Cercul și poligoanele regulate

Ca și oricare dintre triunghiuri, cel echilateral are două cercuri prietene, unul circumscris, care trece prin toate vârfurile sale și unul înscris care atinge toate laturile sale. Doar că, pentru triunghiul echilateral, datorită simetriei perfecte a acestuia, centrele celor două cercuri coincid cu centrul de greutate și cu ortocentrul triunghiului. Această coincidență plăcută simplifică legătura dintre lungimea laturii triunghiului echilateral și razele celor două cercuri.

În geogebra am realizat o fișă în care puteți găsi formulele aferente legăturii dintre poligoanele regulate aprofundate în gimnaziu, adică triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat.

Vedeți mai jos imaginile corespunzătoare acestor poligoane:

Vă doresc să puteți asimila cât mai multe dintre aceste minunate formule, între care există o legătură profundă.

V-M+F=2

Acest domn Euler a fost o minune, un înger pe Pământ. Dânsul ne-a lăsat această relație superbă, $$\color{red}{V-M+F=2}$$ care ne face legătura între numărul de Vârfuri, de Muchii și de Fețe ale unui poliedru.

Puteți reține ușor relația domnului Euler, căci literele care apar sunt în ordine alfabetică descrescătoare și avem un semn minus în mijloc.

De exemplu, o piramidă patrulateră are 

$V=4+1=5$, cinci vârfuri, $M=2\cdot 4=8$, opt muchii și $F=4+1=5$, cinci fețe. Deci, $V-M+F=5-8+5=\color{red}{2}$.

Mai vedeți și voi alte exemple, poate vă iese tot $\color{red}{2}$.

Suma lui Gauss

Cum calculați $1+2+3+\dots+17$? Desigur, nu vă apucați să adunați termen cu termen, ci vă folosiți de metoda deșteaptă descoperită de Gauss și anume de aceea în care transformați această sumă într-un produs. Mai exact, îl luați frumușel pe ultimul termen (pe 17), îl înmulțiți cu succesorul său (adică cu 18) și împărțiți rezultatul la 2. Sau puteți începe întâi cu împărțirea numărului par (dintre două numere consecutive, întotdeauna unul va fi par).

Dar cum calculați $4+7+10+\dots+121$? Aici aveți de parcurs trei pași:

Pasul 1: determinați rația R, adică diferența dintre doi termeni consecutivi, deci cu cât crește fiecare termen. În cazul nostru rația este 3.

Pasul 2: determinați câte numere aveți de adunat. Pentru aceasta folosiți formula: $$\color{blue}{N=\frac{Ultimul-Primul}{Rație}+1}.$$ În cazul nostru, $N=\frac{121-4}{3}+1=40$.

Pasul 3: determinați, în sfârșit, suma propriu-zisă cu formula $$\color{red}{S=\frac{(Ultimul+Primul)\cdot \color{blue}{N}}{2}}.$$ Adică, în cazul nostru, $S=\frac{(121+4)\cdot 40}{2}=125\cdot 20=2500$.

Vă rog să observați că în pasul al treilea se adună ultimul și primul termen, nu se scad precum se făcea în pasul al doilea.

Apropo, puteți calcula această sumă și cu ajutorul minunatului Wolframalpha, accesând acest link. 

Mult succes!

Dreptunghiul ABCD are AB=8 cm și BC=5 cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu ...

4. Dreptunghiul ABCD are AB=8 cm și BC=5 cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu ... cm2.

Dreptunghiul ABCD arată astfel:

Pentru aria unui dreptunghi elevul trebuie să cunoască o formulă simplă și importantă și anume:

A=L࠰l

Ea ne spune că aria unui dreptunghi este produsul dintre lungimea acestuia și lățimea lui. 

Semnificația fizică a ariei este asemănătoare cu semnificația fizică a lungimii. Mai precis, în timp ce lungimea unui segment reprezintă numărul de segmente mici de un centimetru care încap în acel segment, aria unei porțiuni de suprafață este numărul de pătrățele mici cu latura de un centimetru care încap în acea porțiune.

Așadar, dacă cumva nu am cunoaște formula ariei unui dreptunghi, dar am cunoaște semnificația fizică a ariei, am putea redescoperi noi această formulă pentru că înmulțirea lungimii cu lățimea este singura posibilitate de a găsi câte pătrățele mici ar putea încăpea într-un dreptunghi.

