Prima problemă din politestul-fulger de clasa a IX-a, generat în 29 august

În cele ce urmează ne vom ocupa de un politest-fulger din imaginea de mai jos, în care vedeți o listă cu 9 probleme, prima de clasa a cincea și apoi câte două din fiecare clasă până într-a noua inclusiv. Baza de itemi acoperită are 938 de elemente momentan, iar politestul apărut ar trebui să poată fi rezolvat în 270 de secunde.

Prima problemă, de clasa a cincea, ne spune că „Segmentul LH are lungimea de 8 cm, segmentul HV are lungimea de 50 mm, iar punctele H, V și L sunt coliniare în această ordine. Ce lungime are segmentul VL?”.

Dacă punctele H, V și L sunt coliniare în această ordine, atunci suma segmentelor mici trebuie să ne dea exact segmentul mare. Mai concret, 

$$HV+VL=HL.$$

Așadar, elevul de clasa a cincea care întâlnește această problemă trebuie să înțeleagă enunțul, să își amintească ce înseamnă coliniaritatea celor trei puncte și ce consecință metrică are această coliniaritate. Desigur că în 60 de secunde se poate realiza aceasta.

Urmează atunci o simplă înlocuire, în care ținem seama că segmentul $HL$ are aceeași lungime cu segmentul $LH$, astfel că relația precedentă devine:
$$HV+VL=HL\Longrightarrow 50\, \text{mm}+VL=8\,\text{cm}.$$

Următoarea etapă de rezolvare a problemei este transformarea unităților de măsură pentru a putea omogeniza relația, formă în care vom putea calcula lungimea lui VL. Căci, un elev superficial care s-ar grăbi să facă asemenea calcule fără să țină seama de faptul că unitățile de măsură sunt diferite, ar ajunge la un rezultat aberant și anume ar fi nevoit să facă scăderea $8-50$ care l-ar duce la un rezultat număr negativ.

Așadar, contează mult unitatea de măsură. O valoare numerică singură, fără unitatea de măsură asociată nu ne dă nicio informație despre lungimea segmentelor. Numai ansamblul celor două ne poate da precizia de care este nevoie.

Atunci trebuie să transformăm centimetri în milimetri sau milimetri în centimetri. Alegem ultima variantă. Cum 50 de milimetri înseamnă 5 centimetri, relația noastră devine acum omogenă:

$$50\, \text{mm}+VL=8\,\text{cm}\Longrightarrow 5\, \text{cm}+VL=8\,\text{cm}.$$

Din această ultimă relație rezultă că 
$$VL=8\,\text{cm}-5\,\text{cm}=\color{red}{3\,\text{cm}}.$$

Ultima problemă din testul generat automat în 5 august

A noua problemă, deci ultima, ne cere să găsim cel mai mic număr natural din intervalul (-7; 4]. Cu puțină atenție, elevul nu va confunda cerința. Căci, în timp ce un elev neatent ar putea crede că răspunsul este $-6$, elevul vigilent va observa că se cere numărul care trebuie să fie natural, nu întreg. 

Și cum numerele naturale nu sunt negative, cel mai mic număr natural posibil este numărul $0$. Și cum acest număr se regăsește în intervalul dat, răspunsul final va fi, desigur, $\color{red}{0}$.

Problema 8 din testul precedent, geometrie cu teorema medianei principale și a unghiului de 30

A opta problemă din test, de geometrie, ne spune că avem cateta mică de 14 cm și se cere distanța de la vârful unghiului mic la suportul medianei principale. Oare putem rezolva problema în 45 de secunde?

Elevul harnic va schița repede un desen de genul:

Acest desen este justificat de două teoreme importante pe care le-a învățat deja elevul isteț de clasa a șaptea: teorema unghiului de 30 de grade (care poate fi înlocuită și de funcțiile trigonometrice) și teorema medianei principale (cea corespunzătoare ipotenuzei).

Mai precis, elevul care știe ce este mediana corespunzătoare ipotenuzei va pregăti dreapta roșie, căci aceasta conține mediana care pornește din vârful unghiului de 90 de grade și se duce pe mijlocul M al ipotenuzei.

De asemenea, dacă știe ce înseamnă distanță de la un punct la o dreaptă, va duce frumos o perpendiculară (albastră) pe dreapta roșie din vârful unghiului mic, de 30 de grade, așa cum cere problema. 

Cu desenul făcut își va aminti că triunghiul dreptunghic special (Timaios) care are un unghi de 30 de grade este un triunghi cu proprietăți minunate (iar pentru studiul acestui triunghi are un echer cu un unghi de 30 de grade). Mai exact, își va aminti teorema unghiului de 30 de grade care spune că într-un asemenea triunghi dreptunghic special (ce cu unghiul de 30 de grade) ipotenuza este dublul catetei mici. 

