Împărțirea polinoamelor și teorema împărțirii cu rest

Veți găsi în acest filmuleț foarte multă informație despre împărțirea polinoamelor, teorema împărțirii cu rest și despre modul de calcul al acestor împărțiri cu ajutorul calculatorului.

Arătați că rădăcina dublă a unui polinom este rădăcină și pentru derivata polinomului

Să notăm cu $P$ un polinom oarecare și cu $P'$ derivata acestuia. Apoi, să ne amintim că un polinom căruia îi cunoaștem rădăcinile (adică, numerele care îl anulează) poate fi scris ca un produs de paranteze cu acele rădăcini (căci un produs de paranteze se anulează doar atunci când cel puțin una dintre paranteze se anulează). De exemplu, polinomul $X^2-5X+6$, ale cărui rădăcini sunt $x_1=2$ și $x_2=3$, poate fi scris ca un produs de paranteze cu aceste rădăcini, adică avem $$X^2-5X+6=(X-2)(X-3).$$

Așadar, în general, un polinom de gradul $n$ poate fi scris ca un produs de $n$ paranteze cu cele $n$ rădăcini $x_1,\,x_2,\dots,\,x_n$, astfel: $$\color{blue}{aX^n+bX^{n-1}+\dots+c=a(X-x_1)(X-x_2)\dots(X-x_n)}.$$

Dar ce înseamnă „rădăcină dublă”? Înseamnă că acea rădăcină apare de două ori, deci apare în două paranteze. Mai înseamnă atunci că paranteza care o conține apare la puterea a doua. De exemplu, polinomul de gradul trei $X^3-X^2-8X+12$ are rădăcina dublă $x_1=x_2=2$, motiv pentru care el poate fi scris astfel: $$X^3-X^2-8X+12=ceva\cdot(X-2)^2.$$ Pentru acest polinom de gradul trei, $ceva=X+3$.

Prin urmare, în general, un polinom $P$ care are rădăcina dublă $x_1=x_2=d$ va putea fi scris astfel: $$P=ceva\cdot(X-d)^2.$$ Dacă rădăcina ar fi triplă, atunci paranteza ar apărea la puterea a treia. Și așa mai departe.

Sper că ați înțeles până aici cam care este legătura dintre multiplicitatea unei rădăcini și exponentul parantezei în care apare acea rădăcină.

Acum să vedem ce se întâmplă dacă derivăm polinomul $P$ care are rădăcina dublă $d$. Cum $P=ceva\cdot(X-d)^2$, înseamnă că derivata acestui polinom va fi derivata unui produs, deci vom aplica formula pentru derivata produsului, despre care știm că este $$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'.$$

Concret, $$P'=ceva'\cdot(X-d)^2+ceva\cdot[(X-d)^2]'.$$

Pe $[(X-d)^2]'$ îl putem calcula în două moduri: ori desfacem paranteza și derivăm termen cu termen, ori folosim mai bine și mai elegant proprietatea că $$(u^2)'=2u\cdot u'.$$ Astfel, $$[(X-d)^2]'=2(X-d)\cdot(X-d)'=2(X-d),$$ căci $(X-d)'=1$.

Prin urmare, $$P'=ceva'\cdot(X-d)^2+ceva\cdot 2(X-d).$$

Acest rezultat ne permite să observăm că dacă în locul necunoscutei $X$ din polinomul $P'$ punem rădăcina $d$, obținem anularea lui $P'$. Așadar, rădăcina dublă a lui $P$ este rădăcină și pentru $P'$. Adică exact ceea ce am dorit să arătăm.

De aici, mai departe, un elev isteț va trage concluzia că rădăcina triplă a unui polinom este de asemenea rădăcină atât pentru prima derivată a polinomului, cât și pentru cea de-a doua derivată a acestuia. Adică, în general, o rădăcină cu multiplicitatea $n$ a unui polinom este rădăcină de asemenea și pentru toate derivatele polinomului până la ordinul $n-1$ inclusiv. Dar, atenție!, ea nu mai este rădăcină pentru derivata de ordinul $n$ a polinomului, căci atunci multiplicitatea ei ar fi $n+1$, nu $n$.

