Sensul unui vector. Orientare. Clasa a IX-a.

Problema 5 din ultimul test ne cere vectorul opus al unui vector. Datorită faptului că un vector este orientat, contează ordinea în care scriem cele două litere care definesc vectorul. Așadar, vectorul XK nu este tot una cu vectorul KX. 

Este adevărat, cei doi vectori XK și KX nu diferă foarte mult între ei, căci au aceeași direcție și același modul. Singurul lucru prin care diferă ei este sensul. Dacă unul dintre ei pleacă „în sus”, celălalt va pleca „în jos”. Dacă unul dintre ei pleacă „spre dreapta”, celălalt va pleca „spre stânga”, iar dacă unul dintre ei va pleca „înainte”, celălalt va pleca „înapoi”. Am pus ghilimele pentru a mă referi la o orientare universală, independentă de suprafața Pământului.

Din acest motiv, cei doi vectori se numesc „opuși”. Așadar, dacă vi se va mai cere vreodată vectorul opus lui XK să știți că vi se cere de fapt vectorul ale cărui litere sunt comutate, adică vectorul KX.

Relația vectorială a lui Chasles

Liceenii de clasa a IX-a încep să învețe despre minunații vectori, adică despre acele entități matematice care au și direcție, nu doar valoare, adică au o mai mare legătură cu spațiul decât numerele simple învățate de ei în gimnaziu. Vectorii sunt determinați de perechi ordonate de puncte din spațiu și putem face cu ei operații matematice precum adunarea, scăderea și chiar înmulțirea (doar că înmulțirea este de trei tipuri: cu scalari, scalară și vectorială).

Relația lui Chasles ne spune că dacă adunăm doi vectori în care al doilea vector începe cu litera cu care se termină primul vector, atunci rezultatul este un alt vector în care litera respectivă a dispărut. Adică:

$$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}.$$

Observați cum litera B a dispărut pus și simplu, deoarece „s-a ciocnit prin adunare” de la un vector la celălalt.

Fenomenul este și reciproc. Adică, putem insera o literă nouă acolo unde dorim noi, așa ca în exemplul de mai jos:

$$\vec{XY}=\vec{XZ}+\vec{ZY}.$$

Iată un exemplu de problemă care poate fi rezolvată cu ajutorul formulei lui Chasles: 

Fie două segmente AB și CD care au același mijloc. Să se arate că atunci are loc relația $\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{0}$.

Începem rezolvarea de la faptul că cele două segmente trebuie să aibă același mijloc. Atunci, notând cu M mijlocul respectiv, trebuie să avem relațiile: $$\vec{AM}=\vec{MB}$$ și $$\vec{CM}=\vec{MD},$$ căci așa exprimăm vectorial faptul că M se află la mijlocul segmentelor AB și CD.

Fără să facem niciun desen (care ne-ar arăta că este vorba despre un paralelogram) putem rezolva problema, doar folosind relația lui Chasles. Iată cum. Vom transforma relațiile precedente în așa fel încât să ne apară zeroul acela dorit în dreapta, după care le vom scădea termen cu termen și cu relația lui Chasles vom obține minunea. Adică:

$$\vec{AM}-\vec{MB}=\vec{0}$$ și $$\vec{CM}-\vec{MD}=\vec{0},$$ pe care le scădem termen cu termen și obținem:

$$\vec{AM}-\vec{MB}-\vec{CM}+\vec{MD}=\vec{0}+\vec{0}.$$ 

Această ultimă relație poate fi prelucrată mai frumos, pentru a așeza literele convenabil ca în relația lui Chasles, adică:

$$\vec{AM}+\vec{MD}-(\vec{CM}+\vec{MB})=\vec{0}+\vec{0}.$$ 

Cum litera M dispare datorită lui Chasles, spre ușurarea noastră, ne rămâne doar

$$\vec{AD}-\vec{CB}=\vec{0}.$$ 

Și cum prin comutarea literelor unui vector schimbăm semnul acelui vector, obținem exact ceea ce trebuia și anume:

$$\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{0}.$$ 

De regulă, în rezolvarea problemelor vectoriale relația lui Chasles vă ajută cu mare probabilitate. Totul este să știți să jonglați cu litera de care aveți nevoie și cu litera care doriți să dispară obligatoriu.