Combinări de n luate câte k

Definiția

Am să vă povestesc azi despre combinări. Combinările sunt niște numere, numere naturale (adică, fără minus și fără virgulă). Ele ne arată câte submulțimi putem forma cu niște elemente.

De exemplu, dacă cineva o să vă întrebe câte submulțimi de câte două elemente se pot forma cu elemente furate dintr-o mulțime care are patru elemente, atunci voi le veți putea răspunde că numărul căutat este „combinări de patru luate câte doi” și veți scrie . El este egal cu șase. Și vom vedea mai jos de ce.

Numărare

Dar oare cât o fi acest număr? Cât este combinări de patru luate câte doi? Păi, haideți să numărăm mulțimile. Începem cu o mulțime care are patru elemente. Fie aceasta . Să vedem câte submulțimi de câte două elemente putem forma cu elemente furate din această mulțime.

Vom avea următoarele mulțimi posibile: ,,,,și . Deci, combinări de patru luate câte doi este egal cu șase. Căci avem șase submulțimi posibile. Scriem condensat

.

Observați că la numărarea noastră nu a contat ORDINEA elementelor din submulțimile de câte două elemente. Mai exact, odată ce am numărat submulțimea nu am mai numărat separat și submulțimea , ci ne-am făcut că nici nu o băgăm în seamă. Ordinea contează doar la aranjamente, nu și la combinări.

Formula

Dar ce ne facem dacă vrem să aflăm cât este combinări de opt luate câte trei? Ne apucăm din nou să numărăm aiurea? Din fericire, nu. Ci avem o formulă faină de calcul. Avem o formulă care ne dă combinările când cunoaștem cele două numere care apar în dreptul combinărilor.

Avem așa. . Observați că am creat o fracție în care sus la numărător am pus trei factori descrescători, pornind de la opt, iar jos am pus trei factori descrescători pornind de la trei. Numărul de factori pe care i-am luat în considerare este tocmai numărul de sus al combinărilor.

Așadar, dragii mei, cât este ? Desigur, tot o fracție, dată prin .

La școală veți învăța o formulă mult mai ciudată. Ceva de genul

,

unde acel semn al exclamării ne spune că este vorba despre factorial, adică despre produsul tuturor numerelor consecutive începând de la și terminând cu numărul al cărui factorial se calculează. Mai concret, .

Combinări complementare

Despre combinări tare aș mai vrea să vă mai spun niște chestii. Întâlnim uneori așa-numitele „combinări complementare”, adică niște combinări interesante ce apar în perechi, asfel încât numerele lor de sus adunate ne dau chiar numărul de jos.

Iată o pereche de combinări complementare. și . Aceste combinări complementare au proprietatea remarcabilă că SUNT TOCMAI EGALE. Mai exact .

Ei bine, vedeți voi ceva util în combinările-astea complementare? Absolut! Combinările complementare ne spun că dacă ni se cere să calculăm combinări cu numere mari, putem face să calculăm combinări cu numere mai mici, deci cu calcule mai ușoare.

Imaginați-vă cum ar trebui să calculați dacă nu ați ști că aceste combinări sunt de fapt egale cu combinările mult mai ușor de calculat.

Proprietăți remarcabile

Ei bine, nu vă pot lăsa în pace până când nu vă mai prezint niște proprietăți remarcabile ale combinărilor. Ia faceți voi bine și uitați-vă la formula următoare:

.

Nu vă lasă gura apă când vedeți așa ceva? Și, desigur, formula rămâne valabilă și dacă pun în locul lui patru de fapt cinci sau mai știu eu ce număr vă trece vouă prin minte.

Și pentru că nu mă pot mulțumi doar cu atât, vă mai arăt ceva:

Deci, suma combinărilor cu partea de sus pară este tot o putere a lui doi, doar că exponentul este mai mic cu o unitate decât în cazul sumei tuturor combinărilor.

Dar, asta înseamnă că și suma combinărilor cu partea de sus impară este tot atâta, adică avem și

,

căci numai așa totalul lor ne poate da .

Coeficienți binomiali

În fine, trebuie să vă spun că aceste combinări se mai numesc și „coeficienți binomiali”. De ce? Pentru că ele (ei) apar în binomul lui Newton, adică în formule de genul

.

Coeficienții termenilor din aceste formule (deci, combinările) pot fi aranjați foarte eficient sub forma unui triunghi, numit „triunghiul lui Pascal”.

Triunghiul lui Pascal este infinit, desigur, dar o parte din el puteți vedea mai jos

și puteți observa, de exemplu, că numărul 6 de pe rândul patru este suma celor două numere vecine aflate cu un rând mai sus, deasupra lui 6. Aceasta este o altă proprietate a combinărilor pe care o putem scrie în cazul nostru prin relația

.

Mai riguros, dar atunci și mai urât, putem scrie această formulă la modul general, adică cu literele corespunzătoare

.

Cu această ocazie observați că numărul de jos ne dă rândul din triunghiul lui Pascal, iar numărul de sus ne dă poziția în acel rând (se începe cu poziția zero).

De-aici încolo vă las pe voi să vă mai jucați cu combinările, dacă v-au plăcut.

Mai jos veți găsi filmulețul cu acest articol despre combinări.