Mate-info 2016, subiectul III, problema 2c

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $(2n+3) I_{n+1} =2(n+1) I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 


Elevii care se consideră slabi nu mai ajung la acest subiect, renunțând și ieșind din sala de examen fără să mai încerce rezolvarea. În schimb, elevul căruia profesorul i-a sugerat mereu că mintea lui este sclipitoare nu se va gândi să abandoneze, ci dimpotrivă, chiar dacă e obosit după atâta muncă, el va încerca să rezolve și această problemă. 

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2b

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $I_{n+1} \leq I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 


Ca să demonstrăm o asemenea inegalitate de integrale ne folosim de monotonia integralei. Într-un articol precedent recent spuneam ceva important despre monotonie, spuneam că funcțiile crescătoare nu modifică semnul inegalității, pe când cele descrescătoare îl modifică.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2a

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Arătați că $I_1=\frac 2 3$.

Ce înseamnă $I_1$? Înseamnă tocmai $I_n$ în care punem în locul lui $n$ numărul $1$. Așadar, $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx.$$

Deci, avem de calculat integrala drăguță $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx=\int_0^1 1-x^2 dx. $$

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1c

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Demonstrați că $f(2\sqrt 3 )<f(3\sqrt 2)$.


Dacă v-aș fi cerut să comparați numerele $2\sqrt 3 $ și $3\sqrt 2 $, ați fi găsit că $2\sqrt 3 <3\sqrt 2$, căci ați fi introdus sub radical (prin ridicare la pătrat) numerele din fața radicalului.

Acum amintiți-vă regula aia minunată: funcțiile crescătoare nu modifică semnul unei inegalități. În schimb, funcțiile descrescătoare modifică (îl inversează) semnul inegalităților asupra cărora sunt aplicate. Amănunte despre această proprietate puteți găsi în articolul în care descriam legătura dintre monotonie și derivată.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1b

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Calculați $$\lim_{x\to+\infty}{\frac {f^\prime(x)} { f(x)}}. $$


Pe $f ^\prime (x) $ am găsit-o deja la subpunctul precedent, așa că limita care se cere este de fapt $$\lim_{x\to+\infty}{\frac {e^x-x-1} {e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1}}. $$

Prima metodă (riguroasă și rapidă): 

Cum calculăm această limită, cât mai rapid? Vă povesteam cândva cum se poate calcula rapid limita unei fracții de polinoame atunci când $x$ tinde la infinit. La ceea ce am discutat acolo voi mai adăuga aici o observație importantă: funcția $e^x$ poate fi considerată ca fiind un polinom de gradul infinit.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1a

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Arătați că $f^\prime(x) =e^x-x-1$. 

De obicei, problemele de la subpunctul a sunt mai ușoare. Și aceasta este ușoară. Avem de calculat derivata unei funcții destul de simple, o funcție care conține trei termeni.

Derivata unei sume (sau, bineînțeles, diferențe) de trei termeni se reduce la o sumă de trei derivate. Mai exact, $$\color{blue} {(f+g+h)^\prime=f'+g'+h'}. $$

Să se demonstreze că inegalitatea $e^x\geqslant x+1$ este adevărată pentru orice număr real $x$.

Pentru a demonstra o inegalitate de acest gen cu metode de liceu avem la dispoziție legătura dintre monotonia unei funcții și derivată. Această legătură spune că dacă derivata funcției date este pozitivă, atunci funcția însăși este crescătoare.

Deși la prima vedere nu pare să ne ajute prea mult această informație pentru a demonstra inegalitatea cerută, vom vedea totuși că tabelul cu monotonia funcției este foarte prețios în acest caz. Și sunt mari șanse ca ori de câte ori vi se cere să demonstrați o inegalitate, tabelul cu monotonia unei funcții legate de acea inegalitate să fie baza demonstrației.

După cum ați observat deja (dacă ați observat, dar nu-i musai), pentru a demonstra o inegalitate avem nevoie întâi de o funcție. De o funcție legată de acea inegalitate. Și nu-i ușor să găsim o asemenea funcție cu care putem demonstra inegalitatea. Elevul care poate găsi o asemenea funcție este demn de a fi felicitat. 

