O integrală trigonometrică transformată într-o integrală polinomială

Să calculăm integrala

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\cos^3x dx$$

Integrala dată este o integrală trigonometrică, deoarece conține funcții trigonometrice. Pentru a o calcula vom face o magie, numită „schimbare de variabilă”. Schimbarea de variabilă este un fel de notație; mai exact, înlocuim o expresie urâtă cu o singură literă, cu speranța că integrala noastră va deveni mai simplă. 

Schimbarea noastră de variabilă va fi  

$$t=\sin{x}.$$ 

De unde am știut ce schimbare de variabilă să fac? Veți găsi răspunsul singuri, după ce veți înțelege finalul. Veți vedea de ce am anticipat modul în care se va transforma integrala.

Așadar, dacă admitem că facem schimbarea de variabilă  $t=\sin x$, atunci trebuie să admitem că se vor schimba și limitele de integrare corespunzător. Mai exact, dacă integrala inițială trebuia calculată de la $0$ la $\frac{\pi}{2}$, noua integrală va trebui calculată de la $\sin 0$ la $\sin{\frac{\pi}{2}}$, adică, de la $0$ la $1$.

Mai mult, dacă integrala inițială conținea litera $x$, această litera va trebui să dispară complet din noua integrală și în locul ei va apărea cumva noua literă $t$. Pentru ca această schimbare să reușească complet este necesară și înlocuirea particulei „$dx$” (numită „diferențială”), căci și această particulă conține litera $x$. Aceasta este una dintre cele mai grele sarcini, dar nu imposibilă. Așadar, să vedem cum procedăm.

Dacă $t=\sin x$, atunci $t$ devine o nouă funcție care depinde de variabila $x$, pe care o putem deriva în raport cu variabila $x$ pentru a descoperi cum vom obține noua diferențială. Cum derivata funcției sinus este funcția cosinus, vom avea că 

$$t'=\cos x,$$

 ceea ce înseamnă că puteți înlocui în integrala veche produsul „$\color{blue}{\cos x dx}$” cu diferențiala nouă „$\color{blue}{dt}$”. În general, această regulă de schimbare a diferențialei este că produsul „$t'dx$” devine simplu „$dt$”.

Zis și făcut. Acum, descompunând produsul $\cos^3 x$ în $\cos^2 x\cos x$, pentru a putea evidenția mai bine produsul „$\color{blue}{\cos x dx}$” și amintindu-ne că din teorema fundamentală a trigonometriei rezultă că putem înlocui $\color{green}{\cos^2 x}$ cu $1-\sin^2 x=\color{green}{1-t^2}$, vom putea rescrie integrala noastră astfel: 

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\cos^3x dx=$$

$$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\color{green}{\cos^2 x}\color{blue}{\cos x dx}=$$

$$\int_0^1 t^4 \color{green}{(1-t^2)} \color{blue}{dt}.$$

Această ultimă integrală se calculează mai ușor decât integrala inițială, căci este o integrală polinomială. Mai exact, folosindu-ne de o formulă de integrare pe care o găsim în tabele, 

$$\color{red}{\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C},$$

prin desfacerea parantezei putem scrie integrala noastră mai simplu ca fiind

$$\int_0^1 t^4(1-t^2) dt=$$

$$=\int_0^1 t^4-t^6 dt=$$

$$=\int_0^1 t^4 dt-\int_0^1 t^6 dt=$$

$$=\left.\frac{t^5}{5}\right|_0^1-\left.\frac{t^7}{7}\right|_0^1=$$

$$=\frac 1 5-\frac 1 7=\frac{7-5}{35}.$$

Desigur, cei mai grăbiți, care vor și pot să beneficieze de avansul tehnologic al omenirii, pot accesa direct linkul corespunzător de la wolframalpha și obțin rezultatul calculului pentru integrala inițială în câteva secunde.

Integrale importante cu $e^x$

Haideți să clarificăm o dată pentru totdeauna cum e cu niște integrale importante, de genul $$\int(x+7)e^xdx,$$ care apar foarte des în probleme.

Voi începe chiar cu răspunsul, ca să mă puteți urmări mai bine, ca să știți la ce să vă uitați mai atenți în decursul raționamentelor.

Avem următoarea șmecherie faină: $$\int(x+\color{red}{7})e^xdx=(x+\color{blue}{6})e^x+constanta.$$

Observați că la rezultat scădem o unitate în paranteză.

Dacă am calcula derivata, atunci ar trebui să adunăm o unitate, căci am avea $$\left[(x+\color{blue}{7})e^x\right]^\prime=(x+\color{red}{8})e^x.$$ Integrala este antiderivata.

Și să vă arăt cum puteți redescoperi prin calcul această regulă, în ipoteza în care ați uitat-o exact în mijlocul unui examen. Integrala se calculează prin părți. Avem așa: $$\int(x+7)e^xdx=\int(x+7)(e^x)'dx,$$ căci în loc de $e^x$ putem pune oricând $(e^x)'$, aceasta fiind funcția remarcabilă care nu se schimbă nici prin derivare și nici prin integrare (bine, abstracție făcând de acea constantă pe care o putem aduna la integrare).

Așadar, $$\int(x+7)e^xdx=\int(x+7)(e^x)'dx.$$

Acum aplicăm integrarea prin părți, despre care știm că are forma $$\int fg'=fg-\int f'g.$$ Deci $$\int(x+7)(e^x)'dx=(x+7)e^x-\int(x+7)' e^xdx.$$ Dar $(x+7)'=1$, iar $1\cdot e^x=e^x$. Astfel, avem atunci $$\int(x+7)(e^x)'dx=(x+7)e^x-\int e^xdx=(x+7)e^x-e^x+constanta.$$ Aici nu ne rămâne decât să mai dăm un factor comun pe $e^x$ ca să nu-l scriem de două ori și avem $$(x+7)e^x-e^x=(x+7)e^x-1\cdot e^x=(x+7-1)e^x=(x+6)e^x.$$ Acum înțelegeți, deci, de ce $$\int(x+\color{red}{7})e^xdx=(x+\color{blue}{6})e^x+constanta.$$


De-acum înainte, dacă veți întâlni integrale de genul $$\large{\color{red}{\int(x+n)e^xdx}},$$ voi veți ști că rezultatul este $$\large{\color{red}{(x+n-1)e^x+C}}.$$

De exemplu, dacă primiți integrala faină de tot și foarte frecventă $$\int xe^xdx,$$ voi îi puteți afla foarte repede rezultatul deoarece o puteți scrie rapid sub forma $$\int xe^xdx=\int(x+0)e^xdx$$ și, conform regulii de mai sus, obținem $$(x+0-1)e^x=(x-1)e^x,$$ plus constanta.

