Cercul și poligoanele regulate

Ca și oricare dintre triunghiuri, cel echilateral are două cercuri prietene, unul circumscris, care trece prin toate vârfurile sale și unul înscris care atinge toate laturile sale. Doar că, pentru triunghiul echilateral, datorită simetriei perfecte a acestuia, centrele celor două cercuri coincid cu centrul de greutate și cu ortocentrul triunghiului. Această coincidență plăcută simplifică legătura dintre lungimea laturii triunghiului echilateral și razele celor două cercuri.

În geogebra am realizat o fișă în care puteți găsi formulele aferente legăturii dintre poligoanele regulate aprofundate în gimnaziu, adică triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat.

Vedeți mai jos imaginile corespunzătoare acestor poligoane:

Vă doresc să puteți asimila cât mai multe dintre aceste minunate formule, între care există o legătură profundă.

V-M+F=2

Acest domn Euler a fost o minune, un înger pe Pământ. Dânsul ne-a lăsat această relație superbă, $$\color{red}{V-M+F=2}$$ care ne face legătura între numărul de Vârfuri, de Muchii și de Fețe ale unui poliedru.

Puteți reține ușor relația domnului Euler, căci literele care apar sunt în ordine alfabetică descrescătoare și avem un semn minus în mijloc.

De exemplu, o piramidă patrulateră are 

$V=4+1=5$, cinci vârfuri, $M=2\cdot 4=8$, opt muchii și $F=4+1=5$, cinci fețe. Deci, $V-M+F=5-8+5=\color{red}{2}$.

Mai vedeți și voi alte exemple, poate vă iese tot $\color{red}{2}$.

Problema 2 din testul de clasa a șaptea generat automat în 5 august 2021

Lucrăm în continuare pe testul precedent, de data aceasta la problema 2, de geometrie.

A doua problemă din test ne spune că triunghiurile AUL și ULA sunt asemenea. Chiar dacă nu desenați aceste triunghiuri, din teorema fundamentală a asemănării rezultă o egalitate frumoasă de trei rapoarte pe care le puteți scrie privind ordinea literelor date în formularea asemănării (ordinea literelor este crucială).

Mai precis, dacă triunghiurile AUL și ULA sunt asemenea, înseamnă că, din teorema fundamentală a asemănării (notată uneori prescurtat cu TFA), o teoremă foarte puternică și bogată în consecințe, rezultă următoarele egalități, care exprimă raportul de asemănare k: 

$$\frac{AU}{UL}=\frac{AL}{UA}=\frac{UL}{LA}=k.$$

Aceste rapoarte conțin la numărător litere din primul triunghi, iar la numitor literele corespunzătoare ordinii lor, din al doilea triunghi. De exemplu, primul raport este format cu primele două litere din primul triunghi supra primele două litere din al doilea triunghi.

Din aceste rapoarte, cum $AU=UA$, deci ordinea literelor nu contează, rezultă astfel că:

$$AU=kUL,$$

$$AL=kAU=k(kUL)=k^2UL$$

și

$$UL=kAL=k(k^2UL)=k^3UL.$$

Din ultima relație obținem că valoarea lui k nu poate fi decât 1. Așadar, în fine, $AU=1\cdot UL=1\cdot AL$, ceea ce denotă că triunghiul dat este echilateral, așa cum apare în dreptul răspunsurilor.

Aceasta este demonstrația riguroasă, dar intuiția unui rezolvitor de probleme de geometrie de clasa a șaptea îi permite acestuia să se încadreze în timpul necesar obținerii punctajului maxim (deci în 20 secunde).

Criterii de paralelism

Mai jos vedeți două drepte albastre tăiate de o secantă roșie, precum și opt unghiuri numerotate corespunzător.

Unghiurile 3, 4, 5, 6 aflate între cele două drepte albastre se numesc „interne”, iar unghiurile 1, 2, 7 și 8 se numesc „externe”. Unghiurile aflate de o parte și de alta a secantei se numesc „alterne”.

Cu aceste denumiri în minte putem vorbi despre combinații de asemenea denumiri, precum „alterne interne” (perechile de unghiuri (4,6) sau (3,5)) sau „interne de aceeași parte a secantei” ((3,6) sau (4,5)).

Mai avem și patru perechi de unghiuri „corespondente” date de unghiurile (1,5), (2,6), (4,8) și (3,7).

Unul dintre cele mai importante criterii de paralelism pentru dreptele albastre din această figură fundamentală este dat de următoarea propoziție: „dacă unghiurile alterne interne sunt congruente, atunci dreptele albastre sunt paralele”.

Este valabilă și reciproca.

Mai mult, puteți înlocui expresia „alterne interne” cu „alterne externe” sau cu „corespondente” și veți obține alte criterii faine de paralelism.

De asemenea, dar să nu mă înjurați, puteți înlocui expresia „alterne interne sunt congruente” cu „interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare” și veți obține unul dintre cele mai urâte și mai rar folosite criterii de paralelism.

În fine, dacă într-o anumită problemă doriți neapărat să arătați și altfel că două drepte sunt paralele, atunci puteți să descoperiți în figură un paralelogram care să aibă două laturi opuse pe acele drepte.

Muuult succes!

Unghiul diedru

Dacă în clase mai mici ați învățat despre unghiul (deschiderea) dintre două (semi)drepte, ei bine, în clasa a opta învățați despre unghiul dintre două (semi)plane. 

Unghiul dintre două plane este, de exemplu, unghiul cel mai mic dintre planul ecranului unui laptop și planul tastaturii sale. Astfel, pentru a putea determina unghiul (adică, deschiderea) dintre ecran și tastatură este necesar să determinați întâi muchia comună celor două plane, după care să găsiți câte o dreaptă perpendiculară pe acea muchie, una dintre drepte aflându-se în planul ecranului, iar cealaltă dreaptă aflându-se în planul tastaturii. Dacă ați reușit să găsiți două astfel de drepte perpendiculare pe muchia comună a celor două plane, atunci unghiul dintre cele două plane este tocmai unghiul dintre cele două drepte.