Să se calculeze $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}.$$

Pentru a calcula limita $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}$$ vom încerca întâi să înlocuim $x$-ul cu 3, să vedem ce iese. Am avea atunci $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}=\frac{5^3-125}{3-3}=\frac{125-125}{3-3}=\frac{0}{0}.$$

Dar, nimeni nu știe cât este $\frac{0}{0}$, pentru că această fracție este unul dintre cazurile de nedeterminare despre care v-am mai vorbit deja. Și am calculat deja o limită cu acest rezultat, doar că acolo aveam un raport de două polinoame, ori aici numărătorul nu este polinom (funcțiile exponențiale nu sunt funcții polinomiale).

Să se calculeze $\int\frac{1}{\sin^2x\cdot\cos^2x}dx$

V-am mai spus, când primim integrale, primul gând este TABELUL. Nu cumva integrala noastră este în tabel? Acesta este primul gând. Desigur, integrala noastră nu este în tabel, deci nu este chiar atât de simplă. Examinatorul nu ne-a sfidat inteligența, dându-ne o problemă prea simplă. :)

Dacă nu e în tabel, trecem la următorul gând. Nu cumva integrala noastră POATE FI ADUSĂ LA O FORMĂ în care să putem folosi tabelul? La acest al doilea gând insistăm mai mult. Pentru că, bineînțeles, dacă integrala nu este în tabel, atunci examinatorul ne-a dat o integrală pe care s-o putem transforma în așa fel încât să putem folosi până la urmă tabelul.

Calculați integrala (cu e la puterea u)

Calculați $$\int x^3\cdot e^{x^4}dx.$$

Ce variante sunt pentru a rezolva această problemă? Ce gânduri îi trec prin minte elevului când vede problema?

Poate unii s-ar gândi să calculeze această integrală prin părți, din moment ce ea este un produs de două funcții (căci atunci când vedeți un produs de două funcții, e posibil să meargă calculul și cu integrarea prin părți). Alții ar crede greșit că integrala asta s-ar calcula separând-o în două integrale.

Integrala nedefinită este o mulțime de primitive

În anumite probleme vi se poate cere să calculați integrala nedefinită a unei funcții, iar în alte probleme vi se poate cere să determinați o primitivă a unei funcții. Să vedem aici care poate fi deosebirea dintre ele.

Vă spun din start că mare deosebire nu poate fi între ele. Integrala nedefinită nu diferă fundamental de primitivă. Dacă vi se cere să calculați una din cele două, veți urma același calcul integral pentru ambele.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.c

Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ f(x):R→R, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$ și numărul $I_n=\int\limits_0^1 x^n f(x) dx$, cu $n$ număr natural nenul. În aceste condiții, arătați că $nI_n=\sqrt 5-4(n-1)I_{n-2}$, oricare ar fi numărul natural $n\ge 3$.

Pentru a putea demonstra relația cerută  $nI_n=\sqrt 5-4(n-1)I_{n-2}$, ni se sugerează ceva. Observați că în relație apare $\sqrt 5$. Înseamnă că acest $\sqrt 5$ ar putea fi obținut din ceva de genul $\sqrt{1+4}$, adică s-ar putea să fie rezultatul a ceva cu $\sqrt{x^2+4}\left.\right|_0^1$. Aha! Deci, ni se sugerează să încercăm să calculăm integrala. Haideți, atunci, să vedem ce putem face pentru a calcula integrala. Desigur, va fi un calcul de recurență, adică nu un calcul complet, ci unul parțial, în care integrala de ordinul mare depinde de integralele de ordin mai mic. Ia să vedem...

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.b

Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ f(x):R→R, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$. Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este funcție crescătoare pe $\mathbb{R}$.


În multe variante de bac am întâlnit această capcană excelentă. Și chiar am mai rezolvat un exemplu de asemenea problemă. Este oarecum o capcană, pentru că un elev superficial, dar care, totuși, simte măcar cam ce are de făcut, va gândi că are o groază de lucru, cam în felul următor: „Bun. Deci, am de calculat întâi primitiva, apoi trebuie să mă gândesc să arăt cumva că această primitivă este funcție crescătoare. Hmmm... Aaaa. Păi, da, știu, cu tabelul acela care conține semne și săgeți oblice! O să fac tabelul cu cele trei linii, care va conține $x$, derivata și funcția. Apoi în dreptul derivatei voi determina semnele, iar în dreptul funcției voi pune săgețile corespunzătoare.”