Această proprietate este utilă atunci când vi se cere să determinați un polinom cu câțiva coeficienți necunoscuți în condițiile în care știți că un anumit număr este rădăcină multiplă a polinomului respectiv. 

Dacă, de exemplu, polinomul $P$ are trei coeficienți necunoscuți, atunci vi se va da o rădăcină cu multiplicitatea doi, pe care o veți înlocui în necunoscuta $X$ a lui $P$, a lui $P'$ și a lui $P''$ și veți obține un sistem de trei ecuații cu cei trei coeficienți necunoscuți ai polinomului, din care sistem va rezulta soluția problemei.

Teorema generalizată a restului

Având în minte problema pe care am primit-o acum trei zile la titularizare, vreau să vă vorbesc puțin despre polinoame și teorema restului.

Să presupunem că avem de rezolvat următoarea problemă:
Să se determine restul împărțirii polinomului $f=(X-1)^{10}+(X-2)^{12}$ la polinomul $g=X^2-5X+6$.

Dacă împărțim un polinom de gradul 100 la un polinom de gradul 73, restul împărțirii va avea gradul 72. Observați, deci, că gradul restului este mai mic cu o unitate decât gradul împărțitorului. Așadar, în cazul nostru, cum împărțitorul are gradul doi, înseamnă că restul va avea gradul unu. Dacă împărțitorul avea gradul trei, restul nostru avea gradul doi și problema era mai complicată puțin decât aceasta.

Dar ce grad ar fi avut restul dacă împărțitorul însuși ar fi avut gradul unu? Desigur, cu o unitate mai mică decât unu, deci gradul restului ar fi fost zero. Dar polinom de gradul zero înseamnă, de fapt, un număr, așadar, în acest caz foarte special și simplu, restul este un număr.

Să revenim deocamdată la problema noastră. Deci, restul problemei noastre are gradul unu. Este o informație prețioasă despre restul pe care trebuie să-l găsim. Altceva nu știm deocamdată despre acest rest, decât că este de gradul unu, o informație foarte prețioasă, de altfel, căci ne scutește de alte speculații privind complexitatea problemei. 

Dar cum arată un polinom de gradul unu pe care nu îl cunoaștem? Bineînțeles, un polinom de gradul unu are necunoscuta la puterea unu și atunci el nu poate arăta decât așa: $R=aX+b$  cu numerele $a$ și $b$ necunoscute. De aici încolo, problema rămâne doar să determinăm aceste două numere necunoscute.

Și cum putem determina, de regulă, două numere necunoscute? Cu un sistem de două ecuații și două necunoscute. Dar cum vom obține acel sistem? Ce informație matematică ne poate construi sistemul respectiv? Teorema împărțirii cu rest. Fără această teoremă am fi stat mult și am fi privit în zadar problema.

Această teoremă a împărțirii cu rest ne spune foarte clar că deîmpărțitul $D$ este egal cu câtul $C$ înmulțit cu împărțitorul $Î$ și adunat cu restul $R$. Mai exact, teorema împărțirii cu rest ne spune, deci, că 
$$D=C\cdot Î+R.$$ 

La noi $D=f$, $Î=g$ și $R=aX+b$, $C$ fiind un polinom necunoscut pe care l-am putea găsi dacă am face efectiv împărțirea lui $f$ la $g$. Și cum nu ni se cere acest polinom ciudat $C$ („C” vine de la „cât”, nu de la „ciudat” :D  ), noi nu are rost să-l luăm în calcul, ci, dimpotrivă, trebuie să facem ceva ca să scăpăm de polinomul acesta enervant $C$, care ne stă în coaste.