Un exemplu notabil este unghiul dintre planul unei fețe (VBC) a unei piramide și planul bazei sale (ABC). Muchia comună a acestor plane este BC, iar unghiul dintre planele menționate este tocmai unghiul dintre apotema piramidei, VM și apotema bazei, OM, desenate mai jos cu albastru, respectiv, cu verde. 

Așadar, pentru a determina unghiul dintre două fețe găsim întâi muchia comună celor două fețe și apoi căutăm două perpendiculare pe acea muchie. Desigur, punctajul maxim la rezolvarea problemei se va obține doar dacă elevul va demonstra că dreptele găsite de el sunt perpendiculare pe muchia comună.

Linii importante într-un triunghi: mediană, bisectoare, înălțime și mediatoare

Am încărcat azi un nou filmuleț pentru voi, în care vă veți face o idee clară despre liniile importante într-un triunghi.

Vizionare plăcută!

Dacă știți trapezul, atunci știți și triunghiul și știți și paralelogramul

Triunghiul este un trapez a cărui bază mică este atât de mică, încât are lungimea nulă, adică are zero metri. Iar paralelogramul este un trapez a cărui bază mică este tocmai egală cu baza mare. Așadar, dacă știți vreo formulă pentru trapez, înseamnă că o știți și pentru triunghi, respectiv, pentru paralelogram.


Haideți să vedem cum. Să presupunem că ați învățat aria trapezului și știți că ea este $$A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$$

Atunci, cum triunghiul este un trapez cu baza mică nulă, adică pentru triunghi b=0, rezultă că aria triunghiului va fi $$A=\frac{(B+0)\cdot h}{2}=\frac{B\cdot h}{2}.$$

Pentru paralelogram facem $b=B$ și obținem $$A=\frac{(B+B)\cdot h}{2}=\frac{2B\cdot h}{2}=B\cdot h,$$ unde am simplificat cu 2.

Desigur, o asemenea relație minunată este valabilă pentru TOATE formulele pe care le cunoașteți despre trapez. De exemplu, poate știți formula liniei mijlocii în trapez. Atunci vă puteți juca cu baza mică pentru a vedea dacă este adevărat și pentru linia mijlocie ceea ce v-am spus mai sus.

Echerul special

Există în comerț o trusă de instrumente pentru geometrie care,  printre o mulțime de alte bunătăți, conține și o piesă extrem de drăguță despre care doresc să vă vorbesc aici și anume „echerul special”. Mai exact, există acolo un echer, care mie îmi este tare drag, ce are un unghi de 30°, un unghi de 60° și un unghi drept, adică de 90°. Acest echer, mai bine zis, acest triunghi dreptunghic, are o importanță supremă în geometrie, deoarece apare foarte, foarte des în problemele pe care le veți întâlni vreodată.

El ne amintește de o proprietate fundamentală în geometrie pe care o are triunghiul acesta dreptunghic cu un unghi de 30°: cateta mică este jumătate din ipotenuză.  În aceste șase cuvinte magice este cuprinsă o proprietate geometrică pe care o veți întâlni în sute de probleme de acum încolo. Ea ne spune că în acest triunghi dreptunghic special, cateta mică (adică latura aceea care formează unghiul drept și care este departe de unghiul de 30°),  este tocmai jumătate din ipotenuză, deci este tocmai jumătate din cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic special.

Concret, dacă veți avea curiozitatea să măsurați cu liniarul lungimea ipotenuzei echerului special, după care să măsurați lungimea catetei mici a acestui echer, veți constata că, așa ca printr-o minune, cateta mică este jumătate din ipotenuză.  Așadar, mai putem spune și că ipotenuza este de două ori mai mare decât cateta mică.  

Bineînțeles, această proprietate este valabilă pentru orice triunghi dreptunghic special (deci, triunghi cu unghiurile de 30°, 60°, 90°) și ea este echivalentă cu faptul că sinus de 30° este unu supra doi ($\frac 1 2$), sinusul unui unghi fiind, prin definiție, cateta opusă acelui unghi supra ipotenuză.

Demonstrați formula lui Heron

Cineva numit Heron, undeva în Alexandria, cândva demult, pe la începuturile erei noastre, și-a pus problema ariei triunghiului la modul cel mai general posibil. Altfel spus, Heron a dorit să știe cum poate determina aria unui triunghi dacă știe cât de lungi sunt laturile sale, fără să se mai chinuie să afle vreun unghi sau o înălțime. E mai ușor să măsori lungimi, decât unghiuri, așa că inginerul Heron a dorit să ușureze cumva munca celui care dorește să găsească aria unui teren triunghiular. Iar din frământările sale s-a născut o formulă minunată care îi poartă numele și care ne permite nouă, urmașilor săi, să găsim câtă gresie ar trebui să cumpărăm pentru a acoperi o podea de orice formă triunghiulară.

Formula lui Heron are o formă simetrică și profundă. Ea nu necesită altceva decât lungimile laturilor triunghiului. Dacă reușiți să aflați prin măsurare sau prin calcul lungimile celor trei laturi ale unui triunghi (să le zicem a, b și c), atunci puteți găsi aria triunghiului respectiv (deci, câtă gresie v-ar trebui pentru suprafața triunghiului), cu ajutorul formulei lui Heron:
$$\large{\color{red}{A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}}.$$

Știu, formula pare urâtă, pentru că ne sperie acel radical luuuung cât o zi de post. Și poate ne mai sperie și acel p care apare în formulă. Ce o fi p-ul acesta? Păi, nu era vorba că nu ne trebuie altceva decât laturile? Acum ne mai trebuie și p? Stați liniștiți că și p-ul se obține simplu cu ajutorul laturilor. Acest p mic este de fapt tocmai „semiperimetrul”, adică jumătate din suma celor trei laturi. Ca și convenție de notare se știe că P mare este tot perimetrul, iar p mic este jumătate din P mare.



Aș dori acum să vă prezint o demonstrație a acestei formule, folosindu-ne de una dintre înălțimile (deocamdată, necunoscute ale) triunghiului. Pentru că noi știm deja (se învață înaintea formulei lui Heron) că aria unui triunghi este dată de frumoasa poezie: „baza ori înălțimea supra doi”. Și, folosindu-ne de această poezie, vom găsi poezia lui Heron, care conține radicalul.