Cunoscând ipotenuza și cateta mică, el poate determina cu teorema lui Pitagora lungimea catetei mari. Sau, dacă este și mai isteț, el poate reține că lungimea catetei mari în triunghiul acesta minunat este ca și a celei mici, doar că îi mai lipim un radical din trei. Sau, dacă îi plac funcțiile trigonometrice, va putea afla direct cateta mare din cateta mică cu ajutorul funcției tangentă de 30 de grade care este raportul dintre cateta opusă unghiului de 30 de grade (cea mică în cazul nostru) și cateta alăturată (cea mare).

Odată ce a găsit lungimea catetei mari, elevul nostru va trebui să-și amintească teorema medianei principale care îi va spune că în orice triunghi dreptunghic (nu doar în cel cu un unghi de 30 de grade) mediana corespunzătoare ipotenuzei este și ea jumătate din ipotenuză, ceea ce înseamnă că triunghiul AMB este isoscel, deci și unghiul BAD este de 30 de grade, deci și în triunghiul BAD poate folosi teorema unghiului de 30 de grade, deci cateta mică din acest triunghi, adică BD va fi jumătate din ipotenuza triunghiului BAD, care ipotenuză este acum AB, adică fosta catetă mare din triunghiulABC, a cărei lungime a găsit că este $14\sqrt{3}$. 

Și cum jumătate din $14\sqrt{3}$ este $\color{red}{7\sqrt{3}}$, elevul care știe dinainte, fără să clipească, toate aceste lucruri, poate finaliza rezolvarea într-un timp rezonabil, din câteva priviri ale desenului făcut corect.

Problema 6 din testul-fulger: calculează $\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}$

Pentru a face calculul cerut de problema 6 în 60 de secunde

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}$$

va trebui să aducem la o formă mai simplă expresia, așa cum spuneam la problema 4 deja rezolvată. Dar, de data aceasta, numitorul acestei fracții urâte este oarecum mai complicat, căci are o adunare și ar însemna că raționalizarea numitorului acestei fracții ar fi ceva mai laborioasă decât a fost la problema 4.

Rezolvarea cu factorul comun

Mai bine, dacă aruncăm o privire la numărătorul fracției (partea de sus), constatăm că acolo se află radicalul $\sqrt{98}$ pe care elevul cu experiență știe că trebuie să-l modifice puțin, adică „să scoată factorul de sub radical”, căci numărul 98 nu este „liber de pătrate”, în el ascunzându-se pătratul perfect $49$. Așadar, din $\sqrt{98}$ putem să facem $$\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=\sqrt{49}\cdot\sqrt{2}=7\sqrt{2}.$$

Cu această observație, fracția noastră devine acum 
$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{21+7\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}.$$

Acum numărătorul are o poveste fascinantă, care ne va permite să rezolvăm mai repede problema decât am fi rezolvat-o dacă porneam pe drumul raționalizării. Mai exact, expresia $21+7\sqrt{2}$ ne permite să dăm factorul comun pe $7$, deoarece $21=7\cdot 3$. Atunci calculul nostru devine mult mai interesant:

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{21+7\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{7(3+\sqrt{2})}{3+\sqrt{2}}.$$

Sunt convins că acum ați observat deja magia calculului care urmează: putem simplifica cu $\color{blue}{3+\sqrt{2}}$! Yuuuuppppiiii! Ce simplu a fooost! Așadar, simplificând obținem 

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{21+7\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{7(\color{blue}{3+\sqrt{2}})}{\color{blue}{3+\sqrt{2}}}=\frac{7}{1}=\color{red}{7}.$$

Rezolvarea cu raționalizarea

Desigur, dacă am fi urmat drumul raționalizării înainte să observăm că se naște factorul comun ce ne va permite simplificarea, am fi ajuns la aceeași valoare, căci Matematica este coerentă, doar că ne-ar fi purtat pe căi mai întortocheate. Iată cam ce însemna raționalizarea numitorului, deci amplificarea cu conjugata.

Știm că atunci când avem o sumă (sau diferență) cu radicali la numitor, putem amplifica fracția cu așa-numita „expresie conjugată”, adică exact aceeași expresie care se regăsește deja la numitor, doar că cu semnul schimbat (dacă este sumă, amplificăm cu diferența, iar dacă e diferență amplificăm cu suma).

