Suma numerelor întregi din intervalul (-2;2] este egală cu...

Suma numerelor întregi din intervalul (-2;2] este egală cu...

Pentru a putea rezolva această problemă, elevul trebuie să știe ce este un interval, ce înseamnă numere întregi și ce înseamnă sumă. Începem să povestim despre intervale. Noțiunea de interval (gândește-te și la „inter-val”, între valuri) se referă la toate numerele reale posibile aflate între două numere. Având în vedere faptul că între 7 și 8 există și 7,2 și 7,3 și 7,35 și așa mai departe, rezultă că există o infinitate de numere reale între 7 și 8, așa că nu le putem scrie pe toate. Tocmai de aceea s-a inventat noțiunea de „interval”. Ea ne ajută să ne putem referi la toate numerele dintre 7 și 8 printr-o metodă simplă: scriem doar (7;8) și înțelegem că ne referim la toate numerele dintre 7 și 8. Mai mult de atât, dacă jonglăm și cu parantezele pe care le folosim pentru interval putem să spunem și dacă numerele 7 și 8 se află sau nu se află în intervalul nostru. Astfel, dacă folosim numai paranteze rotunde, spunem prin aceasta că numerele 7 și 8 NU se află în intervalul (7;8), dar în acest interval se află orice număr apropiat de 7 și de 8, aflat în dreapta lui 7 și în stânga lui 8. Deci, intervalul (7;8) conține și numerele 7,1 și 7,01 și 7,0001, dar NU îl conține pe 7. În schimb, dacă dorim să-l includem și pe 7 în intervalul nostru, atunci ne folosim de paranteza dreaptă. Așadar, intervalul [7;8) îl conține și pe 7, conține toate numerele dintre 7 și 8, dar nu îl conține pe 8. Mai observați că în partea din stânga intervalului am așezat numărul mai mic, iar în partea din dreapta am așezat numărul mai mare; aceasta este o regulă obligatorie și firească. Cu aceasta consider că sunteți bine puși la punct cu noțiunea de „interval”.

Acum pentru a rezolva problema noastră, mai trebuie să facem o trecere în revistă a numerelor întregi. Numerele întregi sunt cele care nu au virgulă. Nu e o problemă că au minus, important este să nu aibă virgulă, să nu fie fracționare, să fie întregi. De exemplu, numărul 7 este număr întreg (el este și natural), numărul -3 este număr întreg (dar nu este natural), în schimb, numărul 2,8 nu mai este număr întreg, ci este așa-numitul „număr rațional”. Așadar, care sunt numerele întregi din intervalul (-2;2]? Deoarece în dreptul lui -2 este paranteză rotundă, înseamnă că pe -2 nu îl vom lua în considerare, chiar dacă este număr întreg. Deci, primul număr întreg ce se află în intervalul nostru este abia -1 și cu el vom începe calculul sumei cerute. Următorul este 0, apoi 1 și nu ne oprim aici, deoarece în dreptul lui 2 este paranteză dreaptă, deci trebuie să-l luăm în considerare. Astfel, calculul nostru devine: (-1)+0+1+2=2.

Răspuns final: 2.

Dar ce ne făceam dacă ni se cerea suma numerelor întregi din intervalul (-100;100]? Oare trebuia să le adunăm pe rând pe toate numerele întregi din interval și să ne trezim că am pierdut minute bune cu calculul? Desigur, nu. De ce? Deoarece, orice număr natural din intervalul nostru, cu excepția lui 100, are un corespondent opus în interval. De exemplu, numărul 98 are în interval și opusul -98 și noi știm că suma a două numere opuse este nulă, este zero, deci nu contribuie la modificarea sumei finale, sumă care va fi în cazul acesta egală tocmai cu numărul care nu are un opus în interval, deci 100.

Calculați 25% din 100.