Vedeți mai jos un triunghi oarecare, pregătit pentru operație, pentru disecție, pe care îl vom obliga să ne spună cum putem găsi formula lui Heron atunci când noi știm alte formule mai simple învățate anterior. Cele trei laturi ale triunghiului au lungimile notate cu metoda consacrată (litere mici opuse vârfurilor). De asemenea, am mai notat și una dintre înălțimi cu h (știți că există trei înălțimi într-un triunghi, în funcție de cum avem noi chef să-l orientăm, mai bine zis, în funcție de alegerea pe care o facem privind baza triunghiului, caz în care înălțimea este perpendiculară pe bază). În fine, am rupt în două baza aleasă pentru triunghi, iar cele două bucăți din bază, determinate de punctul în care cade înălțimea, le-am notat cu x și cu y, pentru că sunt necunoscute (noi nu cunoaștem altceva decât a, b și c) și le vom folosi doar trecător, pentru a-l găsi pe h.

Priviți acest triunghi așezat pe masa de operație și gândiți-vă cum i-ați putea determina aria. Ei bine, aria întregului triunghi este dată de poezia amintită: „baza ori înălțimea supra doi”. Deci, aria triunghiului nostru va fi $A=\frac{ah}{2}$.

Desigur, pe $a$ îl știm, din moment ce cunoaștem toate cele trei lungimi ale laturilor triunghiului. Așa că mai rămâne să-l găsim pe $h$. Cu această ocazie, vom putea obține o formulă intermediară (pe care o vom evidenția) cu ajutorul căreia putem găsi rapid o înălțime a triunghiului din simpla cunoaștere a laturilor sale.

Dacă am cunoaște cât de mare este $x$, atunci cu teorema lui Pitagora ar fi un fleac să-l găsim pe $h$. Dar noi nu-l cunoaștem pe $x$, ci doar pe $x$ adunat cu $y$ (suma lor este tocmai $a$).

Noa, haideți să începem de undeva. Haideți să ne imaginăm că îl cunoaștem pe $x$ și că îl găsim pe $h$ cu teorema lui Pitagora aplicată în triunghiul dreptunghic ABD. Cum $h$ este catetă în acest triunghi, obținem că $$h^2=c^2-x^2.$$

Bineînțeles, mare lucru n-am obținut încă, pentru că ne stă în coaste necunoscuta $x$, care vrem să dispară la un moment dat. Dar nu ne cramponăm aici, căci cine știe ce ne rezervă viitorul dacă ne vom folosi și de necunoscuta $y$. Așadar, depunem aceeași muncă și în triunghiul dreptunghic ACD, în care domnește necunoscuta $y$. Mai precis, din aceleași considerente ca și în triunghiul ABD (catetă și teorema lui Pitagora), în triunghiul ACD obținem că $$h^2=b^2-y^2.$$

L-am obținut, așadar, pe $h$ în două moduri distincte. Și cum $h$ din primul triunghi este egal cu $h$ din al doilea triunghi, avem că $$c^2-x^2=b^2-y^2.$$
Și, n-ați uitat, noi vrem să scăpăm de literele astea nerușinate $x$ și $y$ care ne încurcă ițele și nu ne lasă încă să obținem formula lui Heron fără ele. Vom scăpa întâi de $y$, pe care nu vrem să-l mai vedem. Pentru asta ne vom folosi de faptul că $$y=a-x.$$ Prin urmare, în loc de $$c^2-x^2=b^2-y^2,$$ putem scrie acum $$c^2-x^2=b^2-(a-x)^2.$$

Yuppiii! Am scăpat de $y$!!! Acum ne vom uita urât la $x$, pentru că și de el vrem să scăpăm. Banditul ăsta nu vrea să se lase așa ușor, dar tot o să-i venim de hac și lui. În relația precedentă, vom desface paranteza cu grijă, după formula binecunoscută $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, și vom ține seama de faptul că minusul acela enervant din fața parantezei trebuie să schimbe semnul tuturor termenilor din paranteza pe care o precede. Găsim atunci că $$c^2-x^2=b^2-a^2+2ax-x^2.$$

Aici îl putem reduce pe $-x^2$ din partea stângă a egalității, cu $-x^2$ din partea dreaptă a egalității și obținem ceva foarte drăguț care nu-l mai conține pe $x^2$: $$c^2=b^2-a^2+2ax.$$ Iată că am reușit să-l izolăm pe $x$ și bătălia noastră este aproape câștigată. Pentru a-l scoate pe $x$  din această egalitate, o scriem întâi rotită (pentru că suntem obișnuiți ca necunoscutele să fie în stânga). Mai exact, dacă $ceva=altceva$, atunci și $altceva=ceva$, așadar, putem scrie relația de mai sus mai convenabil: $$b^2-a^2+2ax=c^2.$$

Acum vom arunca numerele cunoscute în partea dreaptă a egalității și vom obține $$2ax=c^2-b^2+a^2.$$ Iar de aici va rezulta, în sfârșit, o formulă ce ne ajută să scăpăm de-acum încolo și de $x$. Astfel, avem că $$\color{blue}{x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}}.$$

Observați că aici $a$ este șeful (apare șmecher la numitor), căci pe el l-am rupt în două când am disecat triunghiul. Iar adjunctul este $c$, căci $x$ se află în dreptul lui $c$. Ultimul rămâne amărâtul de $b$, căci el apare cu minus, săracul.

Ok. Bine, bine, dar ce putem face cu acest $x$ până la urmă? Aaaa, păi, ce, nu vă amintiți la ce ne trebuia $x$? Ne trebuia $x$ ca să îl putem găsi pe $h$! Undeva mai sus am scris că $h^2=c^2-x^2$. Ori, odată ce am reușit să-l scriem pe $x$ în funcție de laturile triunghiului, înseamnă că îl vom putea scrie și pe $h$ în funcție de aceste laturi.

Să fim deci atenți la formula faină pe care o vom obține pentru înălțimea unui triunghi atunci când cunoaștem toate laturile triunghiului. Sunt curios cine va fi și acolo șeful.

Așadar, dacă $h^2=c^2-x^2$, după înlocuirea lui $x$ cu ceea ce am găsit mai sus, vom avea $$\large{\color{blue}{h^2=c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)^2}}.$$

Mammma mia, ce expresie complicată! Ditamai paranteza la pătrat! Dacă vreți, o rețineți. Aveți aici o formulă (destul de urâtă) cu ajutorul căreia puteți găsi înălțimea unui triunghi atunci când îi cunoașteți laturile. 