Ok, bine, bine, vedem noi teorema împărțirii cu rest, dar cum ne ajută aceasta să găsim sistemul necesar care să ne dea numerele $a$ și $b$, în așa fel încât să scăpăm și de pacostea reprezentată de polinomul $C$? Răspunsul la această întrebare este unul eliberator. Și tare m-aș bucura să vi-l amintiți la examene.

Nu uităm, deci, că vrem să scăpăm cumva de polinomul $C$. Dar observăm că polinomul $C$ este lipit de polinomul $Î$ prin înmulțire. Și cum despre polinomul $Î=g$ știm totul, pentru că ni s-a dat că $g=X^2-5X+6$, înseamnă că știm și cum să-l anulăm. Căci dacă-l anulăm pe $Î$, atunci facem să dispară orice este lipit de el prin înmulțire, căci zero înmulțit cu un alt polinom va fi tot zero. 

Iată, deci, care a fost șmecheria: să ne folosim de rădăcinile lui $Î$, despre care știm că îl anulează pe $Î$ (căci aia înseamnă „rădăcină”, numărul care face ca polinomul să se anuleze, deci numărul care pus în locul  lui $X$ ne dă zero).

Dar voi știți să găsiți rădăcinile lui $g=X^2-5X+6$, cu delta sau cu Viète, așa că nu voi insista aici, căci în mod sigur am vorbit despre așa ceva undeva, pe blogul meu, deja sau au vorbit alții, mai pe înțelesul vostru, poate, în altă parte. Deci, veți găsi că rădăcinile lui $g$ sunt $x_1=3$ și $x_2=2$ (produsul lor trebuie să ne dea 6, iar suma lor 5).

Cu aceste informații în minte, ne reamintim că teorema împărțirii cu rest ne spune că $D=C\cdot Î+R$, lucru care se poate scrie și mai amănunțit, folosindu-ne de necunoscuta $X$, $$D(X)=C(X)\cdot Î(X)+R(X).$$

Orice am pune în locul lui $X$ (deci chiar și rădăcinile lui $g$), relația dată de teorema împărțirii cu rest rămâne valabilă. Așadar, este valabil și faptul că  $$D(x_1)=C(x_1)\cdot Î(x_1)+R(x_1).$$

V-ați prins de idee? Observați acum cât de utile sunt rădăcinile lui $g$? Haideți să facem calculul de mai sus, ca să obținem ceva și mai curat. Cum $x_1=3$, cum $D=f$, $Î=g$ și $R=aX+b$, avem, deci, că $$f(3)=C(3)\cdot g(3)+a\cdot 3+b.$$

Și cum $g(3)=0$, căci $3$ este una dintre rădăcinile lui $g$, va rezulta că și $C(3)\cdot g(3)=C(3)\cdot 0=0$. Iată, deci, de ce nu ne-a păsat cum arată polinomul $C$, pentru că știam că vom găsi o metodă să scăpăm de el. Așadar, obținem atunci ceva și mai frumos și anume: $$f(3)=0+3a+b.$$

Dar pe $f(3)$ știm să-l calculăm. Căci $$f(3)=(3-1)^{10}+(3-2)^{12}=2^{10}+1=1025.$$ 

Așadar, am obținut că $$1025=3a+b,$$ ceea ce reprezintă tocmai prima ecuație a sistemului căutat de două ecuații cu două necunoscute.

Similar, pentru a doua ecuație ne vom folosi de a doua rădăcină a lui $g$ și vom obține
$$D(x_2)=C(x_2)\cdot Î(x_2)+R(x_2),$$ adică
$$f(2)=C(2)\cdot g(2)+a\cdot 2+b.$$ Cum $$f(2)=(2-1)^{10}+(2-2)^{12}=1,$$ obținem cea de-a doua ecuație drăguță a sistemului, adică $$1=2a+b.$$ Această ecuație, pusă lângă ecuația precedentă $1025=3a+b$, va constitui un sistem de două ecuații cu două necunoscute 
$$\begin{cases}3a+b=1025\\2a+b=\,\,\,\,\,\,\,1\end{cases},$$

pe care îl puteți rezolva ușor cu una dintre metodele pe care le știți deja, adică cu metoda substituției, reducerii sau Cramer (recomand, desigur, metoda reducerii aici). Rezolvând sistemul (scăzând, de exemplu, din prima linie pe cea de-a doua), obținem că $a=1024$ și $b=-2047$. 