Ni se cere să calculăm 25% din 100. Orice procent din 100 este egal cu acel procent. Deci, în cazul nostru, răspunsul este 25. Dacă ar fi cerut 25% din 200, atunci răspunsul era dublul lui 25, căci 200 este dublul lui 100. În altă ordine de idei, 25% din ceva înseamnă un sfert din acel ceva. 50% din ceva înseamnă jumătate din acel ceva. 10% din ceva înseamnă o zecime din acel ceva. De exemplu, dacă ni s-ar fi cerut să calculăm 10% din 80, rezultatul era 8, căci a zecea parte din 80 este 8. Dacă ni s-ar fi cerut să calculăm 20% din 80, atunci rezultatul era dublul lui 10% din 80, căci 20 este dublul lui 10. Și încă ceva: 20% din 80 este ca și 80% din 20, iar această proprietate este valabilă oricând și pentru orice numere. Așadar, dacă veți constata vreodată că ar fi mai ușor să calculați procentul cerut prin comutarea numerelor, atunci nu ezitați să faceți comutarea, pentru că veți obține rezultatul corect și după comutare. De exemplu, dacă vi s-ar cere să calculați 35% din 40, calculele ar putea părea greoaie, așa că mai bine să comutăm. Vom calcula 40% din 35 și vom ține seama de faptul că 10% din 35 este 3,5, iar acest număr va fi înmulțit apoi cu 4, pentru că 40 este de patru ori mai mare decât 10. Așadar, 35% din 40=40% din 35=14.

Un nou canal de Youtube

Pe noul meu canal de Youtube, asociat noului meu sait vreaumate.online, găsiți filmulețe proaspete în care am început să rezolv testele de antrenament primite de la minister.

Am postat recent și rezolvarea subiectului I și II de la primul test de bacalaureat mate-info.

Un prim filmuleț de când am tableta grafică

Mi-am cumpărat recent o tabletă grafică și mă bate gândul să vă transmit multă informație cu ajutorul ei prin intermediul unor filmulețe cu care să rezolv niște probleme de mate cu lux de amănunte.

Iată, deci, primul asemenea filmuleț, în care vorbesc despre combinări și aranjamente.

Bacalaureat, V39SIP6 (arie triunghi dreptunghic special)

Să se calculeze aria unui triunghi dreptunghic care are un unghi de $60^\circ$ și ipotenuza de lungime $8$.

Aria unui triunghi dreptunghic? Hmmm... Ce știți despre aria unui triunghi dreptunghic? Cum o calculăm? Vă amintiți ceva formule pentru aria unui triunghi dreptunghic?

În general, aria unui triunghi este „baza ori înălțimea supra doi”. Dar în cazul triunghiului dreptunghic avem o formulă mai concretă. Aria unui triunghi dreptunghic este „cateta unu ori cateta doi supra doi”. Deci, ca să găsim aria unui triunghi dreptunghic, înmulțim cele două catete, iar rezultatul îl împărțim la doi.

Ok, deci ne trebuie cele două catete ale triunghiului nostru dreptunghic. Off... Dar examinatorul ne-a dat doar ipotenuza! De ce? Ne-a dat exact ceea ce nu ne trebuie! Căci nouă ne-ar trebui catetele...

Da, recunosc, examinatorul pare un om rău, căci nu ne-a dat catetele. Totuși, este bun pentru că ne-a dat și un unghi. Mai mult de atât, este un om și mai bun decât ne-am imaginat, deoarece unghiul pe care ni l-a dat nu este unui aiurea de 43,5 grade să zicem, ci este un unghi foarte frumos, adică un unghi „normal”, de 60 de grade, despre care știm foarte multe.

Ce știm despre unghiul de 60 de grade? Păi, îi cunoaștem sinusul (radical din trei supra doi) și îi cunoaștem cosinusul (unu pe doi). Cunoscând sinusul sau cosinusul, putem afla oricare dintre catete, dacă ne amintim că sinusul este „cateta opusă supra ipotenuză” sau cosinusul este „cateta alăturată supra ipotenuză”. Apoi, după ce am aflat catetele, avem tot ce ne trebuie pentru a calcula aria, desigur (cu formula „catetă ori catetă supra doi”). 

Am putea să mergem și pe linia asta, a calculării catetelor, dar mai interesant ar fi să ne mai reamintim o proprietate faină a unui triunghi dreptunghic care are un unghi special, de 60 de grade, proprietate pentru care nu aveți nevoie de cunoștințe de trigonometrie, cu sinus și cosinus. Acestei proprietăți i se mai spune „teorema 30, 60, 90”. Teorema spune că într-un triunghi dreptunghic special, în care există un unghi de 60 de grade, cateta mică este jumătate din ipotenuză.

Deci, dacă ni s-a dat ipotenuza și un unghi de 60 de grade, atunci automat putem trage concluzia că una dintre catete (cea mai micuță) este jumătate din ipotenuză, adică în cazul nostru, jumătate din 8, deci 4. Una dintre catete este 4. 