Hmmm... Urât! Destul de urât! Trebuie să facem ceva ca să reparăm nedreptatea asta! Ce putem face? Eu văd acolo o diferență de pătrate. Când văd o diferență de pătrate, mă gândesc la formula $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Această formulă ne ajută să scăpăm de pătrate. Și ne mai ajută ea în multe cazuri. Haideți s-o folosim, să vedem ce iese în acest caz. Eu am o diferență de pătrate, între $c^2$ și paranteza la pătrat. Înseamnă că, din formula descompunerii sumei de pătrate în produs de două paranteze, voi obține
$$h^2=\left(c-\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)\left(c+\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right).$$

Am scăpat de pătratul parantezei, dar parcă, parcă se mai poate face ceva în fiecare paranteză. Hai să aducem la același numitor, să vedem ce obținem. $$h^2=\left(\frac{2ac}{2a}-\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)\left(\frac{2ac}{2a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right).$$

Acum facem câte un singur numitor în paranteză, avem grijă la semne (semnul minus din fața fracției va schimba semnele de la numărător) și scăpăm de paranteze. Obținem atunci $$h^2=\frac{2ac-a^2-c^2+b^2}{2a}\cdot\frac{2ac+a^2+c^2-b^2}{2a}.$$

Așadar, cu prețul unei munci îndelungate, am scăpat de paranteze. Și parcă tot mai vrem ceva. Mai vrem simplitate. Simplitatea apare atunci când aceiași termeni apar de cât mai puține ori. Astfel, eu când văd $2ac-a^2-c^2$ mă gândesc la un pătrat perfect, căci îmi amintesc formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Așadar, când văd $2ac-a^2-c^2$, mă gândesc la $-(a^2-2ac+c^2)$, adică la $-(a-c)^2$. 

Veți înțelege acum de ce formula $$h^2=\frac{2ac-a^2-c^2+b^2}{2a}\cdot\frac{2ac+a^2+c^2-b^2}{2a}$$ va deveni $$h^2=\frac{-(a-c)^2+b^2}{2a}\cdot\frac{(a+c)^2-b^2}{2a}.$$

Dar la numărătorul fracțiilor vedem din nou o diferență de pătrate! Căci formula poate fi rescrisă și astfel $$h^2=\frac{b^2-(a-c)^2}{2a}\cdot\frac{(a+c)^2-b^2}{2a}.$$

Așadar, cum diferența de pătrate este un produs de paranteze, conform lui $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, rezultă că vom avea:
$$h^2=\frac{(b-a+c)(b+a-c)}{2a}\cdot\frac{(a+c-b)(a+c+b)}{2a}.$$

Și iată că suntem aproape de final. Căci știm că perimetrul $P=a+b+c$, iar semiperimetrul este $p=\frac{P}{2}$. Asta înseamnă că fiecare dintre parantezele care apar la numărătorul fracției lui $h^2$ poate fi scrisă în funcție de perimetru astfel: $b-a+c=P-2a$, apoi $b+a-c=P-2c$ și, în fine, $a+c-b=P-2b$.

Ce obținem acum? Ceva superb! Iată: $$h^2=\frac{(P-2a)(P-2c)}{2a}\cdot\frac{(P-2b)\cdot P}{2a}.$$ Iar dacă facem aici un pic de ordine, făcând o singură fracție din cele două și ordonând factorii de la numărător, avem ceva și mai simetric: $$h^2=\frac{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}{4a^2}.$$

Deci, după cum v-am promis, dacă extragem radicalul din $h^2$, avem o scumpete de formulă pentru înălțimea unui triunghi când îi cunoaștem laturile:
$$\large{\color{red}{h=\frac{\sqrt{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}}{2a}}}.$$

Vedeți că tot $a$ este șeful, deoarece înălțimea triunghiului a fost aleasă ca fiind perpendiculară pe latura de lungime $a$. Dar dacă ne-ar fi trebuit înălțimea dusă pe latura de lungime $b$, șeful ar fi fost $b$-ul, căci roteam triunghiul un pic în sensul de mers al acelor de ceasornic până când jos la bază ajungea latura de lungime $b$.

Ei, ce ziceți? Putem face pasul final, pentru găsirea formulei lui Heron? Acum că știm înălțimea, ne amintim că aria unui triunghi este „baza ori înălțimea supra doi”. Deci, cum $$A=\frac{ah}{2}=\frac{a}{2}\cdot h,$$ rezultă că $$A=\frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}}{2a}.$$

Simplificăm acum cu $a$ și obținem $$A=\frac{\sqrt{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}}{4}.$$

Îl introducem acum pe $4$ sub radical și vom avea $$A=\sqrt{\frac{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}{16}}.$$

Pe $16$-le ăsta de sub radical îl putem scrie ca fiind $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, deci ca fiind patru factori de doi. Obținem astfel că $$A=\sqrt{\frac{P}{2}\cdot\frac{P-2a}{2}\cdot\frac{P-2b}{2}\cdot\frac{P-2c}{2}}.$$ Și cum P mare supra doi este tocmai p mic, și cum $$\frac{P-2a}{2}=\frac{P}{2}-\frac{2a}{2}=p-a,$$ obținem, în sfârșit, interesanta formulă a lui Heron: $$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$

Să se deducă formula volumului pentru trunchiul de piramidă

Să presupunem că la un examen ați primi această problemă, aceea de a deduce că volumul trunchiului de piramidă este dat de formula
$$V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right).$$

Sau poate că nu vă amintiți formula cu precizie și doriți să o deduceți din alte cunoștințe precedente pe care le aveți. Cum ați proceda? Ce cunoștințe precedente (învățate deja) ați folosi pentru a o deduce?

