Să calculăm integrala
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\cos^3x dx$$
Integrala dată este o integrală trigonometrică, deoarece conține funcții trigonometrice. Pentru a o calcula vom face o magie, numită „schimbare de variabilă”. Schimbarea de variabilă este un fel de notație; mai exact, înlocuim o expresie urâtă cu o singură literă, cu speranța că integrala noastră va deveni mai simplă.
Schimbarea noastră de variabilă va fi
$$t=\sin{x}.$$
De unde am știut ce schimbare de variabilă să fac? Veți găsi răspunsul singuri, după ce veți înțelege finalul. Veți vedea de ce am anticipat modul în care se va transforma integrala.
Așadar, dacă admitem că facem schimbarea de variabilă $t=\sin x$, atunci trebuie să admitem că se vor schimba și limitele de integrare corespunzător. Mai exact, dacă integrala inițială trebuia calculată de la $0$ la $\frac{\pi}{2}$, noua integrală va trebui calculată de la $\sin 0$ la $\sin{\frac{\pi}{2}}$, adică, de la $0$ la $1$.
Mai mult, dacă integrala inițială conținea litera $x$, această litera va trebui să dispară complet din noua integrală și în locul ei va apărea cumva noua literă $t$. Pentru ca această schimbare să reușească complet este necesară și înlocuirea particulei „$dx$” (numită „diferențială”), căci și această particulă conține litera $x$. Aceasta este una dintre cele mai grele sarcini, dar nu imposibilă. Așadar, să vedem cum procedăm.
Dacă $t=\sin x$, atunci $t$ devine o nouă funcție care depinde de variabila $x$, pe care o putem deriva în raport cu variabila $x$ pentru a descoperi cum vom obține noua diferențială. Cum derivata funcției sinus este funcția cosinus, vom avea că
$$t'=\cos x,$$
ceea ce înseamnă că puteți înlocui în integrala veche produsul „$\color{blue}{\cos x dx}$” cu diferențiala nouă „$\color{blue}{dt}$”. În general, această regulă de schimbare a diferențialei este că produsul „$t'dx$” devine simplu „$dt$”.
Zis și făcut. Acum, descompunând produsul $\cos^3 x$ în $\cos^2 x\cos x$, pentru a putea evidenția mai bine produsul „$\color{blue}{\cos x dx}$” și amintindu-ne că din teorema fundamentală a trigonometriei rezultă că putem înlocui $\color{green}{\cos^2 x}$ cu $1-\sin^2 x=\color{green}{1-t^2}$, vom putea rescrie integrala noastră astfel:
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\cos^3x dx=$$
$$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\color{green}{\cos^2 x}\color{blue}{\cos x dx}=$$
$$\int_0^1 t^4 \color{green}{(1-t^2)} \color{blue}{dt}.$$
Această ultimă integrală se calculează mai ușor decât integrala inițială, căci este o integrală polinomială. Mai exact, folosindu-ne de o formulă de integrare pe care o găsim în tabele,
$$\color{red}{\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C},$$
prin desfacerea parantezei putem scrie integrala noastră mai simplu ca fiind
$$\int_0^1 t^4(1-t^2) dt=$$
$$=\int_0^1 t^4-t^6 dt=$$
$$=\int_0^1 t^4 dt-\int_0^1 t^6 dt=$$
$$=\left.\frac{t^5}{5}\right|_0^1-\left.\frac{t^7}{7}\right|_0^1=$$
$$=\frac 1 5-\frac 1 7=\frac{7-5}{35}.$$
Desigur, cei mai grăbiți, care vor și pot să beneficieze de avansul tehnologic al omenirii, pot accesa direct linkul corespunzător de la wolframalpha și obțin rezultatul calculului pentru integrala inițială în câteva secunde.
