrie în minte că 

$$(x+4)^2=x^2+2\cdot x\cdot 4+4^2=x^2+8x+16.$$

Cum egalitatea este simetrică, dacă $ceva=altceva$, atunci și reciproc, $altceva=ceva$. Astfel, dacă $(x+4)^2=x^2+8x+16$, atunci și $$x^2+\color{red}{8x}+16=(x+4)^2.$$ Dar ultima relație ne scoate în evidență tocmai termenul care lipsea în punctele de suspensie, adică $$\color{red}{8x}.$$

Astfel, dacă veți reține formulele de calcul prescurtat, cu certitudine veți putea rezolva rapid asemenea problemuțe drăguțe.

Problema 2 din testul de clasa a șaptea generat automat în 5 august 2021

Lucrăm în continuare pe testul precedent, de data aceasta la problema 2, de geometrie.

A doua problemă din test ne spune că triunghiurile AUL și ULA sunt asemenea. Chiar dacă nu desenați aceste triunghiuri, din teorema fundamentală a asemănării rezultă o egalitate frumoasă de trei rapoarte pe care le puteți scrie privind ordinea literelor date în formularea asemănării (ordinea literelor este crucială).

Mai precis, dacă triunghiurile AUL și ULA sunt asemenea, înseamnă că, din teorema fundamentală a asemănării (notată uneori prescurtat cu TFA), o teoremă foarte puternică și bogată în consecințe, rezultă următoarele egalități, care exprimă raportul de asemănare k: 

$$\frac{AU}{UL}=\frac{AL}{UA}=\frac{UL}{LA}=k.$$

Aceste rapoarte conțin la numărător litere din primul triunghi, iar la numitor literele corespunzătoare ordinii lor, din al doilea triunghi. De exemplu, primul raport este format cu primele două litere din primul triunghi supra primele două litere din al doilea triunghi.

Din aceste rapoarte, cum $AU=UA$, deci ordinea literelor nu contează, rezultă astfel că:

$$AU=kUL,$$

$$AL=kAU=k(kUL)=k^2UL$$

și

$$UL=kAL=k(k^2UL)=k^3UL.$$

Din ultima relație obținem că valoarea lui k nu poate fi decât 1. Așadar, în fine, $AU=1\cdot UL=1\cdot AL$, ceea ce denotă că triunghiul dat este echilateral, așa cum apare în dreptul răspunsurilor.

Aceasta este demonstrația riguroasă, dar intuiția unui rezolvitor de probleme de geometrie de clasa a șaptea îi permite acestuia să se încadreze în timpul necesar obținerii punctajului maxim (deci în 20 secunde).

Problema 1 din test clasa a șaptea, generat automat în 5 august 2021

Lucrăm azi pe testul

Prima problemă din test ne cere să comparăm numărul $12\sqrt{2}$ cu 17 și să stabilim care este cel mai mare dintre ele. Desigur, având în vedere că numărul $\sqrt{2}$ este un număr ciudat, cu o infinitate de zecimale, neperiodic, deci irațional, nu putem face o comparație clară, directă în forma brută pe care am primit-o, așa că va trebui să facem o mică transformare a celor două numere. Avem la dispoziție 20 de secunde (așa cum se vede în coloana timpului) să transformăm cele două numere în așa fel încât să semene mai mult, adică le vom pune pe ambele să apară sub radical, pentru că nu putem scăpa de radical. 

Atunci, vom, avea: $$12\sqrt{2}=\sqrt{12^2\cdot 2}=\sqrt{288}$$ pe de o parte și $$17=\sqrt{289}$$ de cealaltă parte. Așadar, avem de comparat numerele $\sqrt{288}$ cu $\sqrt{289}$, o sarcină mult mai ușoară acum. Deoarece 289 este mai mare decât 288, va rezulta că răspunsul la problemă este 17.

Am început să creez teste-fulger automatizate

Fiind preocupat mereu de o evaluare foarte eficientă a elevilor mei, de o prezentare sintetică a cunoștințelor pe care trebuie să le acumuleze aceștia, precum și de eliberarea lor definitivă de meditațiile în particular, am conceput un sistem care generează din minut în minut un număr nelimitat de teste-fulger automatizate pe care am să vi le descriu mai jos.