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.a

Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$. Calculați $\int\limits_0^2 f^2(x)dx$.


Ca să calculăm integrala, trebuie să știm din ce trebuie să calculăm integrala. Altfel spus, noi trebuie să ridicăm la pătrat funcția noastră și să vedem ce iese. Așadar
$$f^2(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)^2=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}.$$
Dar, când ridicăm la pătrat un radical, radicalul dispare ca prin farmec, căci, de exemplu,
$$(\sqrt{7})^2=\sqrt 7\cdot\sqrt 7=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7.$$


Prin urmare, $$f^2(x)=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}=\frac{1}{x^2+4}.$$ Asta înseamnă că integrala pe care trebuie s-o calculăm este $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx.$$

Dar, desigur, integrala aceasta este rușinos de simplă pentru un elev care cunoaște de-a fir a păr tabelul fundamental cu integrale, căci găsiți acolo tocmai această integrală, doar că în loc de $4$ aveți alt număr. Mai exact $$\large{\color{blue}{\int\limits_a^b\frac{1}{x^2+a^2}dx=\left.\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right|_a^b}}.$$

Dacă nu știți această formulă la bac, ați pierdut cele 5 puncte faine pe care le-ați fi putut primi. Pentru că nu cred că ați putea găsi pe loc o altă metodă de integrare (de exemplu, cea cu schimbarea de variabilă), din moment ce nu v-ați deranjat nici măcar să rețineți această formulă simplă.

Așadar, faceți cumva și rețineți formula, ca să puteți calcula integrale dintr-o fracție așa de simplă precum $\frac{1}{x^2+a^2}$. Căci, de-aici încolo totul devine rutină. Astfel, integrala noastră devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx.$$
Adică, la noi $a$ devine $2$. În final $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_0^2.$$ Adică $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_{\color{magenta}{0}}^{\color{limegreen}{2}}=\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{limegreen}{2}}}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{magenta}{0}}}{2}\right).$$
Desigur, parantezele n-au fost necesare, doar că eu am dorit să vă reamintesc cum se delimitează calculul conform formulei Leibniz-Newton. În fine, mai trebuie să știm cât este $\arctan 1$ și $\arctan 0$. Adică, vrem să găsim răspunsul la întrebările „tangentă de cât ne dă $1$?” și „tangentă de cât ne dă $0$?”. Din nou, răspunsurile sunt banale și le putem găsi în tabelul trigonometric. Ele sunt $\frac{\pi}{4}$ și, respectiv, $0$. Atunci, integrala căutată devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\large{\color{red}{\frac{\pi}{8}}}.$$

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.c

Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Calculați $\lim_{x\to+\infty} f(-x).$


Când vrem să calculăm o limită, încercăm să înlocuim argumentul cu valoarea. În cazul nostru, încercăm să-l înlocuim pe $x$ din funcția $f(-x)$ cu $+\infty$. Așadar, $$\lim_{x\to+\infty}f(-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\frac{-\infty+1}{e^{-\infty}+\infty}=\frac{-\infty}{0+\infty}=-\frac{\infty}{\infty}.$$ Acesta este un caz exceptat, o nedeterminare, deci nu ne ajută cu nimic pentru a găsi limita.

Prin urmare, încercarea noastră de a calcula limita prin simpla înlocuire a argumentului cu valoarea a ajuns într-un impas. Și trebuie să ne întoarcem la stadiul în care încă nu facem înlocuirea, ci ne străduim să mai modificăm ceva pe-acolo înainte de înlocuire.

