O variantă inedită pentru calculul derivatei funcțiilor trigonometrice

Acest material este mult mai concis și mai greoi. El se adresează numai elevilor mai avansați în ale Matematicii (și le cer iertare acum celor cărora mă adresez de regulă, iertare că nu am fost suficient de explicit și redundant precum o fac în celelalte articole).

Așadar, în acest material voi arăta cum ar putea un elev avansat să determine derivata funcțiilor trigonometrice fără a utiliza limitele.

Pentru aceasta:
Vom presupune cunoscută formula fundamentală a trigonometriei.

Vom face presupunerea că derivatele funcțiilor sinus și cosinus sunt combinații liniare de sinus și cosinus.

Vom presupune cunoscut faptul că derivata este panta dreptei tangente la grafic.

Vom presupune cunoscut faptul că graficul funcției sinus este o sinusoidă.

Arătați că rădăcina dublă a unui polinom este rădăcină și pentru derivata polinomului

Să notăm cu $P$ un polinom oarecare și cu $P'$ derivata acestuia. Apoi, să ne amintim că un polinom căruia îi cunoaștem rădăcinile (adică, numerele care îl anulează) poate fi scris ca un produs de paranteze cu acele rădăcini (căci un produs de paranteze se anulează doar atunci când cel puțin una dintre paranteze se anulează). De exemplu, polinomul $X^2-5X+6$, ale cărui rădăcini sunt $x_1=2$ și $x_2=3$, poate fi scris ca un produs de paranteze cu aceste rădăcini, adică avem $$X^2-5X+6=(X-2)(X-3).$$

Așadar, în general, un polinom de gradul $n$ poate fi scris ca un produs de $n$ paranteze cu cele $n$ rădăcini $x_1,\,x_2,\dots,\,x_n$, astfel: $$\color{blue}{aX^n+bX^{n-1}+\dots+c=a(X-x_1)(X-x_2)\dots(X-x_n)}.$$

Dar ce înseamnă „rădăcină dublă”? Înseamnă că acea rădăcină apare de două ori, deci apare în două paranteze. Mai înseamnă atunci că paranteza care o conține apare la puterea a doua. De exemplu, polinomul de gradul trei $X^3-X^2-8X+12$ are rădăcina dublă $x_1=x_2=2$, motiv pentru care el poate fi scris astfel: $$X^3-X^2-8X+12=ceva\cdot(X-2)^2.$$ Pentru acest polinom de gradul trei, $ceva=X+3$.

Prin urmare, în general, un polinom $P$ care are rădăcina dublă $x_1=x_2=d$ va putea fi scris astfel: $$P=ceva\cdot(X-d)^2.$$ Dacă rădăcina ar fi triplă, atunci paranteza ar apărea la puterea a treia. Și așa mai departe.

Sper că ați înțeles până aici cam care este legătura dintre multiplicitatea unei rădăcini și exponentul parantezei în care apare acea rădăcină.

Acum să vedem ce se întâmplă dacă derivăm polinomul $P$ care are rădăcina dublă $d$. Cum $P=ceva\cdot(X-d)^2$, înseamnă că derivata acestui polinom va fi derivata unui produs, deci vom aplica formula pentru derivata produsului, despre care știm că este $$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'.$$

Concret, $$P'=ceva'\cdot(X-d)^2+ceva\cdot[(X-d)^2]'.$$

Pe $[(X-d)^2]'$ îl putem calcula în două moduri: ori desfacem paranteza și derivăm termen cu termen, ori folosim mai bine și mai elegant proprietatea că $$(u^2)'=2u\cdot u'.$$ Astfel, $$[(X-d)^2]'=2(X-d)\cdot(X-d)'=2(X-d),$$ căci $(X-d)'=1$.

Prin urmare, $$P'=ceva'\cdot(X-d)^2+ceva\cdot 2(X-d).$$

Acest rezultat ne permite să observăm că dacă în locul necunoscutei $X$ din polinomul $P'$ punem rădăcina $d$, obținem anularea lui $P'$. Așadar, rădăcina dublă a lui $P$ este rădăcină și pentru $P'$. Adică exact ceea ce am dorit să arătăm.