În prima imagine vedeți un instantaneu al fișierului pentru clasa a 5-a fără răspunsuri, iar în a doua imagine apare fișierul cu răspunsuri. La fiecare încărcare a fișierului apar alți itemi, deoarece apariția lor este condiționată de numere pseudoaleatoare care fac apel la fișierul de bază ce conține momentan 300 de probleme de clasa a cincea.

În antetul testului apare timpul aproximativ în care un elev cu cunoștințe medii ar trebui să rezolve toate problemele din test. Desigur, părintele sau profesorul care va folosi testul poate mări sau micșora proporțional durata testului după dorință, în funcție de capacitățile elevilor sau de viteza lor de reacție. Mai precis, dacă elevii sunt foarte slabi, profesorul sau părintele poate dubla sau tripla timpul corespunzător itemilor, în timp ce elevii foarte rapizi pot înjumătăți timpul de rezolvare.

Pe ultima coloană apare punctajul aferent itemului corespunzător, determinat în funcție de durata asociată pentru rezolvarea lui. După rezolvarea testului de către elev, profesorul sau părintele va totaliza numai punctajul aferent itemilor rezolvați corect, la care va adăuga cele 10 puncte din oficiu, obținând astfel numărul de puncte ce poate fi acordat elevului pentru rezolvare.   

Recomand părinților să achiziționeze fișierul de teste cu răspunsuri, chiar dacă este mai scump, deoarece vor putea evalua ei înșiși elevul. Mai mult, dacă nu va avea nevoie de explicații suplimentare, este posibil ca, rezolvând un număr convenabil de teste din fișier și confruntându-și răspunsurile proprii cu cele corecte, elevul să acumuleze de unul singur din teste multe cunoștințe care i-ar putea permite să se descurce ulterior fără profesor meditator.

De asemenea, recomand părinților care au achiziționat fișierul cu răspunsuri și care doresc să-și evalueze astfel copilul, să realizeze o captură de ecran cu testul instantaneu și să acopere manual prin editare răspunsurile, pentru ca elevul să nu le vadă înainte de evaluare, desigur. Nu uitați să capturați testul cât mai curând, altfel există riscul să se schimbe după un interval de timp datorită reîmprospătării serverului.

Deocamdată, la momentul scrierii acestui articol, am lucrat și lucrez doar pentru fișierul de clasa a cincea și am reușit să acumulez 300 de itemi. De-a lungul timpului voi adăuga din ce în ce mai mulți itemi, prețul abonamentului anual rămânând însă neschimbat pentru tot anul școlar 2021-2022, dar prețul abonamentului lunar putându-se modifica în funcție de numărul de itemi pe care am reușit să-i creez. De aceea, cei care se abonează pentru întregul an școlar 2021-2022 vor fi foarte avantajați.

Relația vectorială a lui Chasles

Liceenii de clasa a IX-a încep să învețe despre minunații vectori, adică despre acele entități matematice care au și direcție, nu doar valoare, adică au o mai mare legătură cu spațiul decât numerele simple învățate de ei în gimnaziu. Vectorii sunt determinați de perechi ordonate de puncte din spațiu și putem face cu ei operații matematice precum adunarea, scăderea și chiar înmulțirea (doar că înmulțirea este de trei tipuri: cu scalari, scalară și vectorială).

Relația lui Chasles ne spune că dacă adunăm doi vectori în care al doilea vector începe cu litera cu care se termină primul vector, atunci rezultatul este un alt vector în care litera respectivă a dispărut. Adică:

$$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}.$$

Observați cum litera B a dispărut pus și simplu, deoarece „s-a ciocnit prin adunare” de la un vector la celălalt.