Păi, pornim întâi de la faptul că un trunchi de piramidă este o piramidă fără vârf. Ceva asemănător cu faptul că un trapez este un triunghi fără vârf. Adică, dacă la o piramidă pregătită de tăiere

cineva (un bun spadasin) îi retează în viteză cu o sabie ascuțită rău de tot partea de sus (paralel cu planul de jos), va rezulta un trunchi de piramidă foarte drăguț și cuminte:

Important este acum să observăm că „partea de sus”, cea retezată după planul roșu (sper că nu e de la sânge!), este tot o piramidă. Și, culmea, că această piramidă este sora mai mică a piramidei mari, în sensul că seamănă foarte mult prin ceva cu piramida mai mare din care a provenit trunchiul de piramidă.

Oare prin ce seamănă piramida mică cu piramida mare? Este important să stabilim asta, ca să putem duce mai departe raționamentul. Ei bine, vorbeam mai sus de „cunoștințe precedente”. Una dintre cunoștințele precedente de care avem nevoie pentru a putea deduce volumul trunchiului de piramidă este teorema lui Thales, adică teorema care ne va spune că fețele laterale ale piramidei mici (fețe care sunt întotdeauna triunghiuri) sunt asemenea cu fețele laterale ale piramidei mari.

Asta înseamnă că raportul (deci, împărțirea) dintre o latură a triunghiului mic (triunghi care este față laterală a piramidei mici) și o latură corespunzătoare din triunghiul mare (triunghiul mare este o față laterală a piramidei mari) este la fel (este egal) ca și raportul dintre o altă latură a triunghiului mic și latura corespunzătoare din triunghiul mare. Acest raport este un număr care poartă un nume clar: raportul de asemănare. El este numărul care arată prin ce se aseamănă sora mai mică cu sora cea mare, deci arată prin ce se aseamănă cele două piramide. Haideți să notăm acest raport cu $k$ și să vedem ce relații cantitative determină acesta.

Bineînțeles, nu doar fețele laterale sunt asemenea, ci chiar și bazele celor două piramide, adică podelele lor, precum și triunghiurile corespunzătoare care conțin înălțimile celor două piramide surori. Așadar, atât laturile bazelor sunt proporționale, cât și înălțimile piramidelor sunt proporționale în același raport de asemănare. Mai exact, dacă notăm cu minuscule laturile corespunzătoare ale piramidei mici și cu majuscule laturile piramidei mari, avem că $$\frac{l}{L}=\frac{h}{H}=k.$$

Acum e momentul să ne amintim de o altă cunoștință precedentă necesară pentru calculele noastre: dacă două triunghiuri (și, în consecință, două figuri plane oarecare) sunt asemenea și au raportul de asemănare egal cu $k$, atunci și ariile lor sunt proporționale, iar raportul lor este $k^2$. Acest fapt ne va permite să deducem că raportul de asemănare este tocmai radicalul raportului dintre ariile podelelor și ne vom apropia astfel de formula volumului trunchiului de piramidă. 

Pentru aceasta, vom nota cu $a$ aria podelei mici (podeaua roșie) și cu $A$ aria podelei mari (podeaua albastră). Cu aceste notații, putem scrie $$\frac{h}{H}=\sqrt{\frac{a}{A}}.$$ 

Desigur, $h$ este aici înălțimea piramidei mici, adică este numărul care ne arată cât de înaltă este piramida mică, deci ne arată câți centimetri sunt pe verticală de la podeaua piramidei mici până la vârful acesteia, iar $H$ este înălțimea piramidei mari. Din aceste două înălțimi putem afla ușor cât este înălțimea trunchiului de piramidă, pe care o notăm cu $d$ (de la distanța dintre cele două podele): $$d=H-h.$$

Așadar, cât este volumul trunchiului de piramidă (notat cu $V_t$)? Este volumul piramidei mari (notat cu $V$) minus volumul piramidei mici, notat cu $v$. Deci, $$V_t=V-v.$$ 

De aici încolo ne mai amintim cât este volumul unei piramide, iar restul este calcul algebric. Dar volumul unei piramide este o treime din volumul prismei cu aceeași bază și înălțime, adică volumul piramidei mari este $$V=\frac{A\cdot H}{3},$$ iar al piramidei mici este $$v=\frac{a\cdot h}{3}.$$

Drept urmare, volumul trunchiului de piramidă va fi $$V_t=V-v=\frac{AH}{3}-\frac{ah}{3}=\frac{AH-ah}{3}.$$ Acum, în această formulă am dori să dispară înălțimea piramidei mari și a celei mici și am dori să apară înălțimea trunchiului de piramidă pentru că înălțimile piramidelor nu sunt parametri importanți, ci secundari, care nu prea ni se dau în probleme atunci când ni se cere volumul trunchiului. Mult mai importantă și mai relevantă este înălțimea trunchiului în asemenea probleme, așa că dorim ca formula noastră să conțină doar înălțimea trunchiului (și ariile podelelor), nu înălțimile piramidelor. Cum să procedăm ca să dispară $H$ și $h$ din formulă?

Ne folosim de cunoștințele precedente, materializate prin relațiile de mai sus: $$\frac{h}{H}=\sqrt{\frac{a}{A}}$$ și $$d=H-h.$$ Cum, într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor, obținem că $$h=H\sqrt{\frac{a}{A}}.$$ 

Astfel, scăpăm pentru început de $h$, căci peste tot unde vom găsi $h$ îl vom putea înlocui cu $H\sqrt{\frac{a}{A}}$. Mai exact, avem că $$d=H-H\sqrt{\frac{a}{A}}=H\left(1-\sqrt{\frac{a}{A}}\right).$$ Dar de aici îl putem scoate pe $H$ în funcție de $d$ și astfel vom scăpa și de $H$. Mai exact, după amplificarea cu $\sqrt{A}$, avem că $$H=\frac{d}{1-\sqrt{\frac{a}{A}}}=\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Atunci, $$h=H\sqrt{\frac{a}{A}}=\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}\sqrt{\frac{a}{A}}=\frac{d\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Se observă deja o oarecare simetrie. Numitorii celor două înălțimi sunt aceiași, iar numărătorii depind de radicalul ariei mari sau mici, după cum este și înălțimea mare sau mică. Cu această realizare, am scris înălțimile piramidelor în funcție de parametrii importanți ai trunchiului de piramidă.

