Jucați-vă cu funcția de gradul al doilea (sau de gradul întâi)

Am găsit oarece timp și am creat un applet în aplicația fascinantă oferită de Geogebra, care vă prezintă evoluția graficului funcției de gradul al doilea (sau chiar al funcției de gradul întâi, pe care o obțineți dacă îl anulați pe $a$).

Aveți posibilitatea să mutați cu mausul (sau cu degețelul, pe telefon sau tabletă) valorile fiecăruia dintre cei trei parametri, $a$, $b$ și $c$, ca să vedeți ce se întâmplă cu graficul atunci când modificați unul dintre parametri. De asemenea, aveți posibilitatea să declanșați animația produsă de un anumit parametru.

Sper că v-am făcut o  surpriză plăcută!

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2a

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Arătați că $f(0)=a$.

Vai, dar ce grea este problema asta! Vedeți câtă grijă are examinatorul? Are grijă să ne mai și odihnim între timp. Problema asta este pentru odihnă și pentru recuperarea timpului.

Oricărui polinom i se asociază o funcție polinomială. Polinomului nostru i se asociază funcția $f(x) =x^3 - 5x+a$. Sper că ați observat deosebirea dintre polinom și funcția polinomială, deosebirea dintre majuscula $X$ și minuscula $x$. Iată că în matematică trebuie să fim atenți chiar și la asemenea chestii.

Așadar, pentru a calcula $f(0)$, va trebui ca în funcția polinomială atașată polinomului nostru să-l înlocuim pe $x$ cu $0$. Obținem, deci, $$\color {red} {f(0)} =0^3 - 5\cdot 0+a=0-0+a=\color{red} {a}, $$ ceea ce trebuia demonstrat. 

Mate-info 2016, subiectul I, problema 2

Determinați numărul real $m$, știind că parabola asociată funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $x^2-2x+m$ este tangentă axei $Ox$.

Când vede această problemă elevul trebuie să își amintească în care caz parabola asociată funcției de gradul doi este tangentă axei $Ox$. Există un singur caz în care funcția de gradul doi poate fi tangentă axei $Ox$. Un singur caz!

A fi tangent înseamnă "a atinge". Deci, căutăm situația în care parabola atinge axa $Ox$. Iar a atinge înseamnă "a tăia într-un singur punct".

Dar ce ne facem dacă nu ne amintim din prima cazul în care parabola atinge axa? Păi, tatonăm, bâjbâim, încercăm să ne amintim cât mai multe lucruri despre funcția de gradul doi, despre parabola acesteia.

Puncte de discontinuitate

Puncte de discontinuitate

Funcțiile pot fi continue sau discontinue (într-unul sau mai multe (chiar într-o infinitate de) puncte). Putem desena funcțiile continue fără a fi nevoiți să ridicăm creionul de pe hârtie. În schimb, funcțiile discontinue ne obligă să întrerupem undeva desenul lor, ne obligă să ridicăm creionul de pe hârtie și să începem desenul din altă parte, mai sus sau ceva mai jos de unde l-am lăsat.

Bineînțeles, desenul unei funcții este graficul ei, adică mulțimea punctelor din plan (căci discutăm despre funcțiile (de o singură variabilă) pe care le-ați învățat deja) care, prin intermediul funcției date, asociază punctelor de pe axa orizontală (axa absciselor) cel mult (și cel puțin, desigur) câte un punct de pe axa verticală.

Riguros vorbind, într-un punct de continuitate $x_0$ sunt satisfăcute următoarele două egalități de numere reale (deci și finite!): $$l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0), $$ unde cu $l_s(x_0)$ am notat limita la stânga a funcției în punctul $x_0$.

Iată graficul unei funcții continue oarecare:

Orice punct am alege pe axa OX (dacă funcția este definită pe toată axa OX), deasupra lui (sau dedesubt) se află cel mult un punct albastru de pe graficul funcției. 

Așadar, în timp ce funcțiile continue nu ne fac probleme cu desenul lor, funcțiile discontinue își cam fac de cap, „sărind” din loc în loc peste anumite valori de pe axa verticală a graficului. Altfel spus, într-un punct de discontinuitate găsim două sau mai multe puncte de pe axa verticală corespunzătoare punctului dat. Și cum o funcție nu mai este funcție dacă asociază unei abscise mai mult de un punct, rezultă că acolo funcția trebuie numită, oarecum impropriu, „funcție discontinuă”. Impropriu, căci acolo funcția efectiv nu mai este funcție.