Mai rămâne să aflăm cealaltă catetă. Tot cu mijloace simple, precum este teorema lui Pitagora, teoremă foarte importantă într-un triunghi dreptunghic. Teorema lui Pitagora ne spune că suma pătratelor catetelor este tocmai pătratul ipotenuzei. Așadar, dacă notăm cateta necunoscută cu $x$, atunci teorema lui Pitagora ne va spune că $$4^2+x^2=8^2.$$
Deci, $16+x^2=64$, deci $x^2=64-16=48$. Iar dacă ceva la pătrat este 48, atunci numai ceva-ul acela neridicat la pătrat va fi radical din 48. Astfel, cateta necunoscută este $$x=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}.$$ 

Bun. Deci, una dintre catete este $4$, iar cealaltă este $4\sqrt{3}$. Cât va fi atunci aria căutată? Am văzut mai sus că aria este semiprodusul catetelor. Așadar, $$A=\frac{4\cdot 4\sqrt{3}}{2}=\color{red}{8\sqrt{3}}.$$

Bacalaureat, V39SIP5 (lungimea medianei)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$, $B(1,1)$, $C(3,-1)$. Să se calculeze lungimea medianei duse din vârful $A$ al triunghiului $ABC$.


Când auziți de „reper cartezian” și de niște puncte cărora li se dau coordonatele, apăi înseamnă că musai este vorba de geometrie analitică, adică de un cârnaț de formule de care e bine să vă amintiți instantaneu.

Ni se cere „lungimea medianei”. Bun. Înseamnă că ni se cere, în primul rând, o lungime. În geometria analitică, o lungime. Cum calculăm o lungime în geometria analitică? Hmmm... Lungimea (unui segment, căci numai segmentele au lungimi) este un număr care ne arată câți metri sunt de la un punct până la altul (de la un capăt al segmentului la celălalt). Deci lungimea (unui segment) este tot una cu distanța (dintre capetele segmentului).

Ca să putem calcula o lungime, deci o distanță, în geometria analitică, va trebui să calculăm un „radical”. Asociați cuvintele „lungime” sau „distanță” cu cuvântul „radical”. Radicalul acela se naște din teorema lui Pitagora aplicată ipotenuzei triunghiului dreptunghic determinat de capetele segmentului. Acest triunghi dreptunghic are catetele paralele cu axele, iar ipotenuza este tocmai segmentul determinat de cele două puncte.

Așadar, dacă ne trebuie distanța dintre punctele $P(x_P;y_P)$ și $Q(x_Q;y_Q)$, atunci trebuie să calculăm radicalul dat de O SUMĂ de două paranteze la pătrat. În spațiu avem trei paranteze, dar în plan avem doar două paranteze sub radical, o paranteză în care punem DIFERENȚA $x$-ilor și o paranteză în care pune diferența $y$-ilor. Deci 
$$d_{PQ}=\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2}.$$
Exact cum vă arătam într-un articol de prin 2014.

Deci, am stabilit că va trebui să calculăm un radical. De-acum se pune problema ce vom pune sub radical. Mai exact, care sunt punctele pentru care calculăm lungimea? Noi am primit acolo sus în problemă trei puncte. Dar oare între care dintre puncte trebuie să calculăm lungimea? Acum va trebui să ne gândim la „mediană”. Ce este mediana?

Mediana este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Medi=mijloc. Deci, noi trebuie să calculăm lungimea medianei duse din vârful $A$ pe mijlocul laturii $BC$. Așadar, avem sub radical un singur punct. Ne mai trebuie celălalt. Ne mai trebuie mijlocul laturii $BC$.

Mijlocul unei figuri este dat de media aritmetică a capetelor sale. Mai riguros spus, coordonatele mijlocului sunt medii aritmetice ale coordonatelor vârfurilor (capetelor). Deci, coordonatele mijlocului nostru pe care îl notăm cu $M_{BC}$ vor fi $$x_M=\frac{x_B+x_C}{2}\text{, iar   }\,\,\,y_M=\frac{y_B+y_C}{2}.$$

Și cum noi cunoaștem toate coordonatele de care avem nevoie, vom obține că $x_M=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$ și $y_M=\frac{1+(-1)}{2}=\frac{0}{2}=0$. Așadar, mijlocul căutat va fi $M_{BC}(2;0)$.

Acum avem tot ce ne trebuie pentru a calcula radicalul, adică lungimea medianei din vârful $A$, adică lungimea segmentului $AM$. Aplicăm formula și avem $$d_{AM}=\sqrt{(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2},$$ adică $$d_{AM}=\sqrt{(2-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{0^2+4^2}=\sqrt{16}=\color{red}{4}.$$

Rezultatul parcă vă sugerează că dacă ați ajuns cu bine până aici la bac, aveți șansa să luați deja un $4$.