Așadar, restul căutat va fi $$\color{red}{R=aX+b=1024X-2047}.$$

Ce ziceți, facem o mică recapitulare? Ca să vedem de ce este vorba despre teorema generalizată a restului. 

Așadar, dacă împărțitorul are gradul $n$, atunci restul are gradul $n-1$. În acest caz, pentru a determina restul, ne trebuie un sistem de $n$ ecuații cu $n$ necunoscute, necunoscute ce reprezintă tocmai coeficienții restului. Cele $n$ ecuații ale sistemului se obțin cu ajutorul celor $n$ rădăcini ale împărțitorului, rădăcini ce vin înlocuite în relația dată de teorema împărțirii cu rest.

Cel mai simplu caz este acela în care împărțitorul are gradul unu, caz în care el are o singură rădăcină (să o notăm cu $a$), restul este de gradul zero, deci este un simplu număr, notat cu $r$, iar „sistemul” de $n$ ecuații devine, de fapt, o singură ecuație care spune că $$f(a)=r,$$ deci ne spune că restul împărțirii este tocmai f(a). Aceasta este teorema simplă a restului, negeneralizată. Cea generalizată este pentru împărțitor de grad mai mare decât unu.

Așadar, în general putem spune atunci că restul $R$ al împărțirii unui polinom $D$ de grad mai mare decât $n$ la un polinom $Î$ de grad $n$ este dat de un sistem de $n$ ecuații cu $n$ necunoscute (aceste necunoscute sunt tocmai coeficienții restului căutat) care sistem se obține prin folosirea relației $D(X)=C(X)\cdot Î(X)+R(X)$ pentru fiecare dintre cele $n$ rădăcini (deci, prin înlocuirea necunoscutei $X$ cu rădăcinile lui $Î(X)$).

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2c

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Demonstrați că polinomul $f$ are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.

Ei? Asta da, asta deja este o problemă ce dă oarece bătăi de cap. Cum dumnezeu să demonstrăm că polinomul dat are cel mult o rădăcină întreagă, că în liceu nu se învață nimic asemănător, nicio regulă care să ne ducă pe o cale regală către o asemenea demonstrație? Atunci ce trebuie să facă elevul?

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2b

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Determinați numărul real $a$ pentru care $x_1^3 +x_2^3+x_3^3=2016-4a$, unde $x_1$, $x_2 $ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Ce sunt rădăcinile unui polinom? Sunt acele numere care anulează funcția polinomială asociată polinomului dat. Așadar, dacă înlocuim pe $x$ cu o rădăcină (să zicem, cu $x_1$), obţinem rezultatul zero. Adică, $$f(x_1) =0.$$

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2a

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Arătați că $f(0)=a$.

Vai, dar ce grea este problema asta! Vedeți câtă grijă are examinatorul? Are grijă să ne mai și odihnim între timp. Problema asta este pentru odihnă și pentru recuperarea timpului.

Oricărui polinom i se asociază o funcție polinomială. Polinomului nostru i se asociază funcția $f(x) =x^3 - 5x+a$. Sper că ați observat deosebirea dintre polinom și funcția polinomială, deosebirea dintre majuscula $X$ și minuscula $x$. Iată că în matematică trebuie să fim atenți chiar și la asemenea chestii.

Așadar, pentru a calcula $f(0)$, va trebui ca în funcția polinomială atașată polinomului nostru să-l înlocuim pe $x$ cu $0$. Obținem, deci, $$\color {red} {f(0)} =0^3 - 5\cdot 0+a=0-0+a=\color{red} {a}, $$ ceea ce trebuia demonstrat. 

