Am început să creez teste-fulger automatizate

Fiind preocupat mereu de o evaluare foarte eficientă a elevilor mei, de o prezentare sintetică a cunoștințelor pe care trebuie să le acumuleze aceștia, precum și de eliberarea lor definitivă de meditațiile în particular, am conceput un sistem care generează din minut în minut un număr nelimitat de teste-fulger automatizate pe care am să vi le descriu mai jos.

În prima imagine vedeți un instantaneu al fișierului pentru clasa a 5-a fără răspunsuri, iar în a doua imagine apare fișierul cu răspunsuri. La fiecare încărcare a fișierului apar alți itemi, deoarece apariția lor este condiționată de numere pseudoaleatoare care fac apel la fișierul de bază ce conține momentan 300 de probleme de clasa a cincea.

În antetul testului apare timpul aproximativ în care un elev cu cunoștințe medii ar trebui să rezolve toate problemele din test. Desigur, părintele sau profesorul care va folosi testul poate mări sau micșora proporțional durata testului după dorință, în funcție de capacitățile elevilor sau de viteza lor de reacție. Mai precis, dacă elevii sunt foarte slabi, profesorul sau părintele poate dubla sau tripla timpul corespunzător itemilor, în timp ce elevii foarte rapizi pot înjumătăți timpul de rezolvare.

Pe ultima coloană apare punctajul aferent itemului corespunzător, determinat în funcție de durata asociată pentru rezolvarea lui. După rezolvarea testului de către elev, profesorul sau părintele va totaliza numai punctajul aferent itemilor rezolvați corect, la care va adăuga cele 10 puncte din oficiu, obținând astfel numărul de puncte ce poate fi acordat elevului pentru rezolvare.   

Recomand părinților să achiziționeze fișierul de teste cu răspunsuri, chiar dacă este mai scump, deoarece vor putea evalua ei înșiși elevul. Mai mult, dacă nu va avea nevoie de explicații suplimentare, este posibil ca, rezolvând un număr convenabil de teste din fișier și confruntându-și răspunsurile proprii cu cele corecte, elevul să acumuleze de unul singur din teste multe cunoștințe care i-ar putea permite să se descurce ulterior fără profesor meditator.

De asemenea, recomand părinților care au achiziționat fișierul cu răspunsuri și care doresc să-și evalueze astfel copilul, să realizeze o captură de ecran cu testul instantaneu și să acopere manual prin editare răspunsurile, pentru ca elevul să nu le vadă înainte de evaluare, desigur. Nu uitați să capturați testul cât mai curând, altfel există riscul să se schimbe după un interval de timp datorită reîmprospătării serverului.

Deocamdată, la momentul scrierii acestui articol, am lucrat și lucrez doar pentru fișierul de clasa a cincea și am reușit să acumulez 300 de itemi. De-a lungul timpului voi adăuga din ce în ce mai mulți itemi, prețul abonamentului anual rămânând însă neschimbat pentru tot anul școlar 2021-2022, dar prețul abonamentului lunar putându-se modifica în funcție de numărul de itemi pe care am reușit să-i creez. De aceea, cei care se abonează pentru întregul an școlar 2021-2022 vor fi foarte avantajați.

Calculați 25% din 100.

Ni se cere să calculăm 25% din 100. Orice procent din 100 este egal cu acel procent. Deci, în cazul nostru, răspunsul este 25. Dacă ar fi cerut 25% din 200, atunci răspunsul era dublul lui 25, căci 200 este dublul lui 100. În altă ordine de idei, 25% din ceva înseamnă un sfert din acel ceva. 50% din ceva înseamnă jumătate din acel ceva. 10% din ceva înseamnă o zecime din acel ceva. De exemplu, dacă ni s-ar fi cerut să calculăm 10% din 80, rezultatul era 8, căci a zecea parte din 80 este 8. Dacă ni s-ar fi cerut să calculăm 20% din 80, atunci rezultatul era dublul lui 10% din 80, căci 20 este dublul lui 10. Și încă ceva: 20% din 80 este ca și 80% din 20, iar această proprietate este valabilă oricând și pentru orice numere. Așadar, dacă veți constata vreodată că ar fi mai ușor să calculați procentul cerut prin comutarea numerelor, atunci nu ezitați să faceți comutarea, pentru că veți obține rezultatul corect și după comutare. De exemplu, dacă vi s-ar cere să calculați 35% din 40, calculele ar putea părea greoaie, așa că mai bine să comutăm. Vom calcula 40% din 35 și vom ține seama de faptul că 10% din 35 este 3,5, iar acest număr va fi înmulțit apoi cu 4, pentru că 40 este de patru ori mai mare decât 10. Așadar, 35% din 40=40% din 35=14.

Compararea fracțiilor ordinare

Știm că o fracție ordinară este un număr de forma $\frac 2 3$ (deci, scris cu linie de fracție), spre deosebire de o fracție zecimală, care este un număr de forma $3,12$ (deci, scris cu virgulă).