Bacalaureat V39SIP4

Câte numere formate din 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{1,2,3,4\}$?

Un exemplu de număr bun este 123 pentru că el trebuie să fie din trei cifre. Un contraexemplu (număr ne-bun) este 111 pentru că cifrele acestui număr nu sunt distincte. Alt număr ne-bun este 567 pentru că cifrele sale nu se află în mulțimea indicată. 

Alt număr bun este 321. Deci, iată că la noi contează ordinea cifrelor, căci modificând ordinea cifrelor putem adăuga alte numere în lista pe care trebuie s-o numărăm.

Câte posibilități sunt? Observați că dacă nu am folosi cifra 4 problema noastră s-ar reduce la una mai simplă: câte numere de trei cifre distincte (deci, diferite) puteți forma cu (primele) trei cifre? 

Dar câte numere de trei cifre diferite puteți forma cu trei cifre diferite? Contează ordinea cifrelor. Și fiecare trebuie să ajungă în toate pozițiile. Asta înseamnă că trebuie să le permutăm pe toate. Deci, răspunsul acesta mic ar fi „permutări de trei”. Permutări de trei înseamnă „trei factorial”, adică $3\cdot 2\cdot 1$, adică șase.

Deci, sunt șase posibilități de a scrie un număr de trei cifre diferite cu trei cifre, indiferent care ar fi acele cifre. Iată, deci, că dacă lipsește cifra 4 din listă, putem forma șase numere bune pentru noi.

Dar tot șase numere bune vom putea forma și dacă lipsește cifra 3. Căci nu contează care lipsește. Căci și cu cifrele 1, 2, 4 putem forma tot „permutări de trei”, căci tot trei cifre sunt acolo, indiferent care sunt ele.

Observați, deci, că în total putem forma de patru ori combinații de câte șase. Șase numere când lipsește cifra 4, șase numere când lipsește cifra 3, șase numere când lipsește cifra 2 și șase numere când lipsește cifra 1. Acest joc de combinații se numește „aranjamente”. Deci, putem aranja patru cifre în grupuri de câte trei în $4\cdot 6=\color{red}{24}$ de feluri. 



Atunci când elementele folosite trebuie să fie distincte și când contează ordinea lor folosim aranjamente. Dacă nu contează ordinea lor, folosim combinări. 

Dacă ni s-ar fi dat mulțimea $A=\{2,3,4,5,6,7\}$ și ni s-ar fi cerut să aflăm câte numere cu câte 2 cifre distincte (în loc de 3 cum ni s-a cerut în problema dată) putem face cu cifre din această mulțime, am fi raționat astfel: 

• distincte, deci vom folosi aranjamente sau combinări
• contează ordinea, căci trebuie să formăm numere, deci folosim aranjamente. Dacă ni s-ar fi cerut să formăm submulțimi, atunci nu ar fi contat ordinea (căci nu contează ordinea elementelor într-o mulțime) și am fi folosit combinări.
• așadar, rezultatul ar fi fost $A_6^2=6\cdot 5=30$, căci sunt șase cifre în mulțimea pe care o putem folosi și trebuie să formăm numere de câte două cifre.

Bacalaureat, M2, V39SIP3

Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația $$\sqrt{169-x^2}=12.$$

În mulțimea numerelor reale? Hmmm... Bun. Atunci, înseamnă că expresia de sub radical nu are voie să fie negativă. Adică, trebuie să punem întâi CONDIȚII DE EXISTENȚĂ pentru necunoscuta $x$.

Radicalul (de ordin par) din CEVA dă soluții reale numai dacă CEVA-ul nu este negativ. Căci radical (de ordin par) din ceva negativ ne dă cu numere complexe (adică numere care îl conțin pe $i=\sqrt{-1}$).

Deci, vom pune și noi condiția ca expresia de sub radicalul nostru să nu fie negativă, adică $$169-x^2\geq 0.$$ Din această condiție noi vrem să ajungem la ceva de genul $x\leq ceva$ sau $x\geq ceva$.