De aici, mai departe, un elev isteț va trage concluzia că rădăcina triplă a unui polinom este de asemenea rădăcină atât pentru prima derivată a polinomului, cât și pentru cea de-a doua derivată a acestuia. Adică, în general, o rădăcină cu multiplicitatea $n$ a unui polinom este rădăcină de asemenea și pentru toate derivatele polinomului până la ordinul $n-1$ inclusiv. Dar, atenție!, ea nu mai este rădăcină pentru derivata de ordinul $n$ a polinomului, căci atunci multiplicitatea ei ar fi $n+1$, nu $n$.

Această proprietate este utilă atunci când vi se cere să determinați un polinom cu câțiva coeficienți necunoscuți în condițiile în care știți că un anumit număr este rădăcină multiplă a polinomului respectiv. 

Dacă, de exemplu, polinomul $P$ are trei coeficienți necunoscuți, atunci vi se va da o rădăcină cu multiplicitatea doi, pe care o veți înlocui în necunoscuta $X$ a lui $P$, a lui $P'$ și a lui $P''$ și veți obține un sistem de trei ecuații cu cei trei coeficienți necunoscuți ai polinomului, din care sistem va rezulta soluția problemei.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1c

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Demonstrați că $f(2\sqrt 3 )<f(3\sqrt 2)$.


Dacă v-aș fi cerut să comparați numerele $2\sqrt 3 $ și $3\sqrt 2 $, ați fi găsit că $2\sqrt 3 <3\sqrt 2$, căci ați fi introdus sub radical (prin ridicare la pătrat) numerele din fața radicalului.

Acum amintiți-vă regula aia minunată: funcțiile crescătoare nu modifică semnul unei inegalități. În schimb, funcțiile descrescătoare modifică (îl inversează) semnul inegalităților asupra cărora sunt aplicate. Amănunte despre această proprietate puteți găsi în articolul în care descriam legătura dintre monotonie și derivată.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1b

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Calculați $$\lim_{x\to+\infty}{\frac {f^\prime(x)} { f(x)}}. $$


Pe $f ^\prime (x) $ am găsit-o deja la subpunctul precedent, așa că limita care se cere este de fapt $$\lim_{x\to+\infty}{\frac {e^x-x-1} {e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1}}. $$

Prima metodă (riguroasă și rapidă): 

Cum calculăm această limită, cât mai rapid? Vă povesteam cândva cum se poate calcula rapid limita unei fracții de polinoame atunci când $x$ tinde la infinit. La ceea ce am discutat acolo voi mai adăuga aici o observație importantă: funcția $e^x$ poate fi considerată ca fiind un polinom de gradul infinit.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1a

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Arătați că $f^\prime(x) =e^x-x-1$. 

De obicei, problemele de la subpunctul a sunt mai ușoare. Și aceasta este ușoară. Avem de calculat derivata unei funcții destul de simple, o funcție care conține trei termeni.

Derivata unei sume (sau, bineînțeles, diferențe) de trei termeni se reduce la o sumă de trei derivate. Mai exact, $$\color{blue} {(f+g+h)^\prime=f'+g'+h'}. $$

Să se demonstreze că inegalitatea $e^x\geqslant x+1$ este adevărată pentru orice număr real $x$.

Pentru a demonstra o inegalitate de acest gen cu metode de liceu avem la dispoziție legătura dintre monotonia unei funcții și derivată. Această legătură spune că dacă derivata funcției date este pozitivă, atunci funcția însăși este crescătoare.

Deși la prima vedere nu pare să ne ajute prea mult această informație pentru a demonstra inegalitatea cerută, vom vedea totuși că tabelul cu monotonia funcției este foarte prețios în acest caz. Și sunt mari șanse ca ori de câte ori vi se cere să demonstrați o inegalitate, tabelul cu monotonia unei funcții legate de acea inegalitate să fie baza demonstrației.