Fracții cu același numitor (semnul dintre numărători)

Ei bine, putem compara ușor două fracții ordinare dacă acestea au același numitor, adică dacă numărul de jos, de sub linia de fracție este la fel. De exemplu, fracțiile

 $\frac 2 5$ și $\frac 3 5$

se pot compara foarte ușor deoarece au același numitor. Mai precis, pentru a compara două fracții care au același numitor n-avem decât să comparăm numărătorii, căci fracțiile de acest gen cu numărătorul mai mic sunt ele însele mai mici decât fracțiile cu același numitor, dar cu numărătorul mai mare. Așadar, dacă vrem să comparăm fracțiile

 $\frac 2 5$ și $\frac 3 5$,

constatăm că 2<3 și tragem concluzia simplă că acest semn „<” se poate pune și între cele două fracții. Deci, dacă avem că 2<3, atunci avem și că

 $\frac 2 5<\frac 3 5$.

De altfel, cele mai ușor de comparat fracții sunt cele care au același numitor. Ați văzut deja cât de ușor este să comparăm asemenea fracții. Dar, o mică problemă este cu fracțiile care nu au același numitor. Ce ne facem cu asemenea fracții? 

Fracții cu același numărător (semnul invers dintre numitori)

Păi, printre fracțiile care nu au același numitor, există fracții care au măcar același numărător. Haideți să vedem dacă putem compara două fracții care, chiar dacă nu au același numitor, au măcar același numărător. Să zicem că vrem să comparăm fracțiile cu același numărător

 $\frac 5 2$ și $\frac 5 3$.

Cum procedăm? Oare să fie tot așa de simplu, precum a fost la fracțiile cu același numitor? Nici vorbă! Aici lucrurile se schimbă fundamental! Mai exact, semnul acela se inversează cu totul! Deci, deși în cazul nostru avem în continuare că 2<3, totuși semnul dintre cele două fracții se va inversa, pur și simplu, și vom avea 

 $\frac 5 2>\frac 5 3$.

Deci, o mică recapitulare. Dacă două fracții au același numitor, atunci fracția cu numărătorul mai mic este ea însăși mai mică. Iar la fracțiile cu același numărător, fracția cu numitorul mai mic va fi mai mare decât fracția cu numitorul mai mare.

Ei, ce ziceți, suntem gata cu compararea fracțiilor ordinare? Știm să comparăm orice două astfel de fracții? Nicidecum! Ne-au mai rămas de comparat cele mai urâte fracții ordinare, acelea care nu au nici numitorul la fel, dar nici numărătorul la fel. Cum dumnezeu facem cu asemenea fracții? Cum le vom compara? 

Fracții urâte (semnul dintre numărători după amplificare)

Hmmmm... Păi, asemenea fracții nici nu pot fi comparate în forma lor brută. Trebuie să le modificăm cumva ca să le aducem sau la același numitor sau la același numărător. Și dacă tot facem o asemenea modificare, atunci preferăm de regulă să le aducem la același numitor, ca să nu ne încurcăm cu semnul, căci ați văzut că cea mai simplă comparație este la fracțiile cu același numitor.

Bine, bine, dar cum reușim să aducem două fracții la același numitor? Ei, asta nu e o treabă ușoară! Dar nici nu e de speriat. Putem să modificăm numitorul unei fracții fără să greșim, dacă facem ceea ce se numește „amplificarea” fracției, adică dacă înmulțim atât numărătorul fracției, cât și numitorul acestei fracții cu același număr.

De exemplu, dacă amplificăm fracția $\frac 2 3$ cu 7, obținem fracția echivalentă $\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21}$. Așadar, prin amplificarea unei fracții putem să jonglăm cu numitorul ei și îl putem face să devină aproape orice număr dorim noi.

Ei bine, pentru a putea compara două fracții urâte, precum 

 $\frac 7 2$ și $\frac 5 3$,

regula cea mai simplă este să amplificăm ambele fracții cu numitorul celeilalte și atunci vom obține alte două fracții, care sunt respectiv echivalente (egale) cu primele, dar care, din fericire, acum vor avea același numitor și vor putea fi comparate foarte ușor.

Astfel, semnul dintre fracțiile

 $\frac 7 2$ și $\frac 5 3$

va fi același cu semnul dintre fracțiile

 $\frac{7\cdot 3}{2\cdot 3}$ și $\frac{5\cdot 2}{3\cdot 2}$,

deci, dintre fracțiile

 $\frac{21}{6}$ și $\frac{10}{6}$.

Astfel, din două fracții urâte, respectând regula amplificării, am obținut cele mai frumoase fracții, adică acelea care au același numitor. Deci, cum 21>10, obținem că 

 $\frac{21}{6}>\frac{10}{6}$,

de unde rezultă în sfârșit că și 

 $\frac{7}{2}>\frac{5}{3}$.

Așadar, în rezumat, dacă doriți să comparați două fracții urâte, întâi trebuie să le faceți frumoase prin amplificare și abia apoi le veți putea compara cu adevărat.

Cel mai mare divizor comun este, de fapt, mititel

Există un paradox al celui mai mare divizor comun, pe care mulți elevi de gimnaziu îl urăsc. Păi, dacă e CEL MAI MARE, atunci de ce este mic? Ce se întâmplă, de fapt?