Calculați $\int\ln(x+3)dx$ (desigur, pe domeniul de definiție subînțeles, adică pe $(-3,\infty)$).

Când primim de calculat o integrală, ne gândim desigur cam ce metode cunoaștem pentru a calcula integrale. Oare această integrală se calculează „prin părți” sau cu „u” sau cu alte artificii? Habar n-avem. Pentru început, habar n-avem. Un lucru e sigur: integrala dată nu este deja în tabel, așa că va trebui să-i venim cumva de hac.

Ne apucăm să încercăm „prin părți”. La prima vedere, nici vorbă! Această integrală nu poate fi calculată prin părți! Căci, pentru a o putea calcula prin părți, ar trebui să avem sub integrală un produs de două funcții, dintre care una să fie o derivată, deci ori $\int f\cdot g'$, ori $\int f'\cdot g$.

Desigur, noi avem sub integrală o singură funcție, $\ln(x+3)$, nu două. Înseamnă că încercarea noastră de a o calcula prin părți a eșuat? Nicidecum! Din fericire, în loc de $ceva$ putem scrie întotdeauna $1\cdot ceva$. A apărut $1$ acolo, ca din senin, ca să ne ajute pe noi să putem scrie funcția noastră ca un produs de două funcții.

Ok. Deci integrala noastră devine acum $$\int\ln(x+3)dx=\int 1\cdot\ln(x+3)dx.$$ Parcă sună altfel acum.

Hmmm... Mai trebuie să aducem conținutul integralei la o formă care să conțină ceva derivat. O fi greu oare asta? Nu, nici asta nu e greu. Căci în loc de $1$ putem să scriem $x'$ sau $(x+1)'$ sau chiar $(x+3)'$. Și iată că am obținut și derivata necesară.

Dar, vai! Totuși! Oare ce vom alege să punem în locul lui $1$, atunci? Vom pune $x'$ sau $(x+1)'$ sau $(x+3)'$? Pe ce criteriu alegem constanta pe care o vom pune lângă $x$? Pe criteriul experienței... Aveți libertatea să încercați să puneți întâi doar $x'$ în locul lui $1$, dar veți vedea că, la momentul oportun, veți ajunge într-o fundătură (nu veți mai putea simplifica), așa după cum veți înțelege mai jos.

Experiența ne spune că în locul lui $1$ trebuie să punem $(x+3)'$. Astfel, integrala noastră devine $$\int\ln(x+3)dx=\int 1\cdot\ln(x+3)dx=\int(x+3)'\ln(x+3)dx.$$ Această formă este numai bună de abordat prin părți, căci cunoaștem formula hiperutilizată $$\int f'g=fg-\int fg'.$$

Conform acestei formule, avem $$\int(x+3)'\ln(x+3)dx=(x+3)\ln(x+3)-\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx.$$ Mai rămâne să scăpăm și de a doua integrală, care, musai, trebuie să fie mai simplă (sau cel mult la fel de complicată) ca integrala de la care am pornit, altfel suntem pe un drum greșit, căci demersul de a o calcula prin părți este sortit eșecului.

Din fericire, integrala rezultată în urma aplicării formulei prin părți a devenit mai simplă decât integrala inițială, căci prin derivarea logaritmului după formula $$(\ln u)'=\frac{u'}{u},$$ acesta dispare și avem
$$\left[\ln(x+3)\right]'=\frac{(x+3)'}{x+3}=\frac{1}{x+3},$$ deci integrala a doua devine
$$\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx=\int(x+3)\frac{1}{x+3}dx.$$

Dar $$(x+3)\frac{1}{x+3}=\frac{x+3}{x+3}=1.$$ Așadar $$\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx=\int(x+3)\frac{1}{x+3}dx=\int 1 dx=x,$$ plus constanta, desigur.

Culegând acest rezultat, îl punem în locul integralei din formula rezultată prin părți și obținem, în sfârșit,
$$\int\ln(x+3)dx=\color{red}{(x+3)\ln(x+3)-x+C}.$$

Ce credeți că s-ar fi întâmplat dacă în locul lui $3$ aveam $4$ sau $1$ sau orice alt număr ați vrea voi? De asemenea, acum observați de ce am ales să punem în locul lui $1$ tocmai pe $(x+3)'$ și nu altceva?

Mai observați că, având în vedere că în locul constantei putem pune orice număr, mai puteam scrie și $$\int\ln(x+3)dx=(x+3)\ln(x+3)-(x+3)+C.$$ Sau puteam da factor comun pe $(x+3)$ și obțineam $$\int\ln(x+3)dx=\color{red}{(x+3)[\ln(x+3)-1]+C}.$$.

Calculați $\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx$

Integrala $\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx$ poate fi calculată „cu $u$” sau „prin părți”.

Cu $u$

Pentru a o calcula „cu $u$” (deci, cu cea mai elegantă și eficientă metodă în cazul acestei integrale) găsim, bâjbâind, o funcție de $x$ aflată sub integrală, funcție pe care să o notăm prescurtat cu „$u$”.