După cum ați observat deja (dacă ați observat, dar nu-i musai), pentru a demonstra o inegalitate avem nevoie întâi de o funcție. De o funcție legată de acea inegalitate. Și nu-i ușor să găsim o asemenea funcție cu care putem demonstra inegalitatea. Elevul care poate găsi o asemenea funcție este demn de a fi felicitat. 

Derivata unei funcții este viteza ei

Așa cum vă spune și titlul, derivata unei funcții este viteza acestei funcții, adică, este viteza cu care se ridică graficul funcției, în timp ce el se deplasează și spre dreapta. Dacă graficul funcției coboară atunci când se deplasează spre dreapta, atunci derivata funcției este negativă, căci coborârea este de fapt ridicare negativă.

Dacă, graficul unei funcții se ridică mai mult decât graficul altei funcții (desenate în același sistem de referință XOY), atunci derivata primei funcții este mai mare decât derivata celei de-a doua funcții.

În figura de mai jos dreapta roșie este graficul funcției $f(x)=3x-1$, iar dreapta albastră este graficul funcției $g(x)=2x-1$.

Observați că dreapta roșie urcă mai repede decât dreapta albastră. Acest lucru se datorează faptului că derivata funcției $f(x)$ este mai mare decât derivata funcției $g(x)$. Derivata lui $3x-1$ este $3$, iar derivata lui $2x-1$ este $2$.


Tot astfel, parabola roșie coboară și urcă mai rapid decât parabola albastră, deoarece derivata funcției $f(x)=3x^2-1$ (în modul, deci, dacă facem abstracție de semn) este mai mare decât derivata funcției $g(x)=2x^2-1$.

Derivata lui $3x^2-1$ este $6x$, pe când derivata funcției $2x^2-1$ este $4x$.

Mai observați că viteza dreptelor de mai sus nu se schimbă nicăieri, indiferent în care loc măsurăm această viteză. În schimb, viteza unei parabole (a oricăreia dintre ele) depinde de locul (de $x$-ul) în care vrem să o determinăm. Astfel, în partea negativă a $x$-ilor, derivata parabolei este și ea negativă, iar parabola coboară, apoi urmează o porțiune în care parabola își încetinește mult coborârea, această coborâre anulându-se chiar când $x=0$, după care urmează urcarea nestăvilită cu o viteză din ce în ce mai mare. 

Putem spune că, spre deosebire de drepte, parabolele au și o „accelerație” nenulă, nu doar o „viteză”.

Aveți, așadar, o interpretare cinematică a derivatei, identică cu cea pe care s-a bazat Newton când a creat un aparat matematic cu derivate pe care să-l poată folosi în Fizică.

Calculați derivata funcției $f(x)=\frac{1}{x}$.

Această derivată apare extraordinar de des în calcule, așa că merită să-i acordăm o atenție separată. Și chiar o voi pune în tabelul comun al derivatelor și integralelor, alături de integrala corespunzătoare, după ce termin de scris acest articol. 

Atenție! Din start trebuie să vă spun că $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$ nu este $\ln x$, așa cum mulți elevi se grăbesc să creadă. Doar integrala acestei fracții este logaritmul, nu și derivata!

Așadar, cât este $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$?

Avem două metode la îndemână pentru a calcula această derivată. Prima metodă pe care v-o prezint este abordată des de către elevii care știu cum se derivează o fracție. Mai exact, elevii care știu cum se derivează o fracție știu de fapt formula foarte importantă scrisă astfel: $$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

Cum? E prea stufos tabelul cu integrale? Aveți prea multe formule de reținut? Hmmm... Haideți să mai tăiem din ele!

Mi se pare mie, ori chiar credeți că tabelul cu integrale e prea stufos? Păi, de ce, dragilor? Păi, dacă știți derivate, atunci știți și integrale cu duiumul. Haideți să vedem câteva exemple. Presupunem că știți bine tabelul cu derivate și vom încerca să deducem din acest tabel câteva integrale din tabelul cu integrale. Să vedem ce iese.