O modificare fascinantă, pe care o știm de la matematicianul francez l'Hôpital este cea în care o asemenea limită (deci limitele cu nedeterminarea $\color{blue}{\frac{\infty}{\infty}}$ sau $\color{blue}{\frac{0}{0}}$) se calculează prin derivarea separată a numărătorului și separată a numitorului. Mai precis, în cazul acestor două nedeterminări, avem regula lui l'Hôpital
$$\color{blue}{\lim_{x\to\text{ceva}}\frac{f}{g}=\lim_{x\to\text{ceva}}\frac{f^\prime}{g^\prime}}.$$

Din fericire, această regulă o puteți folosi în foarte multe cazuri și, desigur, și în cazul nostru. Astfel, limita noastră va deveni atunci $$\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(-x+1)^\prime}{(e^{-x}+x)^\prime}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^\prime+1^\prime}{(e^{-x})^\prime+x^\prime}.$$

Aici, cea mai grea derivată este $(e^{-x})^\prime$. Restul sunt simple, căci $x^\prime=1$, iar $1^\prime=0$. Bun. Dar cât o fi $(e^{-x})^\prime$? Păi, avem o formulă care spune că $\color{blue}{(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime}$. Cum, la noi $u=-x$, avem că $(e^{-x})^\prime=e^{-x}\cdot(-x)^\prime=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$.

Acum avem o formă mai aerisită a limitei:
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^\prime+1^\prime}{(e^{-x})^\prime+x^\prime}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{1-e^{-x}}.$$

Acum dacă îl înlocuim pe $x$ cu $\infty$ vom obține că $e^{-\infty}=\frac{1}{e^\infty}=\frac{1}{\infty}=0$. Astfel, limita căutată este
$$\lim_{x\to+\infty}f(-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{1-e^{-x}}=-\frac{1}{1-0}=\color{red}{-1}.$$

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.b

Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Determinați ecuația tangentei la graficul acestei funcții în punctul de pe grafic a cărui abscisă este $x_0=0$.


Tangenta la grafic într-un anumit punct este o dreaptă care atinge graficul fără să-l taie. Asta înseamnă că tangenta trece doar printr-un singur punct al graficului.

Dar un singur punct înseamnă, de fapt, două puncte infinit apropiate. Deci, dacă am alege două puncte oarecare de pe graficul funcției prin care să treacă o dreaptă și am pune condiția ca cele două puncte să se apropie foarte mult de punctul dorit, atunci am găsi tocmai tangenta.

Haideți să vedem ce iese. Fie $x_0$ abscisa punctului în care vrem să găsim tangenta și fie $x_1$ un punct foarte apropiat de $x_0$. Atunci, ecuația dreptei care trece prin aceste două puncte este dată de

$$\begin{vmatrix}
  x & y & 1 \\
  x_1 & f(x_1) & 1 \\
  x_0 & f(x_0) & 1
 \end{vmatrix}=0$$

sau, echivalent,
$$\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$$

Acum, dacă vrem ca punctul $x_1$ să fie cât mai apropiat de $x_0$ va trebui să facem limită când $x_1$ tinde la $x_0$ în această relație de mai sus. Vom avea atunci
$$\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x_1\to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$$

Dar limita din dreapta este, prin definiție, tocmai derivata funcției în punctul $x_0$. Așadar, putem scrie că ecuația tangentei la graficul funcției $f(x)$ în punctul de abscisă $x_0$ (și, implicit, de ordonată $y_0=f(x_0)$) va fi dată de (rețineți formula, că nu-i grea!)
$$\large{\color{blue}{\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=f^\prime(x_0)}}.$$

Această formulă este cel mai important lucru pe care trebuie să-l cunoașteți pentru a rezolva problema cu tangenta. Ea ne mai spune, printre altele, că panta tangentei (fracția din stânga egalității este tocmai panta dreptei) este egală cu derivata funcției în punctul cerut.




Bun. Să presupunem acum că elevul ar fi știut formula tangentei (un elev care a învățat formulele pentru bac o știe în mod sigur). De aici încolo îi trebuie doar înlocuiri și calcule de rutină. Ia să vedem. La noi, $x_0=0$. Ce fain! Iar derivata am calculat-o deja la punctul precedent (sper că nu v-a trecut prin minte s-o calculăm iar!), adică ea este
$$f^\prime(x)=\frac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}.$$

Atunci să trecem la înlocuiri. $$f^\prime(x_0)=f^\prime(0)=\frac{1-0\cdot e^0}{(e^0-0)^2}=1,$$
iar $$f(x_0)=f(0)=\frac{0+1}{e^0-0}=1.$$

Așadar, putem scrie că ecuația tangentei căutate este
$$\frac{y-1}{x-0}=1.$$

Iar după prelucrări elementare obținem în final că ecuația tangentei căutate, în forma generală, este
$$\large{\color{red}{x-y+1=0}}.$$

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.a

Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Calculați $f^\prime(x)$.