Inecuația $$169-x^2\geq 0$$ se poate rezolva atât cu metoda generală (formă canonică, delta, rădăcini, tabel), cât mai ales printr-o metodă mai rapidă ce ține de forma concretă pe care o are deja această ecuație particulară drăguță și mică. Uitați cum voi face. Îl voi arunca întâi pe $x^2$ în dreapta (ca să scap de semnul său negativ). Voi obține, așadar, $$169\geq x^2.$$ 
Și cum din $a<b$ rezultă că $b>a$ (valabil pentru orice semn de inegalitate aș pune între literele $a$ și $b$), avem că inecuația noastră impusă de condiția de existență a radicalului a devenit $$x^2\leq 169.$$ Mai departe, inecuația cu necunoscuta la pătrat implică o inecuație cu modul (căci radical din $x^2$ este modul de $x$).

Așadar, inecuația noastră a devenit acum mai simplă: $$|x|\leq 13,$$ căci radical din 169 este 13. Și, după cum mai puteți găsi pe undeva pe blogul meu (din câte îmi amintesc acum), o inecuație cu modul ne dă drept soluții niște intervale.  Dacă semnul este cu „mai mic”, atunci intervalul nu îl conține pe infinit (și nu are nici reuniune), ci este un interval simplu, închis dacă avem și egalitate și deschis dacă nu avem egalitate. Inecuația noastră va avea, deci, ca soluție intervalul închis $$[-13;13]$$ deoarece noi avem și egalul în inecuație. Acest interval ne spune unde trebuie să se afle soluțiile ecuației iraționale (cu radical) pe care am primit-o în problemă.


După ce am terminat cu munca laborioasă și parcă inutilă a condițiilor de existență, restul e floare la ureche. Ridicăm la pătrat ecuația dată, ca să scăpăm de radical. Obținem că $$\left(\sqrt{169-x^2}\right)^2=12^2,$$ adică $$169-x^2=144.$$ Arunc apoi termenii cu $x$ într-o parte și numerele în partea cealaltă și obțin $$169-144=x^2,$$ adică $$25=x^2$$ deci $$x^2=25.$$ Iar această ecuație are două soluții (fiind de gradul doi). Aceste soluții sunt $x_1=\color{red}{5}$ și $x_2=\color{red}{-5}$. Și ambele aceste soluții se află în intervalul pe care l-am găsit la studiul condițiilor de existență $[-13;13]$.

În general, cam așa rezolvăm ecuațiile iraționale: stabilim întâi condițiile de existență, apoi, dacă aceste condiții de existență sunt compatibile (se poate întâmpla ca din studiul condițiilor de existență să ajungem la concluzia că nu pot exista soluții, deci că mulțimea soluțiilor posibile este vidă, caz în care nu are rost să mai continuăm calculele de la pasul următor), atunci ridicăm la puterea corespunzătoare prin care să scăpăm de radicalii ce apar în ecuație, desfacem eventualele paranteze, restrângem termenii asemenea și rezolvăm ecuația obținută fără radicali (ecuația rămasă fiind de regulă (sau putând fi redusă la) o ecuație polinomială de gradul întâi sau de gradul al doilea).

Bacalaureat, M2, V39SIP2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3-2x$. Să se calculeze $f(0)+f(1)+f(2)+\dots +f(6)$.


Problema poate fi rezolvată „băbește” (deci, cam așa cum ar proceda o băbuță care nu prea știe Matematică). Adică, putem lua pe rând fiecare termen al sumei și să ne apucăm să-l determinăm, după care să adunăm termenii obținuți, să ne bucurăm de rezultat și să ne mirăm de ce nu am primit punctajul maxim din moment ce am prezentat rezultatul.

Facem, așadar: $f(0)=3-2\cdot 0=3-0=3$, $f(1)=3-2\cdot 1=3-2=1$, $f(2)=3-2\cdot 2=3-4=-1$ și așa mai departe, până la $f(6)=3-2\cdot 6=3-12=-9$. 

Dar, atenție la expresia „și așa mai departe”! Tocmai asta înseamnă punctele acelea de suspensie „$\dots$”, că trebuie să calculăm și $f(3)$ și $f(4)$ și $f(5)$! Unii elevi le lasă pe astea afară, pentru că nu cunosc încă semnificația punctelor de suspensie (pentru că nici nu s-a deranjat vreun profesor de mate să le spună vreodată un asemenea „fleac”, ci, eventual au fost subînțelese din limbajul natural). Ori, asemenea eșecuri îi determină pe elevi să urască Matematica, lucru extrem de grav pentru el însuși și pentru societate.