În problema noastră lungimea, deci cea mai lungă latură a dreptunghiului este AB=8 cm, iar lățimea este BC=5 cm, deci aria dreptunghiului va fi A=L࠰l=AB࠰BC=8 cm x 5 cm=40 cm pătrați.

Cu aceasta am găsit că în punctele de suspensie dedicate răspunsului vom așeza numărul 40 (fără să mai scriem unitatea de măsură, care deja există în enunț).

Suma numerelor întregi din intervalul (-2;2] este egală cu...

Suma numerelor întregi din intervalul (-2;2] este egală cu...

Pentru a putea rezolva această problemă, elevul trebuie să știe ce este un interval, ce înseamnă numere întregi și ce înseamnă sumă. Începem să povestim despre intervale. Noțiunea de interval (gândește-te și la „inter-val”, între valuri) se referă la toate numerele reale posibile aflate între două numere. Având în vedere faptul că între 7 și 8 există și 7,2 și 7,3 și 7,35 și așa mai departe, rezultă că există o infinitate de numere reale între 7 și 8, așa că nu le putem scrie pe toate. Tocmai de aceea s-a inventat noțiunea de „interval”. Ea ne ajută să ne putem referi la toate numerele dintre 7 și 8 printr-o metodă simplă: scriem doar (7;8) și înțelegem că ne referim la toate numerele dintre 7 și 8. Mai mult de atât, dacă jonglăm și cu parantezele pe care le folosim pentru interval putem să spunem și dacă numerele 7 și 8 se află sau nu se află în intervalul nostru. Astfel, dacă folosim numai paranteze rotunde, spunem prin aceasta că numerele 7 și 8 NU se află în intervalul (7;8), dar în acest interval se află orice număr apropiat de 7 și de 8, aflat în dreapta lui 7 și în stânga lui 8. Deci, intervalul (7;8) conține și numerele 7,1 și 7,01 și 7,0001, dar NU îl conține pe 7. În schimb, dacă dorim să-l includem și pe 7 în intervalul nostru, atunci ne folosim de paranteza dreaptă. Așadar, intervalul [7;8) îl conține și pe 7, conține toate numerele dintre 7 și 8, dar nu îl conține pe 8. Mai observați că în partea din stânga intervalului am așezat numărul mai mic, iar în partea din dreapta am așezat numărul mai mare; aceasta este o regulă obligatorie și firească. Cu aceasta consider că sunteți bine puși la punct cu noțiunea de „interval”.

Acum pentru a rezolva problema noastră, mai trebuie să facem o trecere în revistă a numerelor întregi. Numerele întregi sunt cele care nu au virgulă. Nu e o problemă că au minus, important este să nu aibă virgulă, să nu fie fracționare, să fie întregi. De exemplu, numărul 7 este număr întreg (el este și natural), numărul -3 este număr întreg (dar nu este natural), în schimb, numărul 2,8 nu mai este număr întreg, ci este așa-numitul „număr rațional”. Așadar, care sunt numerele întregi din intervalul (-2;2]? Deoarece în dreptul lui -2 este paranteză rotundă, înseamnă că pe -2 nu îl vom lua în considerare, chiar dacă este număr întreg. Deci, primul număr întreg ce se află în intervalul nostru este abia -1 și cu el vom începe calculul sumei cerute. Următorul este 0, apoi 1 și nu ne oprim aici, deoarece în dreptul lui 2 este paranteză dreaptă, deci trebuie să-l luăm în considerare. Astfel, calculul nostru devine: (-1)+0+1+2=2.

Răspuns final: 2.

Dar ce ne făceam dacă ni se cerea suma numerelor întregi din intervalul (-100;100]? Oare trebuia să le adunăm pe rând pe toate numerele întregi din interval și să ne trezim că am pierdut minute bune cu calculul? Desigur, nu. De ce? Deoarece, orice număr natural din intervalul nostru, cu excepția lui 100, are un corespondent opus în interval. De exemplu, numărul 98 are în interval și opusul -98 și noi știm că suma a două numere opuse este nulă, este zero, deci nu contribuie la modificarea sumei finale, sumă care va fi în cazul acesta egală tocmai cu numărul care nu are un opus în interval, deci 100.