Când se cere $f^\prime(x)$ se cere de fapt derivata funcției $f(x)$. Derivata unei funcții este o limită. Deci, dacă nu ne-am aminti ceea ce trebuie pentru rezolvarea problemei, atunci ar trebui să ne amintim măcar definiția derivatei ca fiind o limită, căci o asemenea definiție ne-ar ajuta să rezolvăm cumva problema noastră.

Din fericire, noi nu ne vom chinui acum cu definiția derivatei, ci, bucuroși că ne amintim regula care trebuie, vom calcula așa cum se cuvine această derivată. Care o fi regula necesară?

Păi, vedem că funcția noastră este o fracție. Așadar, vom scormoni prin memoria noastră după o regulă care ne ajută să derivăm fracții. Regula de derivare a unei fracții seamănă foarte mult cu cea pentru derivarea unui produs. Din acest motiv, vi le voi aminti pe ambele, ca să vedeți distincția și asemănarea teribilă dintre ele.

$$(f\cdot g)^\prime=f^\prime g\,\large{\color{red}{+}}\,fg^\prime$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f^\prime g\,\large{\color{red}{-}}\,fg^\prime}{g^2}$$

Desigur, cum funcția noastră este o fracție, noi vom folosi formula de derivare a fracției. Așadar, vom avea
$$f^\prime(x)=\left(\frac{x+1}{e^x-x}\right)^\prime=\frac{\color{blue}{(x+1)^\prime} (e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}}{(e^x-x)^2}.$$

Dar $\color{blue}{(x+1)^\prime}=x^\prime+1^\prime=1+0=\color{blue}{1}$. Totodată, $\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}=(e^x)^\prime-x^\prime=\color{limegreen}{e^x-1}$.

Astfel, derivata noastră devine
$$f^\prime(x)=\frac{\color{blue}{1}\cdot(e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-1)}}{(e^x-x)^2}.$$

Desigur, nu ne vom opri aici, căci încă nu suntem mulțumiți, din moment ce mai putem face o groază de lucru. Vom lăsa numitorul cuminte și neschimbat, dar vom desface parantezele prin înmulțire și, cu mare grijă la semne, vom avea
$$f^\prime(x)=\frac{e^x-x-xe^x+x-e^x+1}{(e^x-x)^2},$$
adică, după ce reducem ceea ce se poate reduce, obținem
$$f^\prime(x)=\color{red}{\frac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}}.$$

Asta-i tot. Acuma v-aș fi văzut cum v-ați fi chinuit să obțineți această derivată dacă nu cunoșteați regula de derivare a raportului. Așa că nu vă jucați cu aceste reguli. Învățați-le și memorați-le, măcar până la bac. Și, cine știe, s-ar putea să nu le mai uitați niciodată, cum am pățit-o eu...

Tabel comun cu derivate și integrale

Vă prezint mai jos o listă cu derivatele și integralele unor funcții. La integrale nu am mai pus nici $dx$ și nici constanta, pentru că voi le subînțelegeți și am dorit ca tabelul să fie cât mai simplu și să redea cât mai bine esența. De asemenea, acolo unde am folosit numere concrete, precum 8 sau 5, voi puteți pune alte numere corespunzătoare.