Fenomenul este și reciproc. Adică, putem insera o literă nouă acolo unde dorim noi, așa ca în exemplul de mai jos:

$$\vec{XY}=\vec{XZ}+\vec{ZY}.$$

Iată un exemplu de problemă care poate fi rezolvată cu ajutorul formulei lui Chasles: 

Fie două segmente AB și CD care au același mijloc. Să se arate că atunci are loc relația $\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{0}$.

Începem rezolvarea de la faptul că cele două segmente trebuie să aibă același mijloc. Atunci, notând cu M mijlocul respectiv, trebuie să avem relațiile: $$\vec{AM}=\vec{MB}$$ și $$\vec{CM}=\vec{MD},$$ căci așa exprimăm vectorial faptul că M se află la mijlocul segmentelor AB și CD.

Fără să facem niciun desen (care ne-ar arăta că este vorba despre un paralelogram) putem rezolva problema, doar folosind relația lui Chasles. Iată cum. Vom transforma relațiile precedente în așa fel încât să ne apară zeroul acela dorit în dreapta, după care le vom scădea termen cu termen și cu relația lui Chasles vom obține minunea. Adică:

$$\vec{AM}-\vec{MB}=\vec{0}$$ și $$\vec{CM}-\vec{MD}=\vec{0},$$ pe care le scădem termen cu termen și obținem:

$$\vec{AM}-\vec{MB}-\vec{CM}+\vec{MD}=\vec{0}+\vec{0}.$$ 

Această ultimă relație poate fi prelucrată mai frumos, pentru a așeza literele convenabil ca în relația lui Chasles, adică:

$$\vec{AM}+\vec{MD}-(\vec{CM}+\vec{MB})=\vec{0}+\vec{0}.$$ 

Cum litera M dispare datorită lui Chasles, spre ușurarea noastră, ne rămâne doar

$$\vec{AD}-\vec{CB}=\vec{0}.$$ 

Și cum prin comutarea literelor unui vector schimbăm semnul acelui vector, obținem exact ceea ce trebuia și anume:

$$\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{0}.$$ 

De regulă, în rezolvarea problemelor vectoriale relația lui Chasles vă ajută cu mare probabilitate. Totul este să știți să jonglați cu litera de care aveți nevoie și cu litera care doriți să dispară obligatoriu. 

Un mic truc pentru a menține elevii atenți în predarea online

Un mic truc pentru profesorii care vor să-și mențină elevii atenți la ceea ce scriu în timpul ședințelor online:

în timp ce vorbește „verzi și uscate”, lucruri neinteresante pentru elev, profesorul poate scrie subtil pe tablă numele unui elev și în dreptul său un calcul extrem de simplu, la care elevul poate (și trebuie) să răspundă instantaneu, precum „Alex 2+4”. Astfel, profesorul poate testa atenția elevului Alex. Dacă elevul răspunde rapid, înseamnă că este cu ochii în ecran la ceea ce predă profesorul, dar dacă nu răspunde rapid la o asemenea întrebare simplă, e clar că se ocupă de altceva.

Desigur, pentru mine, în predarea în particular nu este necesar să aplic asemenea trucuri, deoarece elevii mei plătesc pentru a mă auzi și implicit sunt interesați de ceea ce spun. În schimb, dacă aș fi fost profesor la o clasă, aș fi aplicat asemenea metode.

Criterii de paralelism

Mai jos vedeți două drepte albastre tăiate de o secantă roșie, precum și opt unghiuri numerotate corespunzător.

Unghiurile 3, 4, 5, 6 aflate între cele două drepte albastre se numesc „interne”, iar unghiurile 1, 2, 7 și 8 se numesc „externe”. Unghiurile aflate de o parte și de alta a secantei se numesc „alterne”.

Cu aceste denumiri în minte putem vorbi despre combinații de asemenea denumiri, precum „alterne interne” (perechile de unghiuri (4,6) sau (3,5)) sau „interne de aceeași parte a secantei” ((3,6) sau (4,5)).

Mai avem și patru perechi de unghiuri „corespondente” date de unghiurile (1,5), (2,6), (4,8) și (3,7).

Unul dintre cele mai importante criterii de paralelism pentru dreptele albastre din această figură fundamentală este dat de următoarea propoziție: „dacă unghiurile alterne interne sunt congruente, atunci dreptele albastre sunt paralele”.