Dacă suntem norocoși sau experimentați, notăm din prima $$u=\ln x.$$ Automat, calculăm și $$u'=\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}.$$ Toate acestea ne vor permite acum să constatăm că integrala noastră poate fi scrisă mai condensat, cu litera $u$, astfel: $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u'\cdot u^2 dx=\int u^2\cdot u' dx.$$

Apoi, ca să scăpăm chiar și de ultimul $x$ de sub integrală, ne folosim de legea de schimbare a diferențialei care ne spune că $u'dx$ poate fi înlocuit simplu cu $du$. Atunci, integrala noastră devine și mai elegantă $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u^2 du.$$ De aici încolo, calculul e floare la ureche. Ne amintim cât este $\int x^2 dx$ și punem același rezultat pentru orice altă literă pe care am dori s-o folosim în locul lui $x$, de data asta litera $u$.

Și cum $$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+C,$$ înseamnă că și $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}+C.$$

Acum, ne amintim că $u$-ul nostru este, de fapt, $\ln x$. Deci, avem un lanț frumos de egalități $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u^2 du=\frac{u^3}{3}+C=\color{red}{\frac{\ln^3 x}{3}+C}.$$

Prin părți

Dar să vedem „prin părți” ce se poate face. Ca să o putem calcula prin părți, trebuie să aducem integrala noastră la ceva de genul $\int f\cdot g'$ sau  $\int f'\cdot g$. Desigur, elevul care știe că $\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$, va înlocui fracția cu derivata logaritmului, deci va scrie integrala astfel: $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int\left(\ln x\right)'\ln^2 x dx.$$

De-acum, integrala are o formă cerută de formula de integrare prin părți, adică este de forma $\int f'g$. Iar noi știm că avem $$\int f'g=fg-\int fg'.$$ Pe această linie, integrala noastră devine $$I=\int\left(\ln x\right)'\ln^2 x dx=\ln x\cdot\ln^2 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx,$$ adică, $$I=ln^3 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx.$$

Mai trebuie să vedem cât este $$\left(\ln^2 x\right)',$$ deci cât este $$\left(ceva^2\right)'.$$ Pentru asta trebuie să vă amintiți dintr-a XI-a când ați învățat despre derivata funcției compuse , că avem $$\left(ceva^2\right)'=2\cdot ceva\cdot ceva'.$$

Și cum $ceva$-ul nostru este $\ln x$, înseamnă că $$\left(\ln^2 x\right)'=2\ln x\cdot\left(\ln x\right)'=2\ln x\frac{1}{x}.$$

Punând rezultatele laolaltă, avem că $$I=ln^3 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx=ln^3 x-\int\ln x\cdot 2\ln x\frac{1}{x}dx.$$ Haideți să scoatem constanta în fața integralei și să aranjăm puțin factorii încât să observăm ceva: $$I=ln^3 x-2\int\ln x\cdot\ln x\frac{1}{x}dx=ln^3 x-2\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx.$$

Dar acum observați?! După $2$ se află, din nou, tocmai integrala pe care trebuia s-o calculăm! Adică, am obținut $$I=\ln^3 x-2I.$$ De-acum, pentru a-l găsi pe $I$ procedăm ca și pentru a rezolva o ecuație cu $I$, deci ducem termenul $-2I$ din dreapta în stânga egalității (cu semn schimbat) și vom avea $$I+2I=\ln^3 x,$$ adică $$3I=\ln^3 x,$$ de unde rezultă din nou că $$\color{red}{I=\frac{\ln^3 x}{3}+C}.$$

Așadar, mai sus aveți două metode pentru a calcula integrala din enunț.

Calculați $\int(3x-7)^2 dx$.

Un elev care nu știe să folosească funcții compuse, va face eventual efortul de a desface paranteza de sub integrală și de a calcula mai apoi integrala fiecărui termen rezultat. Mai exact, folosindu-se de formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, el va face ceva de genul $$\int(3x-7)^2dx=\int (3x)^2-2\cdot 3x\cdot 7 +7^2 dx.$$ Așadar, $$\int(3x-7)^2dx=\int9x^2-42x+49dx.$$

Apoi, va desface integrala în trei integrale, conform proprietății $\int(f\pm g)=\int f\pm\int g$. Va obține atunci, sărăcuțul, după o groază de lucru, ceva de genul $$\int(3x-7)^2=\int 9x^2 dx-\int 42x dx+\int 49 dx.$$ Și încă tot nu a terminat, desigur. Gândiți-vă că de-acum trebuie să ia în parte fiecare dintre cele trei integrale, pentru a le calcula.

Să calculăm întâi integrala $\int 9x^2 dx$. Dacă ne amintim ușor, ne vom folosi de proprietatea că, atât la derivate, cât și la integrale constanta iese în față. Așadar, $$\int 9x^2 dx=9\int x^2 dx.$$ De-acum, fără acel $9$, integrala este una pe care o regăsim în tabel. Căci știm că $\int x^2 dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}$. Astfel, $$\int 9x^2 dx=9\frac{x^3}{3}=3x^3.$$

Apoi, vom avea că $$\int 42 x dx=42\int x dx=42\frac{x^2}{2}=21x^2.$$

În fine, $$\int 49 dx=49\int 1 dx=49x.$$

Punem acum rezultatele împreună și punem și constanta aceea plictisitoare, deci avem calculul integralei inițiale $$\int(3x-7)^2 dx=3x^3-21x^2+49x+c.$$

După o groază de lucru, elevul nostru a reușit să obțină rezultatul, pentru că a cunoscut formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ și pentru că a mai cunoscut că o constantă iese în față și a mai cunoscut cum se calculează o integrală dintr-o putere a lui $x$.



Dar, haideți să vedem cum ar fi procedat un alt elev, mai sârguincios, care știe să calculeze integrala unei funcții compuse. Privind mai lung la integrală, s-ar fi gândit dacă nu cumva ar putea s-o aducă la forma $$\int ceva' ceva^2 dx=\frac{ceva^3}{3}.$$ Observați că aici șmecheria este acel $ceva'$. Dacă sub integrală avem o funcție de $ceva$ și, pe lângă, îl mai avem și pe $ceva'$, atunci suntem cei mai fericiți, căci putem aplica formule de integrare pe care le știm deja din tabelul cu $x$.