Calculați 25% din 100.

Ni se cere să calculăm 25% din 100. Orice procent din 100 este egal cu acel procent. Deci, în cazul nostru, răspunsul este 25. Dacă ar fi cerut 25% din 200, atunci răspunsul era dublul lui 25, căci 200 este dublul lui 100. În altă ordine de idei, 25% din ceva înseamnă un sfert din acel ceva. 50% din ceva înseamnă jumătate din acel ceva. 10% din ceva înseamnă o zecime din acel ceva. De exemplu, dacă ni s-ar fi cerut să calculăm 10% din 80, rezultatul era 8, căci a zecea parte din 80 este 8. Dacă ni s-ar fi cerut să calculăm 20% din 80, atunci rezultatul era dublul lui 10% din 80, căci 20 este dublul lui 10. Și încă ceva: 20% din 80 este ca și 80% din 20, iar această proprietate este valabilă oricând și pentru orice numere. Așadar, dacă veți constata vreodată că ar fi mai ușor să calculați procentul cerut prin comutarea numerelor, atunci nu ezitați să faceți comutarea, pentru că veți obține rezultatul corect și după comutare. De exemplu, dacă vi s-ar cere să calculați 35% din 40, calculele ar putea părea greoaie, așa că mai bine să comutăm. Vom calcula 40% din 35 și vom ține seama de faptul că 10% din 35 este 3,5, iar acest număr va fi înmulțit apoi cu 4, pentru că 40 este de patru ori mai mare decât 10. Așadar, 35% din 40=40% din 35=14.

Dacă știți trapezul, atunci știți și triunghiul și știți și paralelogramul

Triunghiul este un trapez a cărui bază mică este atât de mică, încât are lungimea nulă, adică are zero metri. Iar paralelogramul este un trapez a cărui bază mică este tocmai egală cu baza mare. Așadar, dacă știți vreo formulă pentru trapez, înseamnă că o știți și pentru triunghi, respectiv, pentru paralelogram.


Haideți să vedem cum. Să presupunem că ați învățat aria trapezului și știți că ea este $$A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$$

Atunci, cum triunghiul este un trapez cu baza mică nulă, adică pentru triunghi b=0, rezultă că aria triunghiului va fi $$A=\frac{(B+0)\cdot h}{2}=\frac{B\cdot h}{2}.$$

Pentru paralelogram facem $b=B$ și obținem $$A=\frac{(B+B)\cdot h}{2}=\frac{2B\cdot h}{2}=B\cdot h,$$ unde am simplificat cu 2.

Desigur, o asemenea relație minunată este valabilă pentru TOATE formulele pe care le cunoașteți despre trapez. De exemplu, poate știți formula liniei mijlocii în trapez. Atunci vă puteți juca cu baza mică pentru a vedea dacă este adevărat și pentru linia mijlocie ceea ce v-am spus mai sus.

Alte minuni create de domnul Sorin Borodi

Domnul Borodi a mai creat niște teste inițiale foarte utile pentru elevi și profesori, pe care le puteți găsi la adresele:

http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_____5.htm
http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_6.htm
http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_7.htm
http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_8.htm
http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_9.htm


N-am verificat perfecțiunea lor, dar de utilitatea lor sunt absolut convins.

1000 de teste inițiale pentru clasa a VIII-a!

Mamma mia, ce oameni harnici! Ia uitați ce a realizat tipul ăsta, în timp ce eu mă chinuiesc să fac o asemenea bază de date în Google Sheets:

http://www.mateinfo.net/interactiv/gimnaziu/cls08/

Alegeți un număr în baza căruia va fi generat automat un test.

Felicitări realizatorului!

Echerul special

Există în comerț o trusă de instrumente pentru geometrie care,  printre o mulțime de alte bunătăți, conține și o piesă extrem de drăguță despre care doresc să vă vorbesc aici și anume „echerul special”. Mai exact, există acolo un echer, care mie îmi este tare drag, ce are un unghi de 30°, un unghi de 60° și un unghi drept, adică de 90°. Acest echer, mai bine zis, acest triunghi dreptunghic, are o importanță supremă în geometrie, deoarece apare foarte, foarte des în problemele pe care le veți întâlni vreodată.