Este valabilă și reciproca.

Mai mult, puteți înlocui expresia „alterne interne” cu „alterne externe” sau cu „corespondente” și veți obține alte criterii faine de paralelism.

De asemenea, dar să nu mă înjurați, puteți înlocui expresia „alterne interne sunt congruente” cu „interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare” și veți obține unul dintre cele mai urâte și mai rar folosite criterii de paralelism.

În fine, dacă într-o anumită problemă doriți neapărat să arătați și altfel că două drepte sunt paralele, atunci puteți să descoperiți în figură un paralelogram care să aibă două laturi opuse pe acele drepte.

Muuult succes!

Unghiul diedru

Dacă în clase mai mici ați învățat despre unghiul (deschiderea) dintre două (semi)drepte, ei bine, în clasa a opta învățați despre unghiul dintre două (semi)plane. 

Unghiul dintre două plane este, de exemplu, unghiul cel mai mic dintre planul ecranului unui laptop și planul tastaturii sale. Astfel, pentru a putea determina unghiul (adică, deschiderea) dintre ecran și tastatură este necesar să determinați întâi muchia comună celor două plane, după care să găsiți câte o dreaptă perpendiculară pe acea muchie, una dintre drepte aflându-se în planul ecranului, iar cealaltă dreaptă aflându-se în planul tastaturii. Dacă ați reușit să găsiți două astfel de drepte perpendiculare pe muchia comună a celor două plane, atunci unghiul dintre cele două plane este tocmai unghiul dintre cele două drepte.

Un exemplu notabil este unghiul dintre planul unei fețe (VBC) a unei piramide și planul bazei sale (ABC). Muchia comună a acestor plane este BC, iar unghiul dintre planele menționate este tocmai unghiul dintre apotema piramidei, VM și apotema bazei, OM, desenate mai jos cu albastru, respectiv, cu verde. 

Așadar, pentru a determina unghiul dintre două fețe găsim întâi muchia comună celor două fețe și apoi căutăm două perpendiculare pe acea muchie. Desigur, punctajul maxim la rezolvarea problemei se va obține doar dacă elevul va demonstra că dreptele găsite de el sunt perpendiculare pe muchia comună.

Suma lui Gauss

Cum calculați $1+2+3+\dots+17$? Desigur, nu vă apucați să adunați termen cu termen, ci vă folosiți de metoda deșteaptă descoperită de Gauss și anume de aceea în care transformați această sumă într-un produs. Mai exact, îl luați frumușel pe ultimul termen (pe 17), îl înmulțiți cu succesorul său (adică cu 18) și împărțiți rezultatul la 2. Sau puteți începe întâi cu împărțirea numărului par (dintre două numere consecutive, întotdeauna unul va fi par).

Dar cum calculați $4+7+10+\dots+121$? Aici aveți de parcurs trei pași:

Pasul 1: determinați rația R, adică diferența dintre doi termeni consecutivi, deci cu cât crește fiecare termen. În cazul nostru rația este 3.

Pasul 2: determinați câte numere aveți de adunat. Pentru aceasta folosiți formula: $$\color{blue}{N=\frac{Ultimul-Primul}{Rație}+1}.$$ În cazul nostru, $N=\frac{121-4}{3}+1=40$.

Pasul 3: determinați, în sfârșit, suma propriu-zisă cu formula $$\color{red}{S=\frac{(Ultimul+Primul)\cdot \color{blue}{N}}{2}}.$$ Adică, în cazul nostru, $S=\frac{(121+4)\cdot 40}{2}=125\cdot 20=2500$.

Vă rog să observați că în pasul al treilea se adună ultimul și primul termen, nu se scad precum se făcea în pasul al doilea.

Apropo, puteți calcula această sumă și cu ajutorul minunatului Wolframalpha, accesând acest link. 

Mult succes!