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 2.c

Fie polinomul $f=X^3+mX-3$, unde $m$ este un parametru real. Arătați că dacă $m>0$, atunci polinomul are două rădăcini de același modul.



Știm că orice polinom (cu coeficienți reali) de gradul 3 are 3 rădăcini, așa cum orice polinom (cu coeficienți reali) de gradul $n$ are $n$ rădăcini. Este o cunoștință foarte prețioasă și fundamentală, oricât de banală ar părea.

Din păcate, să nu uitați, această cunoștință este valabilă doar pentru polinoamele ai căror coeficienți sunt numere reale. Căci, de exemplu, dacă luăm un polinom cu coeficienți în $\mathbb{Z_4}=\{\hat 0;\,\hat 1;\,\hat 2;\,\hat 3\}$ (mulțimea claselor de resturi modulo 4), polinom dat de $g(X)=\hat 2X+\hat 2$, acesta va avea două rădăcini ($x_1=\hat 1$ și $x_2=\hat 3$), deși gradul polinomului este unu.

Ok. Deci, știm că polinomul nostru are sigur trei rădăcini. De regulă, notăm rădăcinile polinomului ca fiind $x_1$, $x_2$ și, respectiv, $x_3$. Acum noi trebuie să arătăm că două dintre ele au același modul.

Unui elev care știe ceva matematică îi vine în minte o informație foarte prețioasă legată de această problemă: rădăcinile nereale (adică, cele care au și parte imaginară) vin în perechi. Mai exact, elevul își va aminti că dacă un polinom are rădăcina complexă $z=a+bi$, atunci el are musai și rădăcina conjugată $\overline{z}=a-bi$.

Și cum de îi vine lui în minte așa ceva? De ce se gândește elevul bun neapărat la faptul că numerele complexe vin în perechi? De unde vine această intuiție formidabilă a elevului? Răspunsul se află în formularea problemei, pentru că problema amintește despre două rădăcini și pentru că elevul știe că rădăcina complexă $z=a+bi$ are exact același modul cu rădăcina complexă conjugată, adică $|z|=|\overline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Așadar, elevul are deja în minte planul rezolvării problemei. El va arăta întâi că în condițiile date (deci cu $m$ strict pozitiv) polinomul nu poate avea toate rădăcinile reale. Astfel, cel puțin una dintre rădăcini va trebui să fie nereală (deci, cu partea imaginară nenulă). Dar dacă una dintre rădăcini este nereală, atunci și a doua va fi nereală (tocmai conjugata ei). Ba, mai mult, și a doua va avea același modul ca și prima. Și gata!

Ia să vedem atunci. Să arătăm împreună cu istețul nostru elev că rădăcinile polinomului nostru nu pot fi toate reale. Asta-i cel mai greu. Cum am putea arăta că rădăcinile noastre nu pot fi toate reale?

De regulă, pentru a arăta că ceva nu este adevărat, presupunem prin absurd că acel ceva este adevărat și continuăm un raționament corect până când ajungem la o contradicție. Așadar, noi vom presupune prin absurd că toate rădăcinile polinomului nostru sunt reale. Și căutăm să vedem la ce contradicție ajungem.

Și nici măcar nu vom merge la întâmplare, căci știm chiar și ce contradicție căutăm. Căutăm o contradicție între faptul absurd pe care l-am presupus, anume că toate rădăcinile sunt reale, și faptul care ni se dă în problemă și anume că $m$ este strict pozitiv. Pe-aici pe undeva se ascunde contradicția căutată. Așadar, ne vom gândi cum putem crea o contradicție între faptul că trei numere sunt reale și faptul că un alt număr este mereu strict pozitiv. Deci, trebuie să ne gândim la o inegalitate care poate fi creată între trei numere reale și un număr pozitiv.