Deci, am calculat băbește toți cei șapte termeni (șase plus unu), aceștia fiind $3$, $1$, $-1$, $-3$, $-5$, $-7$ și $-9$. Mai departe ne apucăm să-i adunăm, desigur, tot băbește: $$3+1+(-1)+(-3)+(-5)+(-7)+(-9)=\color{red}{-21}.$$

Deci, rezultatul cerut este $-21$. Metoda de aflare a acestui rezultat îi spune deja examinatorului foarte multe despre lucrarea pe care urmează să o corecteze, despre elevul a cărui lucrare o are în față. Examinatorului i-ar fi plăcut să vadă o rezolvare mai eficientă, bazată pe niște cunoștințe mai generale. Ce făcea elevul dacă, în loc de $f(6)$, expresia de calculat s-ar fi terminat cu $f(60)$ sau cu $f(600)$? Ar fi calculat până la ieșirea din examen?

Examinatorului i-ar fi plăcut să vadă o rezolvare bazată pe cunoștințele elevului despre PROGRESII ARITMETICE. Aceste cunoștințe i-ar fi permis elevului să folosească REGULA SUMEI pentru progresiile aritmetice, care spune că:

• suma termenilor unei progresii aritmetice este, de fapt, mai simplu, un produs (o înmulțire) dintre numărul de termeni care trebuie adunați și media aritmetică dintre primul și ultimul termen al sumei.

Așadar, elevul trebuia să înceapă rezolvarea cu observația că termenii ce trebuie adunați sunt în progresie aritmetică (de rație $-2$ (numărul din fața lui $x$), adică termenii merg din $-2$ în $-2$). Cum numărul de termeni din această progresie este ușor de stabilit (șase plus unu, deci șapte), rezulta că singurul lucru mai greu de calculat era media aritmetică dintre primul și ultimul termen al sumei.

Dar, așa cum media notelor este suma lor împărțită cu numărul lor, tot astfel, media aritmetică dintre primul și ultimul număr al sumei este $$\frac{f(0)+f(6)}{2}=\frac{3+(-9)}{2}=\frac{-6}{2}=\color{lightgreen}{-3}.$$

Așadar, din regula sumei, aflăm că rezultatul este $$S=\color{blue}{7}\cdot(\color{lightgreen}{-3})=\color{red}{-21}.$$

Același rezultat ca mai sus, dar obținut mult mai elegant, mult mai rapid și valabil pentru mult mai multe cazuri. Iar a cunoaște Matematică înseamnă a cunoaște cât mai multe dintre asemenea scurtături.

Bacalaureat, varianta 39, M2, subiectul I, problema 1

Încep aici prin a vă prezenta rezolvarea unei variante alese la întâmplare (varianta 39) din lista variantelor de M2 date pentru anii trecuți.

Să se calculeze $$\log_2 4+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-\sqrt[3]{8}.$$

Fiind vorba despre subiectul I, elevul se poate baza pe faptul că rezolvările ar fi bine să decurgă mai repejor, căci nivelul de dificultate nu este foarte mare. Altfel spus, nu vă gândiți că e cine știe ce mare filozofie la acest subiect. Dimpotrivă, gândiți-vă că ar trebui să fie ceva simplu, fără calcule foarte laborioase.

Așadar, să începem. Ca să putem găsi suma celor trei termeni (așa se numește rezultatul ce trebuie obținut), vom calcula fiecare termen pe rând.

Întâi calculăm $\log_2 4$. Când vă loviți de logaritmi, amintiți-vă măcar următorul lucru: $\log_2 8=3$ pentru că $2^3=8$. Deci, logaritmul este exponentul la care trebuie să ridicăm baza logaritmului (numărul de mai jos) pentru a obține argumentul logaritmului (numărul de mai sus). Atunci, $\log_2 4=\color{red}{2}$, deoarece $2^\color{red}{2}=4$.

Cât o fi $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$? Întotdeauna când vedeți o fracție la un exponent negativ puteți răsturna fracția, iar exponentul își va schimba semnul. Așadar, avem $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=\left(\frac{2}{1}\right)^{1}=\color{red}{2}$. Deci, din nou $\color{red}{2}$.

În fine, cât o fi $\sqrt[3]{8}$? În cazul logaritmului se cerea exponentul la care trebuie să ridicăm baza pentru a obține argumentul. În cazul radicalului se cere, de fapt, baza pe care trebuie s-o ridicăm la puterea a treia pentru a obține opt. Deci, cât la puterea a treia ne-ar da opt? Desigur, doi. Așadar, din nou, $\sqrt[3]{8}=\color{red}{2}$, căci $\color{red}{2}^3=8$.