Ecuațiile simple de gradul al doilea nu se rezolvă cu $\Delta$, ci mult mai simplu

Ecuațiile de gradul al doilea sunt cele mai importante ecuații învățate la final de gimnaziu și început de liceu. Ele se numesc de gradul al doilea pentru că necunoscuta, notată de obicei cu $x$, apare la puterea a doua.

Există mai multe tipuri de ecuații de gradul al doilea, unele mai simple, altele mai complicate. Cea mai simplă arată, de exemplu, așa $x^2=4$, în timp ce una urâtă arată, de exemplu, așa $\frac{13}{9}-5x^2=2x $.

În general, ecuațiile de gradul al doilea sunt prezentate astfel:

$$ax^2+bx+c=0.$$

Asemenea ecuații se rezolvă destul de greu, cu $\Delta$ și cu formula pentru $x_1$ și $x_2$.

În acest articol doresc să vă arăt cum rezolvați ecuațiile simple de gradul al doilea, ca să nu fiți nevoiți să le abordați cu metoda greoaie cu $\Delta$.

Există două tipuri de ecuații simple de gradul al doilea.

Ecuațiile simple de primul tip sunt cele care au coeficientul $b$ egal cu zero, adică ele nu îl conțin pe $x$ la puterea întâi. Iată un exemplu: $x^2-4=0$ sau alt exemplu, echivalent: $x^2=4$. Aceste ecuații sunt mai ușor de rezolvat, deoarece ultima formă ne dă deja soluțiile, adică, din $x^2=4$ obținem că $x$ poate fi $\sqrt 4$ sau $-\sqrt 4$. Atenție! Nu uitați de soluția negativă! Majoritatea elevilor uită că asemenea ecuații au două soluții, nu doar pe cea pozitivă.

Al doilea tip de ecuații simple sunt cele care au termenul liber nul. Iată un exemplu: $x^2+3x=0$. Asemenea ecuații se rezolvă dând factor comun pe $x$ și vor avea întotdeauna o soluție egală cu zero. Dându-l factor comun pe $x$, ecuația precedentă devine $x\cdot(x+3)=0$, deci a devenit un produs de doi factori. Când este nul un produs de doi factori? Desigur, atunci când unul dintre factori este nul. Cum unul dintre factori este $x$, rezultă că una dintre cele două soluții ale ecuației date va fi $x_1=0$, așa cum spuneam. Iar cealaltă soluție va fi dată de anularea parantezei, adică de $x+3=0$, ceea ce înseamnă $x_2=-3$.

Sper că vă dați seama, deci, că utilizarea metodei cu $\Delta$ pentru a rezolva asemenea ecuații de gradul al doilea simple este echivalentă cu utilizarea unei săbii pentru a tăia o pizza. Așadar, de acum înainte să știți să rezolvați ecuațiile de gradul al doilea simple cu aceste metode rapide.

O integrală trigonometrică transformată într-o integrală polinomială

Să calculăm integrala

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\cos^3x dx$$

Integrala dată este o integrală trigonometrică, deoarece conține funcții trigonometrice. Pentru a o calcula vom face o magie, numită „schimbare de variabilă”. Schimbarea de variabilă este un fel de notație; mai exact, înlocuim o expresie urâtă cu o singură literă, cu speranța că integrala noastră va deveni mai simplă. 

Schimbarea noastră de variabilă va fi  

$$t=\sin{x}.$$ 

De unde am știut ce schimbare de variabilă să fac? Veți găsi răspunsul singuri, după ce veți înțelege finalul. Veți vedea de ce am anticipat modul în care se va transforma integrala.

Așadar, dacă admitem că facem schimbarea de variabilă  $t=\sin x$, atunci trebuie să admitem că se vor schimba și limitele de integrare corespunzător. Mai exact, dacă integrala inițială trebuia calculată de la $0$ la $\frac{\pi}{2}$, noua integrală va trebui calculată de la $\sin 0$ la $\sin{\frac{\pi}{2}}$, adică, de la $0$ la $1$.