Aha! Sub influența acestor căutări, ne vine în minte una dintre cele mai importante inegalități din matematică: dacă $x$ este număr real, atunci $x^2\ge 0$. Înseamnă că ar trebui să facem cumva legătura între ceva expresie cu pătratul rădăcinilor și numărul $m$.

Pătratul rădăcinilor! Ia să ne gândim la pătratul rădăcinilor. Cum putem să ne gândim la pătratul tuturor celor trei rădăcini? Cred că numai făcând suma pătratelor acestora. Așadar, ne interesează expresia de forma $x_1^2+x_2^2+x_3^2$. Vrem să cunoaștem semnul acestei expresii, pentru a-l compara cu semnul lui $m$.

Este clar că pentru ceea ce urmează vom avea nevoie de minunatele relații ale lui Viète pentru un polinom de gradul trei, pentru că numai acolo putem să găsim suma rădăcinilor și suma pătratelor acestora. Iar acest lucru îl va simți elevul care cunoaște relațiile dintre coeficienți și rădăcini.

Pentru aceasta, ne amintim că există formula de calcul prescurtat
$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc),$$
din care rezultă apoi că
$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc).$$

Aplicăm această relație la rădăcinile polinomului nostru. Adică, avem
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).$$

Ne apropiem acum de finalul rezolvării, căci în expresia de mai sus vom folosi relațiile lui Viète. Relațiile lui Viète ne spun, printre altele, că
$$x_1+x_2+x_3=-\frac{\text{coeficientul din fața lui }X^2}{\text{coeficientul dominant}}$$
și
$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{\text{coeficientul din fața lui }X}{\text{coeficientul dominant}}.$$

Asta înseamnă că
$$x_1+x_2+x_3=-\frac{0}{1}=0$$
și
$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{m}{1}=m.$$

Atunci,
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=0-2m=-2m.$$

Dar $-2m$ este un număr negativ, din moment ce $m$ este strict pozitiv. Adică, am obținut că suma pătratelor rădăcinilor este un număr negativ. Dar acest lucru vine în contradicție cu presupunerea că toate rădăcinile sunt numere reale, căci ar fi trebuit să obținem că suma pătratelor a trei numere reale este un număr pozitiv.

Așadar, am demonstrat riguros, în sfârșit, că rădăcinile polinomului nostru nu pot fi toate reale. Atunci cum pot fi rădăcinile? Toate sunt rădăcini nereale? Nuuuu! Doar am văzut mai sus că rădăcinile complexe vin în perechi. Așadar, nu putem avea trei rădăcini nereale, ci numai două. Iar acele două sunt conjugate, după cum am văzut mai sus. Și tot mai sus am văzut că rădăcinile complexe conjugate au același modul. Iar acestea fiind spuse, am finalizat rezolvarea.




Desigur, voi la bac nu va trebui să-i explicați examinatorului atâtea detalii, căci el știe bine cu ce se mănâncă matematica. Lui îi veți scrie că din relațiile lui Viète rezultă că avem și rădăcini nereale și îi veți menționa că știți că rădăcinile nereale vin în perechi conjugate care au același modul.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 2.b

Fie polinomul $f=X^3+mX-3$, unde $m$ este un parametru real. Determinați numărul real $m$, în cazul în care polinomul $f$ este divizibil cu $X+1$.




Pentru a găsi numărul $m$ în așa fel încât polinomul dat să fie divizibil cu $X+1$ aș vrea să ne amintim întâi ce înseamnă faptul că două polinoame se divid.

Pentru aceasta să ne amintim ce știm despre divizibilitate în cazul numerelor. Când sunt divizibile două numere? Atunci când restul împărțirii lor este nul.

La fel, două polinoame sunt divizibile, dacă restul împărțirii lor este nul. Prin urmare, pentru a găsi parametrul căutat $m$ în cazul în care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$ trebuie să pornim de la nulitatea restului.

Dar mai întâi trebuie să cunoaștem restul și abia apoi îl vom egala cu zero. Cât o fi restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X+1$? Mai exact, cum ar depinde acest rest de numărul $m$?