Să studiem, de exemplu, numerele 18 și 24. Să le găsim cel mai mare divizor comun, ca să ne lămurim cum e cu paradoxul acesta supărător.

Întâi facem o listă cu divizorii lui 18, apoi cu cei ai lui 24, după care vom găsi cel mai mare divizor comun. Zis și făcut.

Divizorii lui 18. Cum îi găsim? Hmmm... Păi, începem cu 1, căci 1 este divizor al oricărui alt număr natural. Dar, dacă l-am găsit pe 1, atunci automat am găsit și perechea lui 1, care este 18. (Am numit „pereche” acel cuplu de divizori care prin înmulțirea lor ne dau exact 18.) Apoi, un alt divizor al lui 18 ar fi 2, căci 18 se împarte exact cu 2. Observați că nu am sărit de la 1 la 3, ci m-am străduit să găsesc divizorii într-o oarecare ordine crescătoare. Așadar, până în prezent i-am găsit pe 1, 18 și 2. Mai departe, mă gândesc la perechea lui 2, adică la 9, căci 2 înmulțit cu 9 ne dă 18. Următorul divizor va fi 3 și perechea lui, 6. Și cam atât, căci nu mai găsim numere cu care 18 să se poată împărți exact. Deci, putem construi o listă frumoasă cu divizorii lui 18: $$D_{18}=\lbrace 1,2,3,6,9,18\rbrace.$$

Divizorii lui 24. Procedând ca și pentru 18, vom găsi $$D_{24}=\lbrace 1,2,3,4,6,8,12,24\rbrace.$$ Am avut grijă să pun și la 24 toate perechile posibile.

Așadar, până aici am găsit divizorii lui 18 și ai lui 24. Să vedem mai departe care sunt divizorii comuni, adică divizorii care se găsesc atât în lista lui 18, cât și în lista lui 24. Desigur, primul divizor comun este 1, căci el se află și în $D_{18}$ și în $D_{24}$. Altul este 2, apoi 3 și apoi 6. Și cam atât. Putem construi o listă cu ei ca să îi vedem mai bine: $$DC_{18,24}=\lbrace1,2,3,6\rbrace.$$

Ei bine, care este cel mai mare dintre acești divizori? Desigur, 6. Cum este acest 6 față de 18 și 24? Desigur, mai mititel. Cu toate că vorbim despre cel mai mare divizor comun, asta nu înseamnă că el este mai mare decât 18 și 24. 

Și să mai clarificăm un aspect. De ce nu este interesant și n-am auzit niciodată despre „cel mai mic divizor comun”? Pentru că cel mai mic divizor comun pentru două numere naturale va fi întotdeauna 1 și nu trebuie să depunem niciun efort deosebit pentru a-l găsi. Tocmai de aceea nu este relevant cel mai mic divizor comun, ci doar cel mai mare.



Dar lucrurile stau similar și pentru cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 24. Deși titulatura îi spune că este mic, el este de fapt mai mare decât 18 și decât 24. Dacă veți face o listă cu multiplii lui 18 și cu cei ai lui 24, veți constata că cel mai mic multiplu comun al lor este 72. Acest număr este multiplu și de 18 (căci 72 se împarte exact cu 18), dar și de 24. Și este cel mai mic dintre toți multiplii comuni ai celor două numere.

Ei bine, care o fi cel mai mare multiplu comun și de ce nu este interesant de găsit? De ce nu căutăm niciodată cel mai mare multiplu comun, ci doar pe cel mai mic? Păi, așa cum cel mai mic divizor comun este neinteresant, fiind 1, tot astfel, cel mai mare multiplu comun este neinteresant, căci el este tocmai infinit de mare. Infinitul este un multiplu comun atât pentru 18, cât și pentru 24, dar este multiplu comun pentru orice alte două numere naturale nenule. Așa că el nu aduce nicio informație interesantă în studiul multiplilor. Bineînțeles, problema cu infinitul ăsta este un pic mai complicată, dar măcar v-ați făcut o idee de ce nu căutăm cel mai mare multiplu comun, ci doar pe cel mai mic.



În concluzie, cel mai mare divizor comun al lui 18 și 24 este mai mic decât 18 și decât 24, iar cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 24 este mai mare decât 18 și decât 24. Și sper că acest articol v-a adus mai multă lumină în ceea ce privește aceste două noțiuni importante.

O regulă mnemotehnică pentru semnele divizibilității

Am întâlnit foarte mulți elevi cu dilema semnelor $|$ și $\vdots$, așa că în acest articol a venit vremea lor.

Avem următoarea convenție de semn:

$3\color{red}{|}15$ înseamnă „3 îl divide pe 15”.

Observați că bara verticală a relației „îl divide pe” am colorat-o cu roșu și tot cu roșu am colorat și litera „l” din cuvântul „îl”. Cele două semne seamănă izbitor, așa că nu mai puteți uita ce înseamnă bara verticală.





Și, bineînțeles, pentru cele trei puncte verticale ne rămâne cealaltă semnificație și anume:

$15\color{blue}{\vdots} 3$, care înseamnă „15 se divide cu 3”.