Prin urmare $$\log_2 4+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-\sqrt[3]{8}=2+2-2=\color{red}{2}.$$

Rezultatul aproape că sugerează că aveți deja nota doi asigurată la Bac dacă rezolvați problema asta (deși ea vă aduce doar o jumătate de punct).

Mate-info 2016, subiectul I, problema 6

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$ în care $A=\frac{3\pi} {4} $ și $BC=\sqrt 2$.

La ce vă gândiți automat în momentul în care auziți de "raza cercului circumscris"?  Nu știu la ce vă gândiți voi, dar eu mă gândesc întâi la teorema sinusurilor.

Teorema sinusurilor este un șir de egalități care conțin sinusurile (nu pe cele nazale, ci pe cele unghiulare  😊 ).

Ea se poate scrie sub forma:  $$\color{blue} {\frac {BC} {\sin A}=\frac {AC} {\sin B}=\frac{AB} {\sin C}=2R}. $$

Mate-info 2016, subiectul I, problema 5

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,0)$, $B(1,0)$ și $C(1,4)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $B$ și este paralelă cu mediana din $A$ a triunghiului $ABC$.

Se cere ecuația unei drepte. Și se dau niște puncte, cu coordonatele lor. Deci, suntem la geometrie analitică. Ne gândim ce știm despre ecuația dreptei în geometria analitică. Ne amintim ce este mediana. Ne gândim ce știm despre paralelism în geometria analitică. Avem cam zece minute de problemă. Ne apucăm de treabă relaxați și calmi. Facem un pic de ordine în haosul aparent. Ce avem de găsit întâi?

Mate-info 2016, subiectul I, problema 4

Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii $A=\{\sqrt 1,\, \sqrt 2, \,\sqrt 3, \,\sqrt 4, \,\sqrt 5, \,\sqrt 6 \}$,  aceasta să aibă cel mult două elemente. 

Să facem, pentru început, o oarecare introducere în lumea probabilităților.

Probabilitatea este un număr. Un număr cuprins între zero și unu, inclusiv. Probabilitatea ne arată cât de des se întâmplă ceva ce ne interesează. De exemplu, dacă ne interesează cât de des apare fața pe care se află numărul doi de la un zar cu șase fețe (căci pot exista și zaruri cu patru fețe (cum ar arăta un zar cu patru fețe?) sau cu opt fețe), atunci teoria probabilităților ne spune că feței cu numărul doi îi este asociată probabilitatea $\frac{1 }{6}$, adică undeva la $0,1666$. 

Mate-info 2016, subiectul I, problema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\left(\frac{1}{2}\right)^{4x-9}=32^x$.

Atunci când necunoscuta $x$ a unei ecuații apare la exponent, se spune despre acea ecuație că este ecuație exponențială. Deci, ecuația dată este o ecuație exponențială.

Ecuațiile exponențiale sunt mai blânde decât alte ecuații pentru că ele nu necesită condiții de existență. Altfel spus, la exponentul unui număr real putem pune orice alt număr real, căci tot număr real vom obține la rezultat, dacă baza puterii este deja fixată (baza trebuie să fie un număr real pozitiv și diferit de unitate).

Mate-info 2016, subiectul I, problema 2

Determinați numărul real $m$, știind că parabola asociată funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $x^2-2x+m$ este tangentă axei $Ox$.

Când vede această problemă elevul trebuie să își amintească în care caz parabola asociată funcției de gradul doi este tangentă axei $Ox$. Există un singur caz în care funcția de gradul doi poate fi tangentă axei $Ox$. Un singur caz!

A fi tangent înseamnă "a atinge". Deci, căutăm situația în care parabola atinge axa $Ox$. Iar a atinge înseamnă "a tăia într-un singur punct".

Dar ce ne facem dacă nu ne amintim din prima cazul în care parabola atinge axa? Păi, tatonăm, bâjbâim, încercăm să ne amintim cât mai multe lucruri despre funcția de gradul doi, despre parabola acesteia.

Mate-info 2016, subiectul I, problema 1

Determinați numărul real $x$ știind că numerele $7$, $3x$ și $x^2+2$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Așa cum v-am povestit într-un articol precedent în care am scris despre progresii aritmetice, când este vorba despre "termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice" înseamnă că este vorba de regulă de TREI termeni ai unei progresii aritmetice, termeni care vin frumos, ordonat, unul după celălalt. Iar atunci când este vorba despre trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, trebuie să vă amintiți automat de faptul că termenul din mijlocul celor trei este tocmai media aritmetică a vecinilor săi.