El ne amintește de o proprietate fundamentală în geometrie pe care o are triunghiul acesta dreptunghic cu un unghi de 30°: cateta mică este jumătate din ipotenuză.  În aceste șase cuvinte magice este cuprinsă o proprietate geometrică pe care o veți întâlni în sute de probleme de acum încolo. Ea ne spune că în acest triunghi dreptunghic special, cateta mică (adică latura aceea care formează unghiul drept și care este departe de unghiul de 30°),  este tocmai jumătate din ipotenuză, deci este tocmai jumătate din cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic special.

Concret, dacă veți avea curiozitatea să măsurați cu liniarul lungimea ipotenuzei echerului special, după care să măsurați lungimea catetei mici a acestui echer, veți constata că, așa ca printr-o minune, cateta mică este jumătate din ipotenuză.  Așadar, mai putem spune și că ipotenuza este de două ori mai mare decât cateta mică.  

Bineînțeles, această proprietate este valabilă pentru orice triunghi dreptunghic special (deci, triunghi cu unghiurile de 30°, 60°, 90°) și ea este echivalentă cu faptul că sinus de 30° este unu supra doi ($\frac 1 2$), sinusul unui unghi fiind, prin definiție, cateta opusă acelui unghi supra ipotenuză.

Simplificarea nu este posibilă în adunare sau scădere!

Dacă aveți fracția $\frac{8}{2}$ sau fracția $\frac{2}{8}$, atunci puteți face simplificarea cu $2$. Dacă aveți fracția $\frac{6\cdot 2}{2}$, atunci din nou puteți face simplificarea cu $2$. 

Dar dacă aveți fracția $\frac{6+2}{2}$, aici NU PUTEȚI face simplificarea brută, pentru că obțineți un rezultat greșit! De asemenea, nici în fracția $\frac{6-2}{2}$ nu puteți face simplificarea brută, din același motiv ca la adunare.

Ca să vă convingeți, haideți să facem calculele în cazul simplificărilor greșite. Dacă am calcula fracția $\frac{6+2}{2}$ fără simplificare, am obține rezultatul corect $$\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Dar dacă am face simplificarea greșită, am obține $$\frac{6+2}{2}=\frac{6+1}{1}=7.\text{ FALS!!!}$$  
De asemenea, tot un rezultat greșit am obține și în cazul scăderii $$\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2\neq\frac{6-1}{1}=5.$$

Dacă, totuși, vreți să faceți simplificarea cu orice preț și la adunare sau scădere, atunci va trebui să dați FACTOR COMUN, ca să iasă până la urmă tot înmulțire. Mai exact, în fracția $\frac{6+2}{2}$, pot da un factor comun la numărător (acolo unde este adunare sau scădere) și voi obține $$\frac{6+2}{2}=\frac{2\cdot 3+2\cdot 1}{2}=\frac{2\cdot(3+1)}{2}=\frac{3+1}{1}=4.$$

Observați că am făcut simplificarea cu $2$ fără să greșesc, căci am simplificat FACTORUL $2$, nu TERMENUL $2$. Factorii sunt expresii între care se face înmulțire (sau împărțire), iar termenii sunt expresii între care se face adunare (sau scădere). Așadar, pe viitor fiți atenți la simplificări.

Să se deducă formula volumului pentru trunchiul de piramidă

Să presupunem că la un examen ați primi această problemă, aceea de a deduce că volumul trunchiului de piramidă este dat de formula
$$V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right).$$

Sau poate că nu vă amintiți formula cu precizie și doriți să o deduceți din alte cunoștințe precedente pe care le aveți. Cum ați proceda? Ce cunoștințe precedente (învățate deja) ați folosi pentru a o deduce?

Păi, pornim întâi de la faptul că un trunchi de piramidă este o piramidă fără vârf. Ceva asemănător cu faptul că un trapez este un triunghi fără vârf. Adică, dacă la o piramidă pregătită de tăiere

cineva (un bun spadasin) îi retează în viteză cu o sabie ascuțită rău de tot partea de sus (paralel cu planul de jos), va rezulta un trunchi de piramidă foarte drăguț și cuminte:

Important este acum să observăm că „partea de sus”, cea retezată după planul roșu (sper că nu e de la sânge!), este tot o piramidă. Și, culmea, că această piramidă este sora mai mică a piramidei mari, în sensul că seamănă foarte mult prin ceva cu piramida mai mare din care a provenit trunchiul de piramidă.