Deci de-acum suntem boieri, căci acum avem cu ce să-l înlocuim atât pe $h$, cât și pe $H$. Atunci, formula volumului trunchiului de piramidă va deveni $$V_t=\frac{AH-ah}{3}=\frac{A\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}-a\frac{d\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}}{3}.$$

Aici putem scoate factorul comun $\frac{d}{3}$. Atunci, formula devine parcă mai compactă: $$V_t=\frac{d}{3}\left(\frac{A\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}\right).$$

Și cum numitorii sunt aceiași, mai putem scrie $$V_t=\frac{d}{3}\frac{A\sqrt{A}-a\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Aoleu! Ce formulă-i asta?! Păi, nu trebuia să obținem formula de la început, adică $$V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right)?$$

Stați așa, nu vă grăbiți! Ajungem și la formula de început dacă vom observa că $A\sqrt{A}=\sqrt{A^3}=\left(\sqrt{A}\right)^3$ și, respectiv, $a\sqrt{a}=\sqrt{a^3}=\left(\sqrt{a}\right)^3$. Haideți să notăm pe $\sqrt{A}$ cu $x$, iar pe $\sqrt{a}$ cu $y$, ca să ne fie mai ușor să observăm ceva. Cu aceste notații, am obținut că formula volumului trunchiului de piramidă este $$V_t=\frac{d}{3}\frac{x^3-y^3}{x-y}.$$

Ei bine, iar acum ne trebuie ultima „cunoștință precedentă” ce constă în formula de calcul prescurtat $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$ valabilă pentru $x\neq y$. Cu această formulă, putem scrie că volumul trunchiului este $$V_t=\frac{d}{3}\frac{x^3-y^3}{x-y}=V_t=\frac{d}{3}\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}.$$

Dar acum putem simplifica cu $x-y$, căci podeaua de sus nu este la fel de mare ca podeaua de jos, ci au arii diferite, deci $x-y$ nu este zero (cu zero nu putem face simplificări, căci $\frac{0}{0}$ este o nedeterminare). Așadar, formula volumului trunchiului devine $$V_t=\frac{d}{3}\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}=\frac{d}{3}(x^2+xy+y^2).$$

Iar dacă ținem seama că am notat cu $x$ pe $\sqrt{A}$ și cu $y$ pe $\sqrt{a}$ și cum $\left(\sqrt{A}\right)^2=A$, obținem că $$V_t=\frac{d}{3}(x^2+xy+y^2)=\frac{d}{3}\left(A+\sqrt{A}\sqrt{a}+a\right),$$ adică tocmai formula de la început: $$\color{red}{V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right)}.$$

În sfârșit!

Ei, nu-i așa că mai bine faceți un mic efort să o însușiți, decât să vă apucați de asemenea calcule pentru a v-o reaminti când aveți nevoie?

Observați că această formulă finală (deci, fără numitor) este valabilă și pentru cazul când cele două „podele” devin egale, adică $a=A$, caz în care trunchiul de piramidă devine o prismă. E suficient ca, în loc de $a$ să puneți $A$ și veți obține volumul prismei dat de $V_p=dA$. Totodată, această formulă este valabilă și pentru cazul când podeaua de sus devine mică, mică de tot, chiar zero, caz în care trunchiul se transformă în piramidă. Altfel spus, dacă știți volumul trunchiului de piramidă, atunci știți și volumul prismei și volumul piramidei.

O mică recapitulare: pentru a deduce formula volumului trunchiului de piramidă, am avut nevoie de teorema lui Thales, apoi de faptul că raportul de asemănare este radicalul raportului ariilor, ne-a mai trebuit formula volumului pentru o piramidă, iar în final am folosit formula de calcul prescurtat a diferenței cuburilor.

Aria triunghiului în geometria analitică plană

Am furat de la domnul profesor Chris Mizell această minunăție de applet și l-am modificat puțin ca să se vadă și pe telefoane.

Appletul vă arată cum se determină aria unui triunghi atunci când cunoașteți coordonatele din plan ale vârfurilor sale.

Redescoperiți aici determinantul 

$$\Delta =

\begin{vmatrix}

x_A& y_A & 1 \\

x_B & y_B & 1 \\

x_C & y_C & 1 \\

\end{vmatrix}$$

format cu coordonatele vârfurilor triunghiului, despre care am mai discutat deja într-un alt articol. Desigur, faptul că matricea din applet este transpusă nu modifică valoarea determinantului, căci determinantul unei matrice este egal și cu determinantul matricei transpuse.

Mi-ar plăcea să știu că vă jucați cu acest applet, trăgând încoace și încolo de vârfurile triunghiului. 

De asemenea, mi-ar plăcea să observați ce se întâmplă cu determinantul atunci când reușiți să aliniați în așa fel vârfurile triunghiului încât acestea să devină coliniare. Veți reuși astfel să înțelegeți care este în geometria analitică plană condiția de coliniaritate a trei puncte din plan.

Bacalaureat, V39SIP6 (arie triunghi dreptunghic special)

Să se calculeze aria unui triunghi dreptunghic care are un unghi de $60^\circ$ și ipotenuza de lungime $8$.

Aria unui triunghi dreptunghic? Hmmm... Ce știți despre aria unui triunghi dreptunghic? Cum o calculăm? Vă amintiți ceva formule pentru aria unui triunghi dreptunghic?

În general, aria unui triunghi este „baza ori înălțimea supra doi”. Dar în cazul triunghiului dreptunghic avem o formulă mai concretă. Aria unui triunghi dreptunghic este „cateta unu ori cateta doi supra doi”. Deci, ca să găsim aria unui triunghi dreptunghic, înmulțim cele două catete, iar rezultatul îl împărțim la doi.

Ok, deci ne trebuie cele două catete ale triunghiului nostru dreptunghic. Off... Dar examinatorul ne-a dat doar ipotenuza! De ce? Ne-a dat exact ceea ce nu ne trebuie! Căci nouă ne-ar trebui catetele...

Da, recunosc, examinatorul pare un om rău, căci nu ne-a dat catetele. Totuși, este bun pentru că ne-a dat și un unghi. Mai mult de atât, este un om și mai bun decât ne-am imaginat, deoarece unghiul pe care ni l-a dat nu este unui aiurea de 43,5 grade să zicem, ci este un unghi foarte frumos, adică un unghi „normal”, de 60 de grade, despre care știm foarte multe.