Așadar, elevul nostru trebuie să stabilească întâi cine este acel $ceva$, după care să-l calculeze pe $ceva'$. Desigur, $ceva$-ul acestei integrale este, evident, $$ceva=3x-7.$$ Apoi, $$ceva'=(3x-7)'=(3x)'-7'=3x'-7'=3-0=3.$$

Dar, vai! Noi nu-l avem pe $3$ sub integrală și ne trebuie, căci numai atunci putem aplica formula aia frumoasă cu $\int ceva' ceva^2 dx=\frac{ceva^3}{3}$! Cum facem atunci? Păi, ne amintim că $$orice=1\cdot orice=\frac{3}{3}\cdot orice=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot orice.$$ Iată, deci, cum am reușit să îl aducem pe $3$ lângă orice vrem noi. În baza acestei șmecherii, vom avea $$\int(3x-7)^2 dx=\int\frac{1}{3}\cdot 3\cdot(3x-7)^2 dx.$$ Și cum constanta pe care vrem noi o putem scoate în față, mai obținem $$\int(3x-7)^2 dx=\frac{1}{3}\int 3\cdot(3x-7)^2 dx.$$

Dar acum, ceea ce a rămas sub integrală este tocmai de forma $$\int ceva'\cdot ceva^2 dx,$$ deci îl putem înlocui cu $$\frac{ceva^3}{3}.$$ Astfel, avem în final, $$\int(3x-7)^2 dx=\frac{1}{3}\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{(3x-7)^3}{9}+C,$$ care este o formă mult mai compactă decât cea pe care a găsit-o elevul precedent. Mai mult, această metodă este mult mai ușoară și mult mai generală, pentru că ea este aplicabilă și pentru exponenți mai ciudați. Cum ar fi procedat primul elev dacă în loc de exponentul $2$ al puterii de sub integrală i s-ar fi dat exponentul $30$? Ar fi desfăcut și acea paranteză? Desigur, nu, căci i-ar fi luat toată ora dedicată examenului.

Dar, oare, sunt egale cele două rezultate pe care le-au obținut cei doi elevi? Oare $$\color{blue}{\frac{(3x-7)^3}{9}+C=3x^3-21x^2+49x+c}?$$  Observați că în partea stângă a egalității constanta este $C$ mare, pe când în partea dreaptă avem $c$ mic, căci cele două constante nu sunt obligatoriu egale.

Vrem să verificăm, deci, dacă cele două rezultate sunt egale, ținând seama că în partea dreaptă constanta poate fi alta decât în partea stângă. Pentru asta, trebuie să știm cum ridicăm la puterea a treia un binom. Deci, ne folosim de formula $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$

Astfel, $$(3x-7)^3=(3x)^3-3\cdot(3x)^2\cdot 7+3\cdot (3x)\cdot 7^2-7^3,$$ mai exact $$(3x-7)^3=27x^3-189 x^2+441x-343.$$ Atunci $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{27x^3-189x^2+441x-343}{9}+C.$$ Dar, o fracție de mai mulți termeni poate fi transformată în mai mulți termeni cu fracții, dacă desfacem numărătorul după metoda $$\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}.$$ Atunci, $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{27x^3}{9}-\frac{189x^2}{9}+\frac{441x}{9}-\frac{343}{9}+C.$$ Împărțind cu $9$ ceea ce se poate împărți, obținem $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=3x^3-21x^2+49x-\frac{343}{9}+C.$$

Hmmm... Dar primul elev a obținut parcă altceva: $$3x^3-21x^2+49x+c.$$ Așa este. Deci, coincide doar partea care îl conține pe $x$ și nu coincide constanta.

Dar, cum spuneam, constanta aceea poate fi oricât! Deci, dacă numai constantele diferă, înseamnă că integrala este bine calculată. Căci două primitive distincte ale aceleiași funcții diferă numai printr-o constantă.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2c

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $(2n+3) I_{n+1} =2(n+1) I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 


Elevii care se consideră slabi nu mai ajung la acest subiect, renunțând și ieșind din sala de examen fără să mai încerce rezolvarea. În schimb, elevul căruia profesorul i-a sugerat mereu că mintea lui este sclipitoare nu se va gândi să abandoneze, ci dimpotrivă, chiar dacă e obosit după atâta muncă, el va încerca să rezolve și această problemă. 

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2b

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $I_{n+1} \leq I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 


Ca să demonstrăm o asemenea inegalitate de integrale ne folosim de monotonia integralei. Într-un articol precedent recent spuneam ceva important despre monotonie, spuneam că funcțiile crescătoare nu modifică semnul inegalității, pe când cele descrescătoare îl modifică.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2a

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Arătați că $I_1=\frac 2 3$.

Ce înseamnă $I_1$? Înseamnă tocmai $I_n$ în care punem în locul lui $n$ numărul $1$. Așadar, $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx.$$

Deci, avem de calculat integrala drăguță $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx=\int_0^1 1-x^2 dx. $$

Să se calculeze integrală din logaritm natural

Se cere, deci, să calculăm $$\int \ln x dx.$$ După ce vom termina integrala, o vom pune rapid în tabelul nostru, dar cu mențiunea că pentru aceste integrale ceva mai complexe nu este suficient să memorați rezultatul, ci trebuie să memorați și metoda.

Integrala cerută este un bun exemplu de integrală ce trebuie calculată PRIN PĂRȚI. Mai exact, trebuie să folosim una dintre formulele de integrare prin părți:

• $\int f\cdot g'=f\cdot g-\int f'\cdot g$
• $\int f'\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g'$

Dar, vai, sub integrala noastră există o singură funcție, nu două. Atunci cum putem aplica integrarea prin părți? Nicio problemă. Facem un artificiu. Scriem că $\ln x=1\cdot \ln x$, căci orice funcție poate fi considerată ca fiind unu ori funcția respectivă. Așadar, integrala noastră devine $$\int \ln x dx=\int 1\cdot \ln x dx.$$

Dacă știți integrala cu $x$, atunci știți și integrala cu $u$.