Vom aplica două reguli de bază:

1. Dacă $f=g$, atunci și $\int f=\int g$, abstracție făcând de constanta $C$. Bineînțeles, voi la examene veți pune și $dx$-ul, dar eu nu-l pun ca să nu încarc inutil expunerea.
2. Dacă integrala unei funcții se ciocnește cu derivata ei, cele două dispar și lasă în urmă funcția. Simbolic, putem scrie acest lucru astfel: $$\int f^\prime=f.$$ Așadar, integrala anihilează câte o derivată. Tot aici mai putem spune că avem atunci și $$\int f''=f'$$ sau $$\int f'''=f''.$$

Mergem înainte cu aceste reguli faine. Și veți vedea că matematica nu este chiar atât de anostă precum pare.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.a

Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Calculați $f^\prime(x)$.


Când se cere $f^\prime(x)$ se cere de fapt derivata funcției $f(x)$. Derivata unei funcții este o limită. Deci, dacă nu ne-am aminti ceea ce trebuie pentru rezolvarea problemei, atunci ar trebui să ne amintim măcar definiția derivatei ca fiind o limită, căci o asemenea definiție ne-ar ajuta să rezolvăm cumva problema noastră.

Din fericire, noi nu ne vom chinui acum cu definiția derivatei, ci, bucuroși că ne amintim regula care trebuie, vom calcula așa cum se cuvine această derivată. Care o fi regula necesară?

Păi, vedem că funcția noastră este o fracție. Așadar, vom scormoni prin memoria noastră după o regulă care ne ajută să derivăm fracții. Regula de derivare a unei fracții seamănă foarte mult cu cea pentru derivarea unui produs. Din acest motiv, vi le voi aminti pe ambele, ca să vedeți distincția și asemănarea teribilă dintre ele.

$$(f\cdot g)^\prime=f^\prime g\,\large{\color{red}{+}}\,fg^\prime$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f^\prime g\,\large{\color{red}{-}}\,fg^\prime}{g^2}$$

Desigur, cum funcția noastră este o fracție, noi vom folosi formula de derivare a fracției. Așadar, vom avea
$$f^\prime(x)=\left(\frac{x+1}{e^x-x}\right)^\prime=\frac{\color{blue}{(x+1)^\prime} (e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}}{(e^x-x)^2}.$$

Dar $\color{blue}{(x+1)^\prime}=x^\prime+1^\prime=1+0=\color{blue}{1}$. Totodată, $\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}=(e^x)^\prime-x^\prime=\color{limegreen}{e^x-1}$.

Astfel, derivata noastră devine
$$f^\prime(x)=\frac{\color{blue}{1}\cdot(e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-1)}}{(e^x-x)^2}.$$

Desigur, nu ne vom opri aici, căci încă nu suntem mulțumiți, din moment ce mai putem face o groază de lucru. Vom lăsa numitorul cuminte și neschimbat, dar vom desface parantezele prin înmulțire și, cu mare grijă la semne, vom avea
$$f^\prime(x)=\frac{e^x-x-xe^x+x-e^x+1}{(e^x-x)^2},$$
adică, după ce reducem ceea ce se poate reduce, obținem
$$f^\prime(x)=\color{red}{\frac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}}.$$

Asta-i tot. Acuma v-aș fi văzut cum v-ați fi chinuit să obțineți această derivată dacă nu cunoșteați regula de derivare a raportului. Așa că nu vă jucați cu aceste reguli. Învățați-le și memorați-le, măcar până la bac. Și, cine știe, s-ar putea să nu le mai uitați niciodată, cum am pățit-o eu...

Tabel comun cu derivate și integrale

Vă prezint mai jos o listă cu derivatele și integralele unor funcții. La integrale nu am mai pus nici $dx$ și nici constanta, pentru că voi le subînțelegeți și am dorit ca tabelul să fie cât mai simplu și să redea cât mai bine esența. De asemenea, acolo unde am folosit numere concrete, precum 8 sau 5, voi puteți pune alte numere corespunzătoare.