Oare prin ce seamănă piramida mică cu piramida mare? Este important să stabilim asta, ca să putem duce mai departe raționamentul. Ei bine, vorbeam mai sus de „cunoștințe precedente”. Una dintre cunoștințele precedente de care avem nevoie pentru a putea deduce volumul trunchiului de piramidă este teorema lui Thales, adică teorema care ne va spune că fețele laterale ale piramidei mici (fețe care sunt întotdeauna triunghiuri) sunt asemenea cu fețele laterale ale piramidei mari.

Asta înseamnă că raportul (deci, împărțirea) dintre o latură a triunghiului mic (triunghi care este față laterală a piramidei mici) și o latură corespunzătoare din triunghiul mare (triunghiul mare este o față laterală a piramidei mari) este la fel (este egal) ca și raportul dintre o altă latură a triunghiului mic și latura corespunzătoare din triunghiul mare. Acest raport este un număr care poartă un nume clar: raportul de asemănare. El este numărul care arată prin ce se aseamănă sora mai mică cu sora cea mare, deci arată prin ce se aseamănă cele două piramide. Haideți să notăm acest raport cu $k$ și să vedem ce relații cantitative determină acesta.

Bineînțeles, nu doar fețele laterale sunt asemenea, ci chiar și bazele celor două piramide, adică podelele lor, precum și triunghiurile corespunzătoare care conțin înălțimile celor două piramide surori. Așadar, atât laturile bazelor sunt proporționale, cât și înălțimile piramidelor sunt proporționale în același raport de asemănare. Mai exact, dacă notăm cu minuscule laturile corespunzătoare ale piramidei mici și cu majuscule laturile piramidei mari, avem că $$\frac{l}{L}=\frac{h}{H}=k.$$

Acum e momentul să ne amintim de o altă cunoștință precedentă necesară pentru calculele noastre: dacă două triunghiuri (și, în consecință, două figuri plane oarecare) sunt asemenea și au raportul de asemănare egal cu $k$, atunci și ariile lor sunt proporționale, iar raportul lor este $k^2$. Acest fapt ne va permite să deducem că raportul de asemănare este tocmai radicalul raportului dintre ariile podelelor și ne vom apropia astfel de formula volumului trunchiului de piramidă. 

Pentru aceasta, vom nota cu $a$ aria podelei mici (podeaua roșie) și cu $A$ aria podelei mari (podeaua albastră). Cu aceste notații, putem scrie $$\frac{h}{H}=\sqrt{\frac{a}{A}}.$$ 

Desigur, $h$ este aici înălțimea piramidei mici, adică este numărul care ne arată cât de înaltă este piramida mică, deci ne arată câți centimetri sunt pe verticală de la podeaua piramidei mici până la vârful acesteia, iar $H$ este înălțimea piramidei mari. Din aceste două înălțimi putem afla ușor cât este înălțimea trunchiului de piramidă, pe care o notăm cu $d$ (de la distanța dintre cele două podele): $$d=H-h.$$

Așadar, cât este volumul trunchiului de piramidă (notat cu $V_t$)? Este volumul piramidei mari (notat cu $V$) minus volumul piramidei mici, notat cu $v$. Deci, $$V_t=V-v.$$ 

De aici încolo ne mai amintim cât este volumul unei piramide, iar restul este calcul algebric. Dar volumul unei piramide este o treime din volumul prismei cu aceeași bază și înălțime, adică volumul piramidei mari este $$V=\frac{A\cdot H}{3},$$ iar al piramidei mici este $$v=\frac{a\cdot h}{3}.$$

Drept urmare, volumul trunchiului de piramidă va fi $$V_t=V-v=\frac{AH}{3}-\frac{ah}{3}=\frac{AH-ah}{3}.$$ Acum, în această formulă am dori să dispară înălțimea piramidei mari și a celei mici și am dori să apară înălțimea trunchiului de piramidă pentru că înălțimile piramidelor nu sunt parametri importanți, ci secundari, care nu prea ni se dau în probleme atunci când ni se cere volumul trunchiului. Mult mai importantă și mai relevantă este înălțimea trunchiului în asemenea probleme, așa că dorim ca formula noastră să conțină doar înălțimea trunchiului (și ariile podelelor), nu înălțimile piramidelor. Cum să procedăm ca să dispară $H$ și $h$ din formulă?