Să presupunem că știți o integrală oarecare cu $x$, de exemplu, știți că $$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}.$$ Această integrală este valabilă, orice literă am folosi în locul lui $x$. Așadar, dacă schimbăm aici doar litera $x$ cu litera $u$, n-ar trebui să se schimbe adevărul egalității. Așadar, avem și adevărul $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}.$$

Problema este că în noua integrală cu $u$ s-a schimbat și $dx$-ul în $du$, ceea ce face ca schimbarea noastră de literă să devină oarecum inutilă. Nouă ne-ar plăcea să facem o integrală cu $u$, dar în care să ne rămână $dx$-ul, pentru că nouă ni se cer integrale cu $dx$, nu cu $du$.

Rezolvarea problemei este simplă. Ne folosim de egalitatea remarcabilă prin care putem trece de la $du$ la $dx$ foarte ușor: $$\large{\color{red}{du=u'\cdot dx}}.$$ Această egalitate ne spune că integrala cu $du$ devine integrală cu $dx$, doar că mai trebuie să înmulțim cu $u'$.

Un alt exemplu

În articolul precedent v-am dat o metodă de calcul al unei integrale din tabel, cunoscând o derivată din tabel. Să mai luăm acum un exemplu. Să presupunem că știți din tabelul cu derivate faptul că $$\large{\color{green}{\left(a^x\right)'=a^x\ln a}}.$$

Conform primei reguli din celălalt articol, aplicăm integrala acestei egalități și obținem $$\int\left(a^x\right)'=\int a^x\ln a.$$ Apoi, conform celei de-a doua reguli, integrala și derivata dispar și rămâne $$a^x=\int a^x\ln a.$$

Mai departe urmează niște calcule banale în care ținem seama de faptul că $\ln a$ este o constantă pe care o putem scoate în fața integralei și obținem $$a^x=\ln a\int a^x.$$ Apoi aruncăm constanta $\ln a$ în partea din stânga egalității, caz în care ea ajunge la numitor, deci obținem $$\frac{a^x}{\ln a}=\int a^x.$$

Apoi rotim egalitatea, căci din $a=b$ putem deduce și $b=a$, deci avem în sfârșit $$\large{\color{red}{\int a^x=\frac{a^x}{\ln a}}}.$$

Ce ziceți, v-am convins acum că nu trebuie să memorați tot ceea ce întâlniți?

Cum? E prea stufos tabelul cu integrale? Aveți prea multe formule de reținut? Hmmm... Haideți să mai tăiem din ele!

Mi se pare mie, ori chiar credeți că tabelul cu integrale e prea stufos? Păi, de ce, dragilor? Păi, dacă știți derivate, atunci știți și integrale cu duiumul. Haideți să vedem câteva exemple. Presupunem că știți bine tabelul cu derivate și vom încerca să deducem din acest tabel câteva integrale din tabelul cu integrale. Să vedem ce iese.

Vom aplica două reguli de bază:

1. Dacă $f=g$, atunci și $\int f=\int g$, abstracție făcând de constanta $C$. Bineînțeles, voi la examene veți pune și $dx$-ul, dar eu nu-l pun ca să nu încarc inutil expunerea.
2. Dacă integrala unei funcții se ciocnește cu derivata ei, cele două dispar și lasă în urmă funcția. Simbolic, putem scrie acest lucru astfel: $$\int f^\prime=f.$$ Așadar, integrala anihilează câte o derivată. Tot aici mai putem spune că avem atunci și $$\int f''=f'$$ sau $$\int f'''=f''.$$

Mergem înainte cu aceste reguli faine. Și veți vedea că matematica nu este chiar atât de anostă precum pare.

Să se calculeze $\int x\sqrt{x+2}dx$

Cum ați calcula această integrală? Cum calculați o integrală când găsiți în ea radicalul? Desigur, prima dată ne gândim la tabel, ne gândim dacă nu cumva această integrală este undeva în tabel sau poate fi adusă rapid la forma din tabel. 

Din păcate, survolând tabelul, constatăm că toți radicalii care apar pe-acolo îl conțin sub radical pe $x^2$, nu pe $x$ simplu. Deci, deocamdată nu avem nicio șansă...

Atunci ne vom gândi rapid cum putem prelucra expresia $x\sqrt{x+2}$ de sub integrală astfel încât să obținem rezultatul căutat. Mintea mea va fugi la încercarea de a calcula integrala din radical, în ipoteza că acest radical nu ar mai avea nimic în fața lui care să încurce. Mai exact, îmi pun problema dacă pot calcula mai ușor integrala $$\int\sqrt{x+2}dx.$$

Să se calculeze $\int\frac{1}{\sin^2x\cdot\cos^2x}dx$

V-am mai spus, când primim integrale, primul gând este TABELUL. Nu cumva integrala noastră este în tabel? Acesta este primul gând. Desigur, integrala noastră nu este în tabel, deci nu este chiar atât de simplă. Examinatorul nu ne-a sfidat inteligența, dându-ne o problemă prea simplă. :)

Dacă nu e în tabel, trecem la următorul gând. Nu cumva integrala noastră POATE FI ADUSĂ LA O FORMĂ în care să putem folosi tabelul? La acest al doilea gând insistăm mai mult. Pentru că, bineînțeles, dacă integrala nu este în tabel, atunci examinatorul ne-a dat o integrală pe care s-o putem transforma în așa fel încât să putem folosi până la urmă tabelul.

Calculați integrala (cu e la puterea u)

Calculați $$\int x^3\cdot e^{x^4}dx.$$

Ce variante sunt pentru a rezolva această problemă? Ce gânduri îi trec prin minte elevului când vede problema?

Poate unii s-ar gândi să calculeze această integrală prin părți, din moment ce ea este un produs de două funcții (căci atunci când vedeți un produs de două funcții, e posibil să meargă calculul și cu integrarea prin părți). Alții ar crede greșit că integrala asta s-ar calcula separând-o în două integrale.