$$\begin{array}{| c | c |}
\hline
5^\prime=0&\int 0=\text{orice număr}\\\hline
x^\prime=1&\int 3=3x\\\hline
(4\cdot f)^\prime=4\cdot f^\prime&\int 4\cdot f=4\cdot\int f\\\hline
(f+g)^\prime=f^\prime+g^\prime&\int f+g=\int f+\int g\\\hline
\left(\int f\right)^\prime=f&\int (f^\prime)=f\\\hline
(f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime&f\cdot g=\int f^\prime\cdot g+\int f\cdot g^\prime\\\hline
\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f^\prime\cdot g-f\cdot g^\prime}{g^2}&\frac{f}{g}=\int\frac{f^\prime}{g}-\int\frac{f\cdot g^\prime}{g^2}\\\hline
(x^8)^\prime=8x^{8-1}&\int x^5=\frac{x^{5+1}}{5+1}\\\hline
\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=-\frac{1}{x^{2}}& \int\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{x} \\\hline
\left(\frac{1}{x^6}\right)^\prime=-\frac{6}{x^{6+1}}& \int\frac{1}{x^8}=-\frac{1}{7x^7} \\\hline
(\sqrt{x})^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}&\int\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\\\hline
(\sqrt[7]{x^4})^\prime=\left(x^\frac{4}{7}\right)^\prime=\frac{4}{7\sqrt[7]{x^{7-4}}}&\int(\sqrt[7]{x^4})^\prime=\frac{7}{7+4}\sqrt[7]{x^{7+4}}\\\hline
(\ln x)^\prime=\frac{1}{x} &\int\frac{1}{x}=\ln|x|\\\hline
(e^x)^\prime=e^x&\int e^x=e^x\\\hline
(e^{-x})^\prime=-e^{-x}&\int e^{-x}=-e^{-x}\\\hline
[(x+5)\cdot e^x]^\prime=(x+6)\cdot e^x&\int(x+0)\cdot e^x=(x-1)\cdot e^x\\\hline
(a^x)^\prime=a^x\cdot\ln a&\int a^x=\frac{a^x}{\ln a}\\\hline
(\sin x)^\prime=\cos x&\int\sin x=-\cos x\\\hline
(\cos x)^\prime=-\sin x&\int\cos x=\sin x\\\hline
(\tan x)^\prime=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^\prime=\frac{1}{\cos^2 x}&\int\frac{1}{\cos^2 x}=\tan x\\\hline
(\cot x)^\prime=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^\prime=-\frac{1}{\sin^2 x}&\int\frac{1}{\sin^2 x}=-\cot x\\\hline
(\ln|\cos x|)^\prime=\frac{(\cos x)^\prime}{\cos x}=-\tan x&\int\tan x=-\ln|\cos x|\\\hline
(\ln|\sin x|)^\prime=\frac{(\sin x)^\prime}{\sin x}=\cot x&\int\cot x=\ln|\sin x|\\\hline
(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1+x^2}&\int\frac{1}{1+x^2}=\arctan x\\\hline
\left(\frac{1}{5}\arctan\frac{x}{5}\right)^\prime=\frac{1}{25+x^2}&\int\frac{1}{5^2+x^2}=\frac{1}{5}\arctan\frac{x}{5}\\\hline
\left(\frac{1}{2\cdot 5}\ln\left|\frac{x-5}{x+5}\right|\right)^\prime=\color{blue}{\frac{1}{x^2-25}}&\int\color{blue}{\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x+5}}=\ln\left|\frac{x-5}{x+5}\right|\\\hline
(\ln|x+\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm ceva}}|)^\prime=\frac{1}{\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm ceva}}}&\int\frac{1}{\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm orice}}}=\ln|x+\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm orice}}|\\\hline
(\arcsin{\frac{x}{8}})^\prime=(-\arccos{\frac{x}{8}})^\prime=\frac{1}{\sqrt{8^2-x^2}}&\int\frac{1}{\sqrt{64-x^2}}=\text{vedeți ce e în stânga}\\\hline
\end{array}.$$

Alte integrale utile veți găsi mai jos:

• Integrală din logaritm natural: $$\int\ln x dx=x\ln x-x.$$

Notați-vă undeva lincul către acest articol, căci veți avea des nevoie de el.

Limite de fracții în cazul zero pe zero

Desigur că titlul este oarecum vag, deoarece putem face fracție cu orice funcție. De exemplu, putem scrie că $f(x)=\frac{f(x)}{1}$ și asta ar însemna că articolul nostru ar trebui să discute despre orice fracție posibilă.