Progresii aritmetice

Progresia aritmetică este un $\textit{șir}$ de numere. Dar nu orice șir de numere, ci unul foarte special. Și anume, un șir de numere care „merg din câtva în câtva”, prin adunare. (Cele care merg prin înmulțire se numesc „progresii $\textit{geometrice}$”.)

De exemplu, șirul de numere $3,5,7,9,\dots$ este o progresie aritmetică de numere care merg din doi în doi. Acest „doi” se numește $\textit{rația}$ progresiei aritmetice. Dacă știm rația unei progresii aritmetice, atunci știm aproape totul despre ea.

Am spus „aproape totul” pentru că există de exemplu și alte progresii aritmetice care merg din doi în doi, dar care sunt, totuși, diferite de această progresie dată ca exemplu mai sus. Un asemenea exemplu diferit de progresie aritmetică din doi în doi este $2,4,6,8,\dots$. Vedeți că și această progresie aritmetică merge din doi în doi, doar că ea $\textit{nu începe}$ la fel ca progresia precedentă.

Combinări de n luate câte k

Definiția

Am să vă povestesc azi despre combinări. Combinările sunt niște numere, numere naturale (adică, fără minus și fără virgulă). Ele ne arată câte submulțimi putem forma cu niște elemente.

De exemplu, dacă cineva o să vă întrebe câte submulțimi de câte două elemente se pot forma cu elemente furate dintr-o mulțime care are patru elemente, atunci voi le veți putea răspunde că numărul căutat este „combinări de patru luate câte doi” și veți scrie . El este egal cu șase. Și vom vedea mai jos de ce.

Numărare

Dar oare cât o fi acest număr? Cât este combinări de patru luate câte doi? Păi, haideți să numărăm mulțimile. Începem cu o mulțime care are patru elemente. Fie aceasta . Să vedem câte submulțimi de câte două elemente putem forma cu elemente furate din această mulțime.

Vom avea următoarele mulțimi posibile: ,,,,și . Deci, combinări de patru luate câte doi este egal cu șase. Căci avem șase submulțimi posibile. Scriem condensat

.

Teorema lui Pitagora generalizată se mai numește și „teorema cosinusurilor”

Teorema simplă a lui Pitagora este valabilă numai într-un triunghi special, triunghi care are un unghi drept, de 90 de grade. Într-un asemenea triunghi special, numit și „triunghi dreptunghic”, laturile acestuia au fiecare câte un nume special: cea mai mică latură se numește „cateta mică”, cea mai mare latură se numește „ipotenuză”, iar cealaltă latură rămasă se numește „cateta mare”.

Catetele (albastre) sunt laturile care formează unghiul drept. Altfel spus, unghiul drept se află între catete. Teorema lui Pitagora ne spune, în acest caz, că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. De exemplu, dacă lungimea catetei mici este 3, iar lungimea catetei mari este 4, atunci lungimea ipotenuzei este 5, pentru că $3^2+4^2=5^2$.
Cu notațiile din figura de mai sus, teorema lui Pitagora devine: $$a^2=b^2+c^2.$$

Dar matematicienii nu s-au mulțumit doar cu o relație între laturile unui triunghi dreptunghic, ci ei au căutat o relație între laturile oricărui triunghi, oricât de urât ar fi el. Mai exact, ei au căutat o formulă care să le dea a treia latură a triunghiului oarecare atunci când deja se cunosc celelalte două laturi, chiar dacă unghiul dintre cele două laturi nu este un unghi de 90 de grade.

Problema V1SIP6: Calculați $\cos 105^\circ$.

Dacă trebuie să calculăm $\cos 105^\circ$, unul dintre primele gânduri care ne-ar putea trece prin minte ar fi să reducem cumva unghiul de $105^\circ$ la primul cadran. Pentru aceasta ne-am putea folosi de metoda pe care v-am prezentat-o într-un articol mai vechi pe care l-ați apreciat foarte mult. 

În esență, spuneam acolo că dacă scădem din unghiul dat $90^\circ$, atunci sinusul se transformă în cosinus sau cosinusul se transformă în minus sinus. În cazul nostru, cosinusul de $105^\circ$ se transformă în minus sinus de $105^\circ-90^\circ=15^\circ$. Adică, $\cos 105^\circ=-\sin 15^\circ$.