Iată acum graficul unei funcții discontinue (cu punct de discontinuitate de prima speță) în punctul $x_0$:

În legătură cu aceste discontinuități, se nasc (doar) două cazuri posibile:

Problema V1SIP2: Cât este valoarea minimă a funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x+4$?

Graficul, adică desenul, unei funcții de gradul doi este o parabolă, adică ceva de genul

Linia albastră ne spune cât este $y$ dacă alegem noi un $x$. De exemplu, în dreptul lui $x=0$ observăm că linia albastră trece prin $y=4$, iar dacă îl alegem pe $x$ să fie $1$, atunci linia albastră taie axa $OX$, ceea ce înseamnă că $y=0$ acolo. Căci $y$-ii sunt pe verticală, iar $x$-ii sunt pe orizontală.

Funcția de gradul întâi

În Matematică, „funcție” este numele pe care îl dăm unui obiect extraordinar de important. Și așa cum un obiect are, de regulă, mai multe părți, tot astfel și funcția (de exemplu, $f(x):\mathbb{A}\to\mathbb{B}$, dată prin $f(x)=7x-3$) este un obiect alcătuit din trei componente:

1. Domeniu. (În cazul nostru, $\mathbb{A}$)
2. Codomeniu. (În cazul nostru, $\mathbb{B}$)
3. Lege. (În cazul nostru, $f(x)=7x-3$)

Unii elevi cred că doar legea este importantă pentru funcție, uitând că și domeniul și codomeniul sunt necesare pentru a defini complet o funcție.

Funcția de gradul doi

Cu emoție în glas mă angajez să vă vorbesc acum despre această noțiune fascinantă. Vom trece prin diverse peripeții până să o înțelegem bine, dar merită.

Funcția de gradul doi este cea mai importantă funcție polinomială pe care trebuie să o știe un licean. Este cea mai importantă deoarece este cea mai folosită și cea mai bogată în consecințe dintre funcțiile pe care trebuie să le cunoască liceanul.

Pornim de la forma ei generală:

$$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\,\, f(x)=ax^2+bx+c.$$

Aici, coeficienții $a$, $b$ și $c$ sunt numere reale, iar primul coeficient este nenul. Căci dacă $a$ ar fi nul, atunci funcția noastră ar deveni o funcție de gradul întâi, nu de gradul al doilea.

Dacă vom desena această funcție, pardon, dacă vom face reprezentarea ei grafică într-un sistem de axe de coordonate, ca să ne exprimăm mai complet, atunci vom obține o linie curbă frumoasă care se numește „parabolă”.

De exemplu, dacă vom reprezenta grafic funcția $f(x)=2x^2-5x-18$, vom obține (cu ajutorul programului Maxima) parabola

Observați că parabola funcției date are vârful în jos. Așa se întâmplă dacă numărul din fața lui $x^2$ este pozitiv. Dacă numărul ar fi fost negativ, obțineam o parabolă cu vârful în sus. Iată, deci, parabola pentru funcția $f(x)=-2x^2-5x-18$:

Se mai spune despre prima parabolă că „ține apa”, pe când a doua nu. Mai pompos spus, prima parabolă este convexă, iar a doua este concavă. Așadar, rețineți o primă proprietate importantă a funcției de gradul doi: semnul coeficientului $a$ din fața lui $x^2$ determină dacă vârful parabolei este orientat în jos sau în sus. Observați cu această ocazie că vârful nu va fi niciodată orientat spre dreapta sau spre stânga, ci ori în sus, ori în jos.

Poziția vârfului parabolei ne mai spune încă ceva despre funcția de gradul doi. Dacă vârful este în jos (deci dacă $a$ este pozitiv), atunci funcția are un minim. Iar dacă vârful este în sus, atunci, logic, funcția are un maxim. Valoarea extremă (deci, minimul sau maximul) este dată de coordonata verticală a vârfului. Așadar, dacă într-o problemă oarecare vi se cere să determinați ceva legat de extremul funcției de gradul doi, atunci vi se cere de fapt să vă amintiți cât este coordonata verticală a vârfului.

Și dacă tot vorbim despre coordonatele vârfului, să ne amintim că vârful este un punct V care are două coordonate: o abscisă și o ordonată, deci un $x$ și un $y$. Abscisa este coordonata $x$, valoarea din stânga, iar ordonata este coordonata $y$, valoarea din dreapta. Abscisa ne spune unde se află extremul, iar ordonata ne spune cât este extremul. Așadar, coordonatele vârfului parabolei sunt $$V(unde; cât).$$

Mai avem că

$$unde=-\frac{b}{2a},$$

$$cât=-\frac{\Delta}{4a}.$$

Observați că toate punctele de pe parabolă (ca și de pe orice alt grafic al unei funcții, oricât de complicată ar fi acea funcție) au coordonatele $M(unde;cât)$! Mai mult, pentru orice asemenea punct este valabilă relația supremă:

$$cât=f(unde)!$$

Alte elemente importante care apar în studiul funcției de gradul doi sunt intersecțiile graficului său cu câte una dintre cele două axe de coordonate sau chiar cu o dreaptă oblică oarecare. Să le luăm pe rând. 