Ce știm despre unghiul de 60 de grade? Păi, îi cunoaștem sinusul (radical din trei supra doi) și îi cunoaștem cosinusul (unu pe doi). Cunoscând sinusul sau cosinusul, putem afla oricare dintre catete, dacă ne amintim că sinusul este „cateta opusă supra ipotenuză” sau cosinusul este „cateta alăturată supra ipotenuză”. Apoi, după ce am aflat catetele, avem tot ce ne trebuie pentru a calcula aria, desigur (cu formula „catetă ori catetă supra doi”). 

Am putea să mergem și pe linia asta, a calculării catetelor, dar mai interesant ar fi să ne mai reamintim o proprietate faină a unui triunghi dreptunghic care are un unghi special, de 60 de grade, proprietate pentru care nu aveți nevoie de cunoștințe de trigonometrie, cu sinus și cosinus. Acestei proprietăți i se mai spune „teorema 30, 60, 90”. Teorema spune că într-un triunghi dreptunghic special, în care există un unghi de 60 de grade, cateta mică este jumătate din ipotenuză.

Deci, dacă ni s-a dat ipotenuza și un unghi de 60 de grade, atunci automat putem trage concluzia că una dintre catete (cea mai micuță) este jumătate din ipotenuză, adică în cazul nostru, jumătate din 8, deci 4. Una dintre catete este 4. 

Mai rămâne să aflăm cealaltă catetă. Tot cu mijloace simple, precum este teorema lui Pitagora, teoremă foarte importantă într-un triunghi dreptunghic. Teorema lui Pitagora ne spune că suma pătratelor catetelor este tocmai pătratul ipotenuzei. Așadar, dacă notăm cateta necunoscută cu $x$, atunci teorema lui Pitagora ne va spune că $$4^2+x^2=8^2.$$
Deci, $16+x^2=64$, deci $x^2=64-16=48$. Iar dacă ceva la pătrat este 48, atunci numai ceva-ul acela neridicat la pătrat va fi radical din 48. Astfel, cateta necunoscută este $$x=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}.$$ 

Bun. Deci, una dintre catete este $4$, iar cealaltă este $4\sqrt{3}$. Cât va fi atunci aria căutată? Am văzut mai sus că aria este semiprodusul catetelor. Așadar, $$A=\frac{4\cdot 4\sqrt{3}}{2}=\color{red}{8\sqrt{3}}.$$

Bacalaureat, V39SIP5 (lungimea medianei)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$, $B(1,1)$, $C(3,-1)$. Să se calculeze lungimea medianei duse din vârful $A$ al triunghiului $ABC$.


Când auziți de „reper cartezian” și de niște puncte cărora li se dau coordonatele, apăi înseamnă că musai este vorba de geometrie analitică, adică de un cârnaț de formule de care e bine să vă amintiți instantaneu.

Ni se cere „lungimea medianei”. Bun. Înseamnă că ni se cere, în primul rând, o lungime. În geometria analitică, o lungime. Cum calculăm o lungime în geometria analitică? Hmmm... Lungimea (unui segment, căci numai segmentele au lungimi) este un număr care ne arată câți metri sunt de la un punct până la altul (de la un capăt al segmentului la celălalt). Deci lungimea (unui segment) este tot una cu distanța (dintre capetele segmentului).

Ca să putem calcula o lungime, deci o distanță, în geometria analitică, va trebui să calculăm un „radical”. Asociați cuvintele „lungime” sau „distanță” cu cuvântul „radical”. Radicalul acela se naște din teorema lui Pitagora aplicată ipotenuzei triunghiului dreptunghic determinat de capetele segmentului. Acest triunghi dreptunghic are catetele paralele cu axele, iar ipotenuza este tocmai segmentul determinat de cele două puncte.

Așadar, dacă ne trebuie distanța dintre punctele $P(x_P;y_P)$ și $Q(x_Q;y_Q)$, atunci trebuie să calculăm radicalul dat de O SUMĂ de două paranteze la pătrat. În spațiu avem trei paranteze, dar în plan avem doar două paranteze sub radical, o paranteză în care punem DIFERENȚA $x$-ilor și o paranteză în care pune diferența $y$-ilor. Deci 
$$d_{PQ}=\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2}.$$
Exact cum vă arătam într-un articol de prin 2014.

Deci, am stabilit că va trebui să calculăm un radical. De-acum se pune problema ce vom pune sub radical. Mai exact, care sunt punctele pentru care calculăm lungimea? Noi am primit acolo sus în problemă trei puncte. Dar oare între care dintre puncte trebuie să calculăm lungimea? Acum va trebui să ne gândim la „mediană”. Ce este mediana?

Mediana este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Medi=mijloc. Deci, noi trebuie să calculăm lungimea medianei duse din vârful $A$ pe mijlocul laturii $BC$. Așadar, avem sub radical un singur punct. Ne mai trebuie celălalt. Ne mai trebuie mijlocul laturii $BC$.

Mijlocul unei figuri este dat de media aritmetică a capetelor sale. Mai riguros spus, coordonatele mijlocului sunt medii aritmetice ale coordonatelor vârfurilor (capetelor). Deci, coordonatele mijlocului nostru pe care îl notăm cu $M_{BC}$ vor fi $$x_M=\frac{x_B+x_C}{2}\text{, iar   }\,\,\,y_M=\frac{y_B+y_C}{2}.$$

Și cum noi cunoaștem toate coordonatele de care avem nevoie, vom obține că $x_M=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$ și $y_M=\frac{1+(-1)}{2}=\frac{0}{2}=0$. Așadar, mijlocul căutat va fi $M_{BC}(2;0)$.

Acum avem tot ce ne trebuie pentru a calcula radicalul, adică lungimea medianei din vârful $A$, adică lungimea segmentului $AM$. Aplicăm formula și avem $$d_{AM}=\sqrt{(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2},$$ adică $$d_{AM}=\sqrt{(2-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{0^2+4^2}=\sqrt{16}=\color{red}{4}.$$

Rezultatul parcă vă sugerează că dacă ați ajuns cu bine până aici la bac, aveți șansa să luați deja un $4$.