Atunci, făcând amplificarea și muncind cu răbdare pentru a desface apoi parantezele prin înmulțirea termenilor corespunzători, avem

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{(3-\sqrt{2})(21+\sqrt{98})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}=$$

$$=\frac{63+3\sqrt{98}-21\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{98}}{9-2}.$$

Observați că pentru numitor am folosit formula de calcul prescurtat care spune că $$\color{red}{(a-b)(a+b)=a^2-b^2},$$ adică $(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})=3^2-(\sqrt{2})^2=9-2$.

Apoi, ocupându-ne de numărător și observând că $3\sqrt{98}=3\cdot 7\sqrt{2}=21\sqrt{2}$, care se va reduce cu $-21\sqrt{2}$ și observând că produsul acela de radicali va da $\sqrt{2}\sqrt{98}=\sqrt{196}=14$, calculul nostru devine atunci 

$$\frac{63+3\sqrt{98}-21\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{98}}{9-2}=\frac{63-14}{7}=\frac{49}{7}=\color{red}{7}.$$

O groază de lucru cu raționalizarea asta, dar măcar tot i-am dat de capăt și am ajuns la același rezultat.

Problema 5 din testul-fulger recent

Problema 5 ne spune că într-o parcare sunt automobile și biciclete, în total 17 vehicule și 44 de roți. Ne cere numărul de biciclete. Rezolvarea ar putea dura în mod normal vreo 60 de secunde, dar nu este exclus să se poată rezolva și mai repede.

Metoda mai veche a elevului de clasa a cincea: metoda falsei ipoteze

Cum procedăm? În ultimă instanță, problema ar putea fi rezolvată chiar și de către un elev bun de clasa a cincea, prin metoda falsei ipoteze, adică acea metodă în care presupunem ceva chiar dacă ar fi absurd și tragem concluziile care se impun. 

De exemplu, am putea presupune că toate vehiculele ar fi biciclete. Atunci am obține prea puține roți. Mai exact, dacă vehiculele ar fi numai biciclete, cum ele au doar câte două roți, ar însemna că totalul de 17 vehicule, deci de 17 biciclete, ne aduce doar $17\cdot 2=34$ de roți. Ori problema spune că sunt 44 de roți, deci cu $44-34=\color{blue}{10}$ roți mai mult decât în realitate. Înseamnă că acele 10 roți în plus se datorează automobilelor care au, de regulă, patru roți, adică cu $4-2=\color{green}{2}$ roți în plus față de biciclete. Ar rezulta că automobile sunt de fapt $\frac{\color{blue}{10}}{\color{green}{2}}=5$ și doar $17-5=\color{red}{12}$ biciclete.

La același rezultat ajungem și dacă facem o altă presupunere absurdă, de exemplu că toate sunt automobile. Atunci am avea $17\cdot 4=68$ de roți, adică cu $68-44=24$ mai mult decât în realitate, ceea ce înseamnă că cele $24$ de roți în minus se datorează diferenței de roți $4-2=2$ provenite de la biciclete.

Observați că metoda falsei ipoteze presupune, de regulă două scăderi și o împărțire. Desigur, metoda putea fi aplicată la orice presupunere. Chiar dacă am fi presupus că sunt 16 automobile și o singură bicicletă, am fi ajuns la concluzia corectă. 

Metoda modernă a elevului de clasa a șaptea: metoda sistemului

Dar, desigur, elevul de clasa a șaptea are o metodă mult mai modernă făcând un sistem frumos pe care să-l rezolve. Notând cu $a$ numărul automobilelor și cu $b$ cel al bicicletelor, elevul de clasa a șaptea va scrie sistemul:

$$\begin{cases}
\,\,\,a+\,b&=17\\
4a+2b&=44
\end{cases}$$

și va rezolva acest sistem cu metoda reducerii. Mai exact, va amplifica, de exemplu, prima relație cu $(-4)$ ca să elimine automobilele și va obține

$$\begin{cases}
-4a-4b&=-68\\
\,\,\,\,4a+2b&=\,\,44
\end{cases}.$$

Adunând apoi cele două linii ale sistemului, i se vor reduce automobilele și va rămâne cu ecuația simplă $$-2b=-24,$$ care ne duce, desigur, la răspunsul final, $$\color{red}{b=12}.$$

A patra problemă din testul-fulger: calculează $\frac{4}{\sqrt{8}}$

O problemă de 10 secunde ne cere să calculăm $\frac{4}{\sqrt{8}}$.

Ce înseamnă în acest context „a calcula”? Înseamnă a aduce la o formă și mai simplă, făcând diverse calcule care ne-ar putea apropia de o asemenea formă. De exemplu, din $\sqrt{8}$, scoțând factorul posibil, noi putem obține ceva mai interesant și anume $2\sqrt{2}$.