Mai mult, dacă integrala inițială conținea litera $x$, această litera va trebui să dispară complet din noua integrală și în locul ei va apărea cumva noua literă $t$. Pentru ca această schimbare să reușească complet este necesară și înlocuirea particulei „$dx$” (numită „diferențială”), căci și această particulă conține litera $x$. Aceasta este una dintre cele mai grele sarcini, dar nu imposibilă. Așadar, să vedem cum procedăm.

Dacă $t=\sin x$, atunci $t$ devine o nouă funcție care depinde de variabila $x$, pe care o putem deriva în raport cu variabila $x$ pentru a descoperi cum vom obține noua diferențială. Cum derivata funcției sinus este funcția cosinus, vom avea că 

$$t'=\cos x,$$

 ceea ce înseamnă că puteți înlocui în integrala veche produsul „$\color{blue}{\cos x dx}$” cu diferențiala nouă „$\color{blue}{dt}$”. În general, această regulă de schimbare a diferențialei este că produsul „$t'dx$” devine simplu „$dt$”.

Zis și făcut. Acum, descompunând produsul $\cos^3 x$ în $\cos^2 x\cos x$, pentru a putea evidenția mai bine produsul „$\color{blue}{\cos x dx}$” și amintindu-ne că din teorema fundamentală a trigonometriei rezultă că putem înlocui $\color{green}{\cos^2 x}$ cu $1-\sin^2 x=\color{green}{1-t^2}$, vom putea rescrie integrala noastră astfel: 

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\cos^3x dx=$$

$$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\color{green}{\cos^2 x}\color{blue}{\cos x dx}=$$

$$\int_0^1 t^4 \color{green}{(1-t^2)} \color{blue}{dt}.$$

Această ultimă integrală se calculează mai ușor decât integrala inițială, căci este o integrală polinomială. Mai exact, folosindu-ne de o formulă de integrare pe care o găsim în tabele, 

$$\color{red}{\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C},$$

prin desfacerea parantezei putem scrie integrala noastră mai simplu ca fiind

$$\int_0^1 t^4(1-t^2) dt=$$

$$=\int_0^1 t^4-t^6 dt=$$

$$=\int_0^1 t^4 dt-\int_0^1 t^6 dt=$$

$$=\left.\frac{t^5}{5}\right|_0^1-\left.\frac{t^7}{7}\right|_0^1=$$

$$=\frac 1 5-\frac 1 7=\frac{7-5}{35}.$$

Desigur, cei mai grăbiți, care vor și pot să beneficieze de avansul tehnologic al omenirii, pot accesa direct linkul corespunzător de la wolframalpha și obțin rezultatul calculului pentru integrala inițială în câteva secunde.

Dreptunghiul ABCD are AB=8 cm și BC=5 cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu ...

4. Dreptunghiul ABCD are AB=8 cm și BC=5 cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu ... cm2.

Dreptunghiul ABCD arată astfel:

Pentru aria unui dreptunghi elevul trebuie să cunoască o formulă simplă și importantă și anume:

A=L࠰l

Ea ne spune că aria unui dreptunghi este produsul dintre lungimea acestuia și lățimea lui. 

Semnificația fizică a ariei este asemănătoare cu semnificația fizică a lungimii. Mai precis, în timp ce lungimea unui segment reprezintă numărul de segmente mici de un centimetru care încap în acel segment, aria unei porțiuni de suprafață este numărul de pătrățele mici cu latura de un centimetru care încap în acea porțiune.

Așadar, dacă cumva nu am cunoaște formula ariei unui dreptunghi, dar am cunoaște semnificația fizică a ariei, am putea redescoperi noi această formulă pentru că înmulțirea lungimii cu lățimea este singura posibilitate de a găsi câte pătrățele mici ar putea încăpea într-un dreptunghi.

În problema noastră lungimea, deci cea mai lungă latură a dreptunghiului este AB=8 cm, iar lățimea este BC=5 cm, deci aria dreptunghiului va fi A=L࠰l=AB࠰BC=8 cm x 5 cm=40 cm pătrați.

Cu aceasta am găsit că în punctele de suspensie dedicate răspunsului vom așeza numărul 40 (fără să mai scriem unitatea de măsură, care deja există în enunț).