Intersecția care ne place cel mai mult este cea dintre graficul funcției și axa orizontală (axa OX). Ne place cel mai mult deoarece această intersecție are legătură cu rădăcinile polinomului de gradul doi care definește funcția de gradul doi. 

Vă amintiți că vârful avea coordonatele „unde” și „cât”, „unde” fiind coordonata orizontală, iar „cât” fiind coordonata verticală. Ei bine, la fel, orice punct din plan are două asemenea coordonate. Deci și punctele în care parabola intersectează axa OX. Doar că pentru punctele care se află pe axa OX, coordonata „cât” este tocmai zero! Altfel spus, pentru punctele de intersecție dintre parabolă și axa OX avem $y=0$. Numai coordonatele „unde” pot fi nenule, deci coordonatele $x$. Iar aceste coordonate $x$ sunt tocmai rădăcinile $x_1$ și $x_2$ ale polinomului $ax^2+bx+c$, deci soluțiile ecuației $ax^2+bx+c=0$.

De exemplu, funcția polinomială $x^2-3x+2$ are ca intersecții cu axa OX cele două puncte $A(1;0)$ și $B(2;0)$, căci numerele $x_1=1$ și $x_2=2$ sunt rădăcinile ecuației $x^2-3x+2=0$.

Așadar, în general, intersecțiile parabolei cu axa OX sunt punctele $A(x_1;0)$ și $B(x_2;0)$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile polinomului de gradul doi care definește funcția.

Înainte de a trece mai departe la intersecția cu axa verticală, aș dori să mai observați ceva privind intersecția cu axa orizontală:

• Dacă polinomul de gradul doi nu are rădăcini (reale), ceea ce se întâmplă atunci când $\Delta$ este negativ, atunci parabola nu intersectează axa OX (parabola este „prea sus” ca să mai ajungă la axă (respectiv, „prea jos”, dacă $a$ este negativ)). Altfel spus, minimul este prea mare (sau maximul este prea mic). 
• Iar dacă $\Delta$ este nul, atunci cele două rădăcini sunt egale, deci intersecția cu axa OX se reduce la un punct, adică parabola devine tangentă la axa OX., deci vârful parabolei atinge axa OX. Atenție la această ultimă proprietate, căci de multe ori se cere la bacalaureat!

În fine, haideți să tratăm acum intersecția (mult mai simplă) a graficului cu axa verticală, deci cu axa OY. De ce zic că este mai simplă? Pentru că această intersecție este întotdeauna un singur punct. Nu pot fi două asemenea puncte. Fie $C(unde; cât)$ punctul de intersecție al graficului cu axa verticală. De data aceasta „unde”-le va fi zero și „cât”-ul va fi de calculat, invers decât la axa orizontală. Deci, pentru acest caz, avem că $x=0$. 

Dar am văzut mai sus că relația supremă ne spune că trebuie să avem întotdeauna $cât=f(unde)$. Așadar, pentru punctul $C(0;cât)$ vom avea $cât=f(0)$. Dar $f(0)$ este tocmai termenul liber al polinomului (termenul fără $x$)! Prin urmare, punctul de intersecție al graficului cu axa OY va fi $C(0;c)$.

Observați ceva important pentru intersecția cu axa verticală: spre deosebire de cazul intersecției cu axa orizontală, unde era posibil să nu avem puncte de intersecție cu axa (dacă $\Delta$ era negativ), intersecția cu axa OY există întotdeauna, pentru orice funcție de gradul doi!

Cam acestea sunt proprietățile remarcabile ale funcției de gradul doi și ale parabolei sale asociate. Judecați-le, ca să nu mai aveți probleme cu înțelegerea lor. Ar mai rămâne de discutat intersecția dintre parabolă și o altă dreaptă, diferită de cele două axe ale sistemului de coordonate, dar acest lucru poate fi amânat pentru un articol viitor.

Editare în 18 septembrie 2016: am creat azi un applet în geogebra care vă permite să înțelegeți mai mult dinamica graficului funcției de gradul al doilea.