Integrala nedefinită este o mulțime de primitive

În anumite probleme vi se poate cere să calculați integrala nedefinită a unei funcții, iar în alte probleme vi se poate cere să determinați o primitivă a unei funcții. Să vedem aici care poate fi deosebirea dintre ele.

Vă spun din start că mare deosebire nu poate fi între ele. Integrala nedefinită nu diferă fundamental de primitivă. Dacă vi se cere să calculați una din cele două, veți urma același calcul integral pentru ambele.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.c

Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ f(x):R→R, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$ și numărul $I_n=\int\limits_0^1 x^n f(x) dx$, cu $n$ număr natural nenul. În aceste condiții, arătați că $nI_n=\sqrt 5-4(n-1)I_{n-2}$, oricare ar fi numărul natural $n\ge 3$.

Pentru a putea demonstra relația cerută  $nI_n=\sqrt 5-4(n-1)I_{n-2}$, ni se sugerează ceva. Observați că în relație apare $\sqrt 5$. Înseamnă că acest $\sqrt 5$ ar putea fi obținut din ceva de genul $\sqrt{1+4}$, adică s-ar putea să fie rezultatul a ceva cu $\sqrt{x^2+4}\left.\right|_0^1$. Aha! Deci, ni se sugerează să încercăm să calculăm integrala. Haideți, atunci, să vedem ce putem face pentru a calcula integrala. Desigur, va fi un calcul de recurență, adică nu un calcul complet, ci unul parțial, în care integrala de ordinul mare depinde de integralele de ordin mai mic. Ia să vedem...

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.a

Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$. Calculați $\int\limits_0^2 f^2(x)dx$.


Ca să calculăm integrala, trebuie să știm din ce trebuie să calculăm integrala. Altfel spus, noi trebuie să ridicăm la pătrat funcția noastră și să vedem ce iese. Așadar
$$f^2(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)^2=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}.$$
Dar, când ridicăm la pătrat un radical, radicalul dispare ca prin farmec, căci, de exemplu,
$$(\sqrt{7})^2=\sqrt 7\cdot\sqrt 7=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7.$$


Prin urmare, $$f^2(x)=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}=\frac{1}{x^2+4}.$$ Asta înseamnă că integrala pe care trebuie s-o calculăm este $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx.$$

Dar, desigur, integrala aceasta este rușinos de simplă pentru un elev care cunoaște de-a fir a păr tabelul fundamental cu integrale, căci găsiți acolo tocmai această integrală, doar că în loc de $4$ aveți alt număr. Mai exact $$\large{\color{blue}{\int\limits_a^b\frac{1}{x^2+a^2}dx=\left.\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right|_a^b}}.$$

Dacă nu știți această formulă la bac, ați pierdut cele 5 puncte faine pe care le-ați fi putut primi. Pentru că nu cred că ați putea găsi pe loc o altă metodă de integrare (de exemplu, cea cu schimbarea de variabilă), din moment ce nu v-ați deranjat nici măcar să rețineți această formulă simplă.

Așadar, faceți cumva și rețineți formula, ca să puteți calcula integrale dintr-o fracție așa de simplă precum $\frac{1}{x^2+a^2}$. Căci, de-aici încolo totul devine rutină. Astfel, integrala noastră devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx.$$
Adică, la noi $a$ devine $2$. În final $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_0^2.$$ Adică $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_{\color{magenta}{0}}^{\color{limegreen}{2}}=\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{limegreen}{2}}}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{magenta}{0}}}{2}\right).$$
Desigur, parantezele n-au fost necesare, doar că eu am dorit să vă reamintesc cum se delimitează calculul conform formulei Leibniz-Newton. În fine, mai trebuie să știm cât este $\arctan 1$ și $\arctan 0$. Adică, vrem să găsim răspunsul la întrebările „tangentă de cât ne dă $1$?” și „tangentă de cât ne dă $0$?”. Din nou, răspunsurile sunt banale și le putem găsi în tabelul trigonometric. Ele sunt $\frac{\pi}{4}$ și, respectiv, $0$. Atunci, integrala căutată devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\large{\color{red}{\frac{\pi}{8}}}.$$

O integrală buclucașă

Calculați
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}.$$

În tabelele obișnuite cu integrale (pe care mă gândesc eu că voi v-ați apucat deja să le cam învățați pe de rost) nu veți găsi această integrală, așa că ea va trebui calculată. Apoi, după ce o calculăm, dacă vreți voi s-o introduceți într-un tabel al vostru personal, eu n-am nimic împotrivă.

Bun. Deci, ce avem de făcut pentru a calcula o integrală? Scopul este să ne apropiem cât mai mult de o integrală simplă sau de mai multe integrale simple. Integralele simple sunt cele pe care le găsim în tabelul obișnuit.

Așadar, ce integrale asemănătoare găsim în tabelul obișnuit? Bineînțeles, nu ne vom uita în tabel după integrale de altă formă decât integrala noastră, ci vom căuta integrale care să aibă ceva radical în ele. Noi n-avem treabă, de exemplu, cu $\int e^x dx$.

După ce ne holbăm ceva mai lung la tabel, constatăm că există o integrală ciudată care are radical în ea și care ne spune următoarele
$$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-9}}=\ln{|x+\sqrt{x^2-9}|}.$$

Mamăăă, da' ce mai seamănă cele două integrale! Dar, ia stați! Nu cumva a greșit autorul? Nu cumva radicalul acela din tabel ar fi trebuit să nu fie la numitor? Nici vorbă! Stați liniștiți, că e bine. Radicalul din tabel e la numitor, iar radicalul din integrala noastră este, din păcate, „la numărător”, căci poate fi scris și el ca o fracție cu numitorul egal cu $1$
$$\frac{\sqrt{x^2-9}}{1}.$$

Și atunci, dată fiind situația, ce-i de făcut? Am putea să calculăm integrala noastră cu ajutorul altei integrale ce are radicalul la numitor? Ce ziceți voi? Hmmm...