De aceea, avem mai departe că $$\frac{4}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}.$$

Apoi, simplificând cu 2, obținem $$\frac{4}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}.$$

În fine, cum numărul $2$ se poate scrie și ca $2=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$, simplificând apoi cu $\sqrt{2}$, rezultă că avem
$$\frac{4}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\color{red}{\sqrt{2}},$$

ceea ce reprezintă rezultatul final al calculului dorit.

Completează punctele de suspensie: $x^2+\dots+16=(x+4)^2$

Problema 3 din testul de clasa a șaptea generat în 5 august ne cere să completăm în 5 secunde punctele de suspensie în cazul următor: $$x^2+\dots+16=(x+4)^2$$

Elevul care cunoaște formula de calcul prescurtat $$\color{red}{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2},$$ va realiza repede că poate fi aplicată și în cazul în care $a=x$, respectiv $b=4$. Atunci el va face o evaluare mentală rapidă și va scrie în minte că 

$$(x+4)^2=x^2+2\cdot x\cdot 4+4^2=x^2+8x+16.$$

Cum egalitatea este simetrică, dacă $ceva=altceva$, atunci și reciproc, $altceva=ceva$. Astfel, dacă $(x+4)^2=x^2+8x+16$, atunci și $$x^2+\color{red}{8x}+16=(x+4)^2.$$ Dar ultima relație ne scoate în evidență tocmai termenul care lipsea în punctele de suspensie, adică $$\color{red}{8x}.$$

Astfel, dacă veți reține formulele de calcul prescurtat, cu certitudine veți putea rezolva rapid asemenea problemuțe drăguțe.

Problema 2 din testul de clasa a șaptea generat automat în 5 august 2021

Lucrăm în continuare pe testul precedent, de data aceasta la problema 2, de geometrie.

A doua problemă din test ne spune că triunghiurile AUL și ULA sunt asemenea. Chiar dacă nu desenați aceste triunghiuri, din teorema fundamentală a asemănării rezultă o egalitate frumoasă de trei rapoarte pe care le puteți scrie privind ordinea literelor date în formularea asemănării (ordinea literelor este crucială).

Mai precis, dacă triunghiurile AUL și ULA sunt asemenea, înseamnă că, din teorema fundamentală a asemănării (notată uneori prescurtat cu TFA), o teoremă foarte puternică și bogată în consecințe, rezultă următoarele egalități, care exprimă raportul de asemănare k: 

$$\frac{AU}{UL}=\frac{AL}{UA}=\frac{UL}{LA}=k.$$

Aceste rapoarte conțin la numărător litere din primul triunghi, iar la numitor literele corespunzătoare ordinii lor, din al doilea triunghi. De exemplu, primul raport este format cu primele două litere din primul triunghi supra primele două litere din al doilea triunghi.

Din aceste rapoarte, cum $AU=UA$, deci ordinea literelor nu contează, rezultă astfel că:

$$AU=kUL,$$

$$AL=kAU=k(kUL)=k^2UL$$

și

$$UL=kAL=k(k^2UL)=k^3UL.$$

Din ultima relație obținem că valoarea lui k nu poate fi decât 1. Așadar, în fine, $AU=1\cdot UL=1\cdot AL$, ceea ce denotă că triunghiul dat este echilateral, așa cum apare în dreptul răspunsurilor.

Aceasta este demonstrația riguroasă, dar intuiția unui rezolvitor de probleme de geometrie de clasa a șaptea îi permite acestuia să se încadreze în timpul necesar obținerii punctajului maxim (deci în 20 secunde).

Problema 1 din test clasa a șaptea, generat automat în 5 august 2021

Lucrăm azi pe testul

Prima problemă din test ne cere să comparăm numărul $12\sqrt{2}$ cu 17 și să stabilim care este cel mai mare dintre ele. Desigur, având în vedere că numărul $\sqrt{2}$ este un număr ciudat, cu o infinitate de zecimale, neperiodic, deci irațional, nu putem face o comparație clară, directă în forma brută pe care am primit-o, așa că va trebui să facem o mică transformare a celor două numere. Avem la dispoziție 20 de secunde (așa cum se vede în coloana timpului) să transformăm cele două numere în așa fel încât să semene mai mult, adică le vom pune pe ambele să apară sub radical, pentru că nu putem scăpa de radical. 

Atunci, vom, avea: $$12\sqrt{2}=\sqrt{12^2\cdot 2}=\sqrt{288}$$ pe de o parte și $$17=\sqrt{289}$$ de cealaltă parte. Așadar, avem de comparat numerele $\sqrt{288}$ cu $\sqrt{289}$, o sarcină mult mai ușoară acum. Deoarece 289 este mai mare decât 288, va rezulta că răspunsul la problemă este 17.