$$\begin{array}{| c | c |}
\hline
5^\prime=0&\int 0=\text{orice număr}\\\hline
x^\prime=1&\int 3=3x\\\hline
(4\cdot f)^\prime=4\cdot f^\prime&\int 4\cdot f=4\cdot\int f\\\hline
(f+g)^\prime=f^\prime+g^\prime&\int f+g=\int f+\int g\\\hline
\left(\int f\right)^\prime=f&\int (f^\prime)=f\\\hline
(f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime&f\cdot g=\int f^\prime\cdot g+\int f\cdot g^\prime\\\hline
\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f^\prime\cdot g-f\cdot g^\prime}{g^2}&\frac{f}{g}=\int\frac{f^\prime}{g}-\int\frac{f\cdot g^\prime}{g^2}\\\hline
(x^8)^\prime=8x^{8-1}&\int x^5=\frac{x^{5+1}}{5+1}\\\hline
\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=-\frac{1}{x^{2}}& \int\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{x} \\\hline
\left(\frac{1}{x^6}\right)^\prime=-\frac{6}{x^{6+1}}& \int\frac{1}{x^8}=-\frac{1}{7x^7} \\\hline
(\sqrt{x})^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}&\int\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\\\hline
(\sqrt[7]{x^4})^\prime=\left(x^\frac{4}{7}\right)^\prime=\frac{4}{7\sqrt[7]{x^{7-4}}}&\int(\sqrt[7]{x^4})^\prime=\frac{7}{7+4}\sqrt[7]{x^{7+4}}\\\hline
(\ln x)^\prime=\frac{1}{x} &\int\frac{1}{x}=\ln|x|\\\hline
(e^x)^\prime=e^x&\int e^x=e^x\\\hline
(e^{-x})^\prime=-e^{-x}&\int e^{-x}=-e^{-x}\\\hline
[(x+5)\cdot e^x]^\prime=(x+6)\cdot e^x&\int(x+0)\cdot e^x=(x-1)\cdot e^x\\\hline
(a^x)^\prime=a^x\cdot\ln a&\int a^x=\frac{a^x}{\ln a}\\\hline
(\sin x)^\prime=\cos x&\int\sin x=-\cos x\\\hline
(\cos x)^\prime=-\sin x&\int\cos x=\sin x\\\hline
(\tan x)^\prime=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^\prime=\frac{1}{\cos^2 x}&\int\frac{1}{\cos^2 x}=\tan x\\\hline
(\cot x)^\prime=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^\prime=-\frac{1}{\sin^2 x}&\int\frac{1}{\sin^2 x}=-\cot x\\\hline
(\ln|\cos x|)^\prime=\frac{(\cos x)^\prime}{\cos x}=-\tan x&\int\tan x=-\ln|\cos x|\\\hline
(\ln|\sin x|)^\prime=\frac{(\sin x)^\prime}{\sin x}=\cot x&\int\cot x=\ln|\sin x|\\\hline
(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1+x^2}&\int\frac{1}{1+x^2}=\arctan x\\\hline
\left(\frac{1}{5}\arctan\frac{x}{5}\right)^\prime=\frac{1}{25+x^2}&\int\frac{1}{5^2+x^2}=\frac{1}{5}\arctan\frac{x}{5}\\\hline
\left(\frac{1}{2\cdot 5}\ln\left|\frac{x-5}{x+5}\right|\right)^\prime=\color{blue}{\frac{1}{x^2-25}}&\int\color{blue}{\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x+5}}=\ln\left|\frac{x-5}{x+5}\right|\\\hline
(\ln|x+\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm ceva}}|)^\prime=\frac{1}{\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm ceva}}}&\int\frac{1}{\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm orice}}}=\ln|x+\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm orice}}|\\\hline
(\arcsin{\frac{x}{8}})^\prime=(-\arccos{\frac{x}{8}})^\prime=\frac{1}{\sqrt{8^2-x^2}}&\int\frac{1}{\sqrt{64-x^2}}=\text{vedeți ce e în stânga}\\\hline
\end{array}.$$

Alte integrale utile veți găsi mai jos:

• Integrală din logaritm natural: $$\int\ln x dx=x\ln x-x.$$

Notați-vă undeva lincul către acest articol, căci veți avea des nevoie de el.