Păi, ia să vedem ce putem face. Ne trebuie puțină artă. Trebuie să facem o mică șmecherie prin care să ducem radicalul acela la numitor. Urmăriți-mă cu atenție.

Oare sunteți de acord că
$$\sqrt a=\frac{\sqrt a\cdot\sqrt a}{\sqrt a}\,\,?$$

Păi, de ce n-ați fi de acord? Doar putem simplifica unul dintre radicalii de la numărător cu radicalul de la numitor și ne rămâne celălalt radical dintre cei doi aflați la numărător.

Bun. Acum, dacă sunteți de acord cu șmecheria noastră, mergem mai departe. Ia priviți mai bine numărătorul. Dacă avem doi radicali din același lucru, atunci radicalul dispare. Este un fel de ciocnire de radicali, ciocnire ce duce la dispariția lor. Așadar, avem
$$\sqrt a\cdot\sqrt a=a.$$
Prin urmare,
$$\sqrt a=\frac{a}{\sqrt a}.$$
Țineți minte chestia asta! Puteți aduce radicalul la numitor atunci când aveți nevoie de asta. Este, de data aceasta, un fel de raționalizare a numărătorului.

Înseamnă că integrala noastră începe să aibă radical la numitor și ne apropiem de integrala din tabel.
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\int\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2-9}}dx.$$
Yuppiiiii!

Hehe, ne bucurăm noi, dar ne bucurăm prea devreme, căci mai avem un drum tare lung de parcurs până la rezolvarea completă. Integrala din tabel cu radical la numitor nu are nimic la numărător. Pardon, are doar $1$ la numărător, dar nicidecum $x^2-9$. Așa că de-acum va trebui să vedem cum ne putem descurca cu numărătorul ca să îl vedem mai simplu.

O altă mare filozofie este să despărțim fracția în două fracții mai simple. Noi știm de la fracțiile care au același numitor că $$\frac{a-b}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}.$$ Așadar, obținem
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\int\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2-9}}dx=\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}-\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Acum ne vom folosi de $\int(f+g)=\int f+\int g$, proprietate pe care o regăsiți în tabelul cu integrale. Așadar, desfacem integrala noastră complicată în două integrale mai simple. Adică
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}dx-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Super! Am reușit să desfacem o integrală urâtă în două integrale ce promit să fie mai simple. Ok. Să ne ocupăm atunci de prima integrală, cea roșie. O luăm separat și vedem ce putem face cu ea. Așadar, avem de calculat integrala
$$\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
La această integrală ne enervează puțin numărătorul $x^2$ și ca să ne calmăm puțin vom încerca să-l facem mai simplu, descompunându-l pe $x^2$ în $x\cdot x$.  Atunci integrala va deveni
$$\int\color{red}{\frac{x\cdot x}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
Și cum
$$\frac{a\cdot b}{c}=a\frac{b}{c},$$
integrala devine
$$\int\color{red}{x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Desigur, n-am rezolvat mare lucru că am scris integrala astfel decât dacă ne gândim să o calculăm prin părți. Integrarea prin părți ne spune că dacă descoperim sub integrală un produs de două funcții, dintre care una este o derivată, atunci suntem boieri, căci avem formula
$$\int f\cdot g^\prime=f\cdot g-\int f^\prime\cdot g.$$

Așadar, pentru a calcula integrala
$$\int\color{red}{x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}}dx,$$
integrală ce constă deja dintr-un produs de două funcții, $x$ și $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$ trebuie să mai descoperim acolo o derivată.

Așadar, oare pe care dintre cele două funcții $x$ și $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$ am putea s-o scriem ca fiind derivata altei funcții? Să scriem oare $x=\left(\frac{x^2}{2}\right)^\prime$? Aoleu! Nici vorbă! Pentru că dacă am face prostia asta, atunci a doua integrală ar presupune să derivăm cealaltă funcție $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$ și ar ieși un talmeș-balmeș.

Așa că mai bine ne chinuim să mergem pe cealaltă pistă. Adică, să căutăm o funcție a cărei derivată să ne dea tocmai $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$. Dar oare există așa ceva? Există oare o funcție care derivată să ne dea $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$?

Din fericire, există! Derivând radicalul de la numitor, adică $(\sqrt{x^2-9})^\prime$, obținem tocmai funcția dorită, adică $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$. Cum așa? Păi n-avem decât să folosim formula
$$(\sqrt u)^\prime=\frac{u^\prime}{2\sqrt u}.$$

Și la noi $u=x^2-9$. Atunci $u^\prime=(x^2-9)^\prime=(x^2)^\prime-9^\prime=2x-0=2x$. Așadar,
$$(\sqrt{x^2-9})^\prime=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-9}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}.$$

Am obținut ceva remarcabil! Am obținut acea funcție care derivată să ne dea $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$. Acum ne putem reculege puțin, că ne-am cam împrăștiat. Ia să vedem. Avem de calculat integrala
$$\int\color{red}{x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
Și am descoperit că $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$ poate fi scrisă ca $(\sqrt{x^2-9})^\prime$. Așadar, integrala devine acum
$$\int\color{red}{x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}}dx=\int\color{red}{x\cdot(\sqrt{x^2-9})^\prime}dx.$$
Calculând prin părți, obținem că
$$\int\color{red}{x\cdot(\sqrt{x^2-9})^\prime}dx=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int x^\prime\cdot\sqrt{x^2-9}dx.$$
Dar $x^\prime=1$. Așadar, obținem ceva interesant. Am obținut că integrala roșie, de la care am pornit după desfacerea integralei inițiale, este
$$\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}dx=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int\sqrt{x^2-9}dx.$$



Acum ne întoarcem la integrala noastră inițială (cea verde) și vedem ce am obținut. Țineți minte că am avut
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}dx-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
Și cum noi am calculat deja integrala roșie, putem scrie
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int\sqrt{x^2-9}dx-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Dar, vai, integrala din mijloc este tocmai integrala verde! Adică
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Și atunci, ce ziceți, am putea să ducem integrala verde din dreapta în partea stângă, lângă sora ei geamănă? Absolut. Și ducând-o în stânga trebuie să îi schimbăm semnul, din minus în plus. Adică obținem
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}+\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
Dar adunând același lucru de două ori, obținem dublul acelui lucru. Mai exact
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}+\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=2\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}.$$