Ne folosim de cunoștințele precedente, materializate prin relațiile de mai sus: $$\frac{h}{H}=\sqrt{\frac{a}{A}}$$ și $$d=H-h.$$ Cum, într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor, obținem că $$h=H\sqrt{\frac{a}{A}}.$$ 

Astfel, scăpăm pentru început de $h$, căci peste tot unde vom găsi $h$ îl vom putea înlocui cu $H\sqrt{\frac{a}{A}}$. Mai exact, avem că $$d=H-H\sqrt{\frac{a}{A}}=H\left(1-\sqrt{\frac{a}{A}}\right).$$ Dar de aici îl putem scoate pe $H$ în funcție de $d$ și astfel vom scăpa și de $H$. Mai exact, după amplificarea cu $\sqrt{A}$, avem că $$H=\frac{d}{1-\sqrt{\frac{a}{A}}}=\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Atunci, $$h=H\sqrt{\frac{a}{A}}=\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}\sqrt{\frac{a}{A}}=\frac{d\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Se observă deja o oarecare simetrie. Numitorii celor două înălțimi sunt aceiași, iar numărătorii depind de radicalul ariei mari sau mici, după cum este și înălțimea mare sau mică. Cu această realizare, am scris înălțimile piramidelor în funcție de parametrii importanți ai trunchiului de piramidă.

Deci de-acum suntem boieri, căci acum avem cu ce să-l înlocuim atât pe $h$, cât și pe $H$. Atunci, formula volumului trunchiului de piramidă va deveni $$V_t=\frac{AH-ah}{3}=\frac{A\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}-a\frac{d\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}}{3}.$$

Aici putem scoate factorul comun $\frac{d}{3}$. Atunci, formula devine parcă mai compactă: $$V_t=\frac{d}{3}\left(\frac{A\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}\right).$$

Și cum numitorii sunt aceiași, mai putem scrie $$V_t=\frac{d}{3}\frac{A\sqrt{A}-a\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Aoleu! Ce formulă-i asta?! Păi, nu trebuia să obținem formula de la început, adică $$V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right)?$$

Stați așa, nu vă grăbiți! Ajungem și la formula de început dacă vom observa că $A\sqrt{A}=\sqrt{A^3}=\left(\sqrt{A}\right)^3$ și, respectiv, $a\sqrt{a}=\sqrt{a^3}=\left(\sqrt{a}\right)^3$. Haideți să notăm pe $\sqrt{A}$ cu $x$, iar pe $\sqrt{a}$ cu $y$, ca să ne fie mai ușor să observăm ceva. Cu aceste notații, am obținut că formula volumului trunchiului de piramidă este $$V_t=\frac{d}{3}\frac{x^3-y^3}{x-y}.$$

Ei bine, iar acum ne trebuie ultima „cunoștință precedentă” ce constă în formula de calcul prescurtat $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$ valabilă pentru $x\neq y$. Cu această formulă, putem scrie că volumul trunchiului este $$V_t=\frac{d}{3}\frac{x^3-y^3}{x-y}=V_t=\frac{d}{3}\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}.$$

Dar acum putem simplifica cu $x-y$, căci podeaua de sus nu este la fel de mare ca podeaua de jos, ci au arii diferite, deci $x-y$ nu este zero (cu zero nu putem face simplificări, căci $\frac{0}{0}$ este o nedeterminare). Așadar, formula volumului trunchiului devine $$V_t=\frac{d}{3}\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}=\frac{d}{3}(x^2+xy+y^2).$$

Iar dacă ținem seama că am notat cu $x$ pe $\sqrt{A}$ și cu $y$ pe $\sqrt{a}$ și cum $\left(\sqrt{A}\right)^2=A$, obținem că $$V_t=\frac{d}{3}(x^2+xy+y^2)=\frac{d}{3}\left(A+\sqrt{A}\sqrt{a}+a\right),$$ adică tocmai formula de la început: $$\color{red}{V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right)}.$$

În sfârșit!