Desigur, nu-i chiar așa, iar un începător nu va fi atât de pretențios. Dimpotrivă, când va auzi „limite de fracții” el se va gândi că este vorba despre limite cu fracții polinomiale. Și va avea dreptate. Căci asemenea limite merită o discuție separată.

Așadar, dăm întâi un exemplu de limită cu fracție polinomială
$$\lim_{x\to 5}\frac{x-6}{2x-7},$$
ca să ne asigurăm că elevul înțelege bine la ce fel de fracții ne referim.

Limita dată în exemplul nostru este simplă și se poate calcula ușor prin înlocuirea lui $x$ cu 5. Dar există probleme atunci când ajungem la cazuri exceptate, precum $\frac{\infty}{\infty}$ sau $\frac{0}{0}$ despre care am povestit în articolul precedent. Noi aici ne vom ocupa deocamdată doar cu acest ultim caz exceptat, $\color{red}{\frac{0}{0}}$.

Să dăm, deci, un exemplu de limită în care apare cazul exceptat $\frac{0}{0}$. Să calculăm, de pildă
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}.$$

Observați că dacă înlocuim pe $x$ cu 3 (așa cum se cuvine pentru început), obținem
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\frac{3^2-7\cdot 3+12}{3-3}=\frac{0}{0},$$
deci caz exceptat.

Ce facem când ajungem la un caz exceptat, vă mai amintiți? Prelucrăm expresia înainte de a face înlocuirea. Bine, bine, dar ce am putea prelucra noi la această expresie?

De regulă, la asemenea limite, numărătorul se împarte exact cu numitorul și rezultă un polinom mai simplu decât numărătorul. Prin împărțire scăpăm de fracție, deci scăpăm și de cazul exceptat. Dacă știți să împărțiți polinoame, atunci puteți face direct împărțirea numărătorului la numitor și obțineți

$\begin{array}{ ll | l }

x^2&-7x+12&x-3 \\
\hline
-x^2&+3x &\color{red}{x-4}\\
\hline
=&\underline{-4x+12}&\\
&\underline{+4x-12}&\\
&=====&\\
\end{array}$.

Dacă nu vă mai amintiți cum se face împărțirea polinoamelor, atunci trebuie să vă amintiți măcar următoarea șmecherie cu factorul comun prin care trebuie să facem ceva cu numărătorul în așa fel încât să aibă legătură cu numitorul. Mai exact, scriem numărătorul astfel

$$x^2-7x+12=x^2-3x-4x+12=x(x-3)-4(x-3).$$

Observați că am prelucrat numărătorul în așa fel încât să dăm factor comun și să apară numitorul în paranteze. Astfel, mai dăm o dată factor comun tocmai numitorul și obținem

$$x^2-7x+12=x(x-3)-4(x-3)=(x-3)\color{red}{(x-4)}.$$

O altă șmecherie pe care o puteți folosi este să căutați rădăcinile polinomului de la numărător. Cum polinomul de la numărător are gradul doi, putem calcula delta

$$\Delta=(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

Atunci, rădăcinile vor fi

$$x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1},$$

deci $x_1=3$ și $x_2=4$. În acest caz, rădăcinile ne spun că polinomul nostru de gradul doi $x^2-7x+12$ poate fi scris ca un produs de polinoame de gradul întâi

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

Dacă nu știți nici împărțirea polinoamelor, nici șmecheria cu factorul comun și nici măcar legătura dintre rădăcinile unui polinom și descompunerea acestuia în paranteze, dar vă mai amintiți, totuși, regula lui l'Hôpital, atunci sunteți câștigați, căci cu această regulă puteți calcula orice limite de fracții polinomiale. Problema este că regula lui l'Hôpital poate fi folosită doar atunci când este permisă utilizarea derivatei (cum este cazul la bac), iar derivatele se învață după limite, căci însăși derivata este o limită. Așa că, până la urmă, va trebui să învățați împărțirea polinoamelor, șmecheria cu factorul comun sau descompunerea cu parantezele.

Așadar, presupunând că printr-una dintre metode am reușit să obținem rezultatul împărțirii polinomului de la numărător cu polinomul de la numitor, am ajuns în situația în care putem scrie

$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x-4)=3-4=-1,$$

acesta fiind răspunsul căutat în cazul limitei noastre.