Așadar, din toată nebunia asta obținem
$$2\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Off! Haideți să scăpăm odată și de integrala asta albastră care ne tot încurcă! Au! Dar integrala albastră este tocmai integrala din tabel, cea cu radicalul la numitor, doar că avem sus un $9$ pe care îl putem scoate în fața integrale, $9$ fiind o constantă. Așadar
$$\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx=9\ln|x+\sqrt{x^2-9}|.$$
Am scăpat, deci și de integrala albastră. Adică, putem scrie
$$2\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-9\ln|x+\sqrt{x^2-9}|+C.$$

Ce? Cum? Am terminat? Am găsit integrala verde din enunț? Aproape. Ne mai încurcă $2$-ul acela din fața ei. Atunci împărțim toată egalitatea precedentă cu $2$ și obținem în final
$$\large{\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{x^2-9}-\frac{9}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-9}|+C}.$$

Mamma mia! Acuma văd cât v-am chinuit pentru această integrală! Păi, iertați-mă, dar n-am găsit o cale mai ușoară...

Tabel comun cu derivate și integrale

Vă prezint mai jos o listă cu derivatele și integralele unor funcții. La integrale nu am mai pus nici $dx$ și nici constanta, pentru că voi le subînțelegeți și am dorit ca tabelul să fie cât mai simplu și să redea cât mai bine esența. De asemenea, acolo unde am folosit numere concrete, precum 8 sau 5, voi puteți pune alte numere corespunzătoare.

$$\begin{array}{| c | c |}
\hline
5^\prime=0&\int 0=\text{orice număr}\\\hline
x^\prime=1&\int 3=3x\\\hline
(4\cdot f)^\prime=4\cdot f^\prime&\int 4\cdot f=4\cdot\int f\\\hline
(f+g)^\prime=f^\prime+g^\prime&\int f+g=\int f+\int g\\\hline
\left(\int f\right)^\prime=f&\int (f^\prime)=f\\\hline
(f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime&f\cdot g=\int f^\prime\cdot g+\int f\cdot g^\prime\\\hline
\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f^\prime\cdot g-f\cdot g^\prime}{g^2}&\frac{f}{g}=\int\frac{f^\prime}{g}-\int\frac{f\cdot g^\prime}{g^2}\\\hline
(x^8)^\prime=8x^{8-1}&\int x^5=\frac{x^{5+1}}{5+1}\\\hline
\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=-\frac{1}{x^{2}}& \int\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{x} \\\hline
\left(\frac{1}{x^6}\right)^\prime=-\frac{6}{x^{6+1}}& \int\frac{1}{x^8}=-\frac{1}{7x^7} \\\hline
(\sqrt{x})^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}&\int\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\\\hline
(\sqrt[7]{x^4})^\prime=\left(x^\frac{4}{7}\right)^\prime=\frac{4}{7\sqrt[7]{x^{7-4}}}&\int(\sqrt[7]{x^4})^\prime=\frac{7}{7+4}\sqrt[7]{x^{7+4}}\\\hline
(\ln x)^\prime=\frac{1}{x} &\int\frac{1}{x}=\ln|x|\\\hline
(e^x)^\prime=e^x&\int e^x=e^x\\\hline
(e^{-x})^\prime=-e^{-x}&\int e^{-x}=-e^{-x}\\\hline
[(x+5)\cdot e^x]^\prime=(x+6)\cdot e^x&\int(x+0)\cdot e^x=(x-1)\cdot e^x\\\hline
(a^x)^\prime=a^x\cdot\ln a&\int a^x=\frac{a^x}{\ln a}\\\hline
(\sin x)^\prime=\cos x&\int\sin x=-\cos x\\\hline
(\cos x)^\prime=-\sin x&\int\cos x=\sin x\\\hline
(\tan x)^\prime=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^\prime=\frac{1}{\cos^2 x}&\int\frac{1}{\cos^2 x}=\tan x\\\hline
(\cot x)^\prime=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^\prime=-\frac{1}{\sin^2 x}&\int\frac{1}{\sin^2 x}=-\cot x\\\hline
(\ln|\cos x|)^\prime=\frac{(\cos x)^\prime}{\cos x}=-\tan x&\int\tan x=-\ln|\cos x|\\\hline
(\ln|\sin x|)^\prime=\frac{(\sin x)^\prime}{\sin x}=\cot x&\int\cot x=\ln|\sin x|\\\hline
(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1+x^2}&\int\frac{1}{1+x^2}=\arctan x\\\hline
\left(\frac{1}{5}\arctan\frac{x}{5}\right)^\prime=\frac{1}{25+x^2}&\int\frac{1}{5^2+x^2}=\frac{1}{5}\arctan\frac{x}{5}\\\hline
\left(\frac{1}{2\cdot 5}\ln\left|\frac{x-5}{x+5}\right|\right)^\prime=\color{blue}{\frac{1}{x^2-25}}&\int\color{blue}{\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x+5}}=\ln\left|\frac{x-5}{x+5}\right|\\\hline
(\ln|x+\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm ceva}}|)^\prime=\frac{1}{\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm ceva}}}&\int\frac{1}{\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm orice}}}=\ln|x+\color{limegreen}{\sqrt{x^2\pm orice}}|\\\hline
(\arcsin{\frac{x}{8}})^\prime=(-\arccos{\frac{x}{8}})^\prime=\frac{1}{\sqrt{8^2-x^2}}&\int\frac{1}{\sqrt{64-x^2}}=\text{vedeți ce e în stânga}\\\hline
\end{array}.$$

Alte integrale utile veți găsi mai jos:

• Integrală din logaritm natural: $$\int\ln x dx=x\ln x-x.$$

Notați-vă undeva lincul către acest articol, căci veți avea des nevoie de el.