Ei bine, există cel puțin trei modalități de a găsi restul împărțirii polinomului oarecare $f$ la polinomul $X-a$, unde $a$ este un număr oarecare:

1. Metoda băbească, împărțirea propriu-zisă a celor două polinoame și aflarea restului la finalul împărțirii. Aceasta este cea mai primitivă metodă de calcul al restului și nu face cinste unui elev de M1. De aceea, elevul de M1 va trebui să se gândească imediat la altă metodă, mult mai eficientă.
2. Schema lui Horner. Această metodă constă într-un algoritm minunat de recurență pentru împărțirea cu $X-a$, bazat pe un tabelaș drăguț în care apar numai coeficienți. La finalul calculului apare tocmai restul împărțirii.
3. Cea mai genială metodă este bazată tocmai pe teorema împărțirii cu rest. Această teoremă spune că polinomul $f$ poate fi scris ca $f(X)=\text{Câtul}(X)\cdot(X-a)+\text{Restul}$. Mai departe trebuie să observăm ceva șmecheresc: dacă în această teoremă punem în loc de $X$ tocmai $a$ obținem tocmai restul! Cum așa? Iată cum: $$f(a)=\text{Câtul}(a)\cdot\color{blue}{(a-a)}+\text{Restul}=\color{blue}{0}+\text{Restul}=\text{Restul}.$$ Adică, în cuvinte, restul împărțirii unui polinom $f(X)$ la $X-a$ este tocmai $f(a)$!

Propoziția evidențiată cu verde este magică! Ea ne scutește de o groază de lucru. Și cu o asemenea cunoștință elevul de M1 se poate mândri. Vă dați seama că un elev slăbuț s-ar fi apucat sărăcuțul de împărțirea celor două polinoame și ajungea la restul dorit abia la sfârșitul împărțirii, dacă avea mare grijă să nu greșească vreun semn la împărțire.





Deci, noi vom folosi cea mai modernă modalitate de a rezolva problema, adică:

•  vom calcula $f(a)$, adică, la noi $a$ fiind $-1$ (căci din $X-a=X+1$ rezultă că $a=-1$),
•  vom egala rezultatul cu zero (căci restul trebuie să fie nul) și
•  vom găsi soluțiile ecuației care se va naște astfel.

Zis și făcut. Să vedem cât este $f(a)$. Avem $f(a)=f(-1)=(-1)^3+m\cdot(-1)-3=-1-m-3=-m-4$. Acum egalăm acest rezultat cu zero și avem $-m-4=0$, deci $\color{red}{m=-4}$.

În final vreau să fac o mică sinteză pentru a denumi durabil proprietățile pe care le-am folosit. Cele două proprietăți importante pe care le-am folosit au fost:

1. Pentru ca un polinom $f$ să fie divizibil cu $X-a$ trebuie ca restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ să fie nul.
2. Restul împărțirii unui polinom la $X-a$ este $f(a)$.

Din cele două proprietăți rezultă că un polinom $f$ se divide cu $X-a$ dacă $f(a)=0$. Acest rezultat se numește teorema lui Bézout. Așadar, pentru rezolvarea problemei, elevul trebuia să cunoască teorema lui Bézout.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 2.a

Fie polinomul $f=X^3+mX-3$, unde $m$ este un parametru real.

Pentru $m=2$, arătați că $f(1)=0$.



Adică trebuie întâi să rescriem polinomul nostru punând în locul lui $m$ numărul $2$. Obținem o frumusețe de polinom $f=X^3+2X-3$. Apoi trebuie să calculăm $f(1)$, adică trebuie să vedem cât obținem dacă în frumosul nostru polinom punem peste tot unde vedem $X$ numărul $1$.

După toate acestea avem, deci,
$$\color{red}{f(1)}=1^3+2\cdot 1-3=1+2-3=\color{red}{0},$$

calcul care încheie, fără complicații, rezolvarea problemei.