Mate-info 2016, subiectul I, problema 4

Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii $A=\{\sqrt 1,\, \sqrt 2, \,\sqrt 3, \,\sqrt 4, \,\sqrt 5, \,\sqrt 6 \}$,  aceasta să aibă cel mult două elemente. 

Să facem, pentru început, o oarecare introducere în lumea probabilităților.

Probabilitatea este un număr. Un număr cuprins între zero și unu, inclusiv. Probabilitatea ne arată cât de des se întâmplă ceva ce ne interesează. De exemplu, dacă ne interesează cât de des apare fața pe care se află numărul doi de la un zar cu șase fețe (căci pot exista și zaruri cu patru fețe (cum ar arăta un zar cu patru fețe?) sau cu opt fețe), atunci teoria probabilităților ne spune că feței cu numărul doi îi este asociată probabilitatea $\frac{1 }{6}$, adică undeva la $0,1666$. 

V1S1P4: Calculați probabilitatea ca, pentru un număr $a$ din mulțimea $\{1,3,5,\dots, 21\}$, expresia $3^{2a+1}\cdot 15^{a+2}$ să fie cub perfect

Din ceea ce se învață în liceu, știm că probabilitatea este o fracție care are la numărător (deci sus) „numărul cazurilor favorabile”, iar la numitor „numărul cazurilor posibile”. Întotdeauna, numărul de jos (deci cel de la numitor) este mai mare sau cel puțin egal cu numărul de la numărător. De parcă numărul mare este mai greu și se scufundă, lăsându-l pe cel mai ușor deasupra. Astfel, probabilitatea este întotdeauna un număr mai mic decât unu sau cel mult egal cu unu, ceea ce mai înseamnă că probabilitatea este mereu un număr subunitar sau eventual echiunitar, niciodată supraunitar.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 4

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 13.


Din punctul de vedere al cunoștințelor pe care le-ați acumulat în liceu, probabilitatea este un număr mai mic sau egal cu $1$ (niciodată supraunitar!) dat de o fracție care conține la numărător (sus) un număr mai mic numit „numărul cazurilor favorabile”, iar la numitor numărul maxim, numit „numărul cazurilor posibile”.

Deci, $P=\frac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$.

Ne mai rămâne să determinăm concret aceste numere care apar în expresia probabilității.

Începem cu „mulțimea numerelor naturale de două cifre”. Câte asemenea numere naturale sunt? Asta-i întrebarea inițială. Procedăm sistematic. Numere naturale de două cifre care să înceapă cu $0$ nu avem. Așadar, avem doar numere naturale care încep cu cifrele $1,\,2,\,3,\dots,\,9$. Deci, în locul primei cifre, care este cifra zecilor, se pot afla doar 9 cifre, căci cifra $0$ nu se poate afla acolo. În schimb, în locul cifrei unităților se poate afla și cifra $0$, în total zece cifre. Deci, pentru fiecare cifră a zecilor, avem câte zece numere posibile corespunzătoare. Și cum sunt în total 9 cifre în locul cifrei zecilor, obținem că există în total $9\cdot 10=\color{red}{90}$ posibilități în care putem construi numere naturale de două cifre. Astfel, numitorul probabilității este determinat.

Să trecem acum la partea care este, de regulă, ceva mai grea, și anume la determinarea numărătorului probabilității. Trebuie să căutăm câte numere de două cifre divizibile cu 13 sunt. Se pare că, decât să ne chinuim cu cine știe ce metode generale pentru a afla multiplii lui 13, este mai ușor să enumerăm aceste numere, căci nu sunt multe. Sunt tocmai multiplii lui 13 care nu depășesc suta. Așadar, multiplii lui 13 care sunt mai mici decât 100 sunt $13,\,26,\,39,\,52,\,65,\,78\text{ și }91$. În total, avem $\color{red}{7}$ asemenea multipli.

Atunci, probabilitatea căutată va fi $$\color{red}{P=\frac{7}{90}}.$$