Ei, nu-i așa că mai bine faceți un mic efort să o însușiți, decât să vă apucați de asemenea calcule pentru a v-o reaminti când aveți nevoie?

Observați că această formulă finală (deci, fără numitor) este valabilă și pentru cazul când cele două „podele” devin egale, adică $a=A$, caz în care trunchiul de piramidă devine o prismă. E suficient ca, în loc de $a$ să puneți $A$ și veți obține volumul prismei dat de $V_p=dA$. Totodată, această formulă este valabilă și pentru cazul când podeaua de sus devine mică, mică de tot, chiar zero, caz în care trunchiul se transformă în piramidă. Altfel spus, dacă știți volumul trunchiului de piramidă, atunci știți și volumul prismei și volumul piramidei.

O mică recapitulare: pentru a deduce formula volumului trunchiului de piramidă, am avut nevoie de teorema lui Thales, apoi de faptul că raportul de asemănare este radicalul raportului ariilor, ne-a mai trebuit formula volumului pentru o piramidă, iar în final am folosit formula de calcul prescurtat a diferenței cuburilor.

Prima sesiune de probleme

În articolele de acest gen voi prezenta rezolvarea problemelor pe care le propuneți voi înșivă prin comentariile voastre din subsolul articolelor. 

Așadar, comentați voi la acest articol, adăugând lincuri spre o problemă de bacalaureat sau de evaluare națională pe care doriți să o găsiți aici rezolvată.

Problema trebuie să fie bine formulată, ca să fie pe înțelesul meu (considerați că nu sunt atât de deștept încât să vă pot citi gândurile, deși nu este exclus asta întotdeauna :)  ). 

Felicitări pentru diagramă!

Vreau să-l felicit cu această ocazie pe autorul diagramei buclucașe care a dus la scandalul recent în legătură cu problema 6.

Dacă numărul elevilor ar fi fost pe orizontală, ar fi însemnat că în acea clasă sunt în total 3+4+5+6+7+8+9+10 elevi. Unde ați văzut voi clase atât de mari? În schimb, dacă numărul elevilor este pe verticală, atunci clasa are 1+2+3+6+7+5+3+3 elevi; mult mai plauzibil.

De asemenea, ar fi însemnat că 3 elevi au luat nota 1 și nici un elev n-a luat notă mai mare de 7. Absurd și asta.

Sau încă, și mai absurd: dacă numărul elevilor ar fi fost pe orizontală, atunci cum s-ar fi putut stabili câți elevi au luat nota 3? Nicicum.

În fine, dacă notele ar fi fost pe verticală, ar fi însemnat că există și nota zero, ceea ce contravine regulamentelor (pe care elevii ar trebui să le cunoască).

Iată, deci, patru modalități prin care ar fi putut raționa fără dubii un elev care ar fi vrut să dea un răspuns corect.

Tabelul trigonometric, versiunea blog

Acest articol este versiunea blog a celuilalt articol în care m-am folosit de Google Docs.

În acest articol doresc să vă fac să înțelegeți (și astfel să rețineți) odată pentru totdeauna cele mai importante valori trigonometrice din primul cadran. Primul cadran înseamnă primul sfert din cercul trigonometric (în ordine trigonometrică). Mai jos puteți vedea cadranele unui cerc trigonometric.

Compararea puterilor

Dacă vi s-ar cere să comparați numărul $2$ cu numărul $3$, problema ar fi extrem de simplă și ați răspunde automat că $2<3$.

Mai departe, dacă, fiind elevi de gimnaziu (când încă nu ați învățat complicații legate de puteri cu baze fracționare) vi s-ar cere să comparați $2^\color{red}{5}$ cu $3^\color{red}{5}$, din nou, răspunsul nu ar fi greu de dat, din moment ce exponentul puterilor ce trebuie comparate este același.

În fine, dacă bazele puterilor ar fi aceleași, din nou ar fi simplu să comparăm cele două puteri. De exemplu, putem compara ușor $\color{blue}{5}^2$ cu $\color{blue}{5}^3$, prin simpla comparare a lui $2$ și $3$.