Ecuația redusă a dreptei

Appletul pe care vi-l prezint astăzi aduce lumină în legătură cu ceea ce se întâmplă cu o dreaptă în plan atunci când modificăm unul dintre punctele care definesc dreapta.

Modificați-l cu mausul pe $a$ sau pe $b$ și veți vedea cum se modifică parametrii dreptei. $a$ este abscisa punctului $A(a,2)$, $b$ este ordonata punctului $B(2,b)$, $d$ este ecuația redusă a dreptei, $\alpha$ este unghiul dintre dreaptă și axa OX dat în radiani, iar $\beta$ este același unghi dat în grade.

Panta dreptei este tocmai numărul din fața lui $x$ care apare în ecuația redusă a dreptei și ne arată cât de înclinată este dreapta. Chiar dacă cele două nu sunt unul și același lucru, există totuși o legătură directă între unghiul de înclinare $\alpha$ și pantă, legătură dată de formula $$panta=\tan\alpha.$$

Observați că dacă panta se anulează (caz în care dreapta devine paralelă cu axa $OX$), atunci ecuația redusă a dreptei este de forma $y=număr$, iar dacă panta devine infinit de mare (dreapta devine perpendiculară pe $OX$), atunci ecuația dreptei este de forma $x=număr$.

Mai observați că dacă panta dreptei este pozitivă, atunci dreapta „urcă”, pe când dacă panta dreptei este negativă, atunci dreapta „coboară”.

Mate-info 2016, subiectul I, problema 6

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$ în care $A=\frac{3\pi} {4} $ și $BC=\sqrt 2$.

La ce vă gândiți automat în momentul în care auziți de "raza cercului circumscris"?  Nu știu la ce vă gândiți voi, dar eu mă gândesc întâi la teorema sinusurilor.

Teorema sinusurilor este un șir de egalități care conțin sinusurile (nu pe cele nazale, ci pe cele unghiulare  😊 ).

Ea se poate scrie sub forma:  $$\color{blue} {\frac {BC} {\sin A}=\frac {AC} {\sin B}=\frac{AB} {\sin C}=2R}. $$

Mate-info 2016, subiectul I, problema 5

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,0)$, $B(1,0)$ și $C(1,4)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $B$ și este paralelă cu mediana din $A$ a triunghiului $ABC$.

Se cere ecuația unei drepte. Și se dau niște puncte, cu coordonatele lor. Deci, suntem la geometrie analitică. Ne gândim ce știm despre ecuația dreptei în geometria analitică. Ne amintim ce este mediana. Ne gândim ce știm despre paralelism în geometria analitică. Avem cam zece minute de problemă. Ne apucăm de treabă relaxați și calmi. Facem un pic de ordine în haosul aparent. Ce avem de găsit întâi?

Teorema lui Pitagora generalizată se mai numește și „teorema cosinusurilor”

Teorema simplă a lui Pitagora este valabilă numai într-un triunghi special, triunghi care are un unghi drept, de 90 de grade. Într-un asemenea triunghi special, numit și „triunghi dreptunghic”, laturile acestuia au fiecare câte un nume special: cea mai mică latură se numește „cateta mică”, cea mai mare latură se numește „ipotenuză”, iar cealaltă latură rămasă se numește „cateta mare”.

Catetele (albastre) sunt laturile care formează unghiul drept. Altfel spus, unghiul drept se află între catete. Teorema lui Pitagora ne spune, în acest caz, că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. De exemplu, dacă lungimea catetei mici este 3, iar lungimea catetei mari este 4, atunci lungimea ipotenuzei este 5, pentru că $3^2+4^2=5^2$.
Cu notațiile din figura de mai sus, teorema lui Pitagora devine: $$a^2=b^2+c^2.$$

Dar matematicienii nu s-au mulțumit doar cu o relație între laturile unui triunghi dreptunghic, ci ei au căutat o relație între laturile oricărui triunghi, oricât de urât ar fi el. Mai exact, ei au căutat o formulă care să le dea a treia latură a triunghiului oarecare atunci când deja se cunosc celelalte două laturi, chiar dacă unghiul dintre cele două laturi nu este un unghi de 90 de grade.

Mediana este una, mediatoarea este alta.

Mediana și mediatoarea sunt ușor, tare ușor de confundat. Prin ce diferă ele, oare?

Avem așa: mediana unește vârful cu mijlocul figurii opuse vârfului (care poate fi un segment, un triunghi etc.), pe când mediatoarea nu unește nimic, ci doar trece prin mijloc, dar nu trece oricum, ci perpendicular.

Iată o mediană ce coboară din vârful de sus al unui triunghi (și ajunge pe mijlocul laturii opuse):

Iar aici vedeți o mediatoare, deci o perpendiculară ridicată pe mijlocul bazei (mijlocul laturii pe care stă triunghiul):

Se vede clar că ele nu sunt unul și același lucru.

Dar există un caz interesant în care mediana și mediatoarea sunt unul și același lucru: cazul triunghiului isoscel. Altfel spus, dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana bazei coincide cu mediatoarea bazei. Așadar, în acest caz, mediana este nu doar mediană, ci este chiar și înălțime și taie triunghiul mare în două triunghiuri dreptunghice congruente.

Și reciproc este valabil: adică, dacă mediana coincide cu mediatoarea, atunci triunghiul este isoscel, adică cele două laturi diferite de bază sunt congruente, iar unghiurile de la bază sunt congruente. Habar n-aveți cât de utilă vă poate fi în probleme această reciprocă! Sau poate aveți...

De fapt, cele trei lucruri (mediana, mediatoarea și triunghiul isoscel) coexistă simultan. Mai precis, dacă două lucruri din cele trei sunt valabile, atunci este valabil și al treilea:

1. Dacă un segment AD este mediană și mediatoare în același timp pe un segment BC, atunci triunghiul ABC este isoscel cu baza BC dată de segmentul respectiv.
2. Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana bazei este totodată și mediatoare.
3. Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediatoarea bazei este totodată și mediană.

ProblemaV1SIP5: În sistemul cartezian xOy se dau punctele M(1,-4) și N(-2,5). Să se determine dreapta care trece prin originea sistemului și este perpendiculară pe dreapta MN.

Dacă ni se cere o dreaptă, înseamnă că răspunsul nostru trebuie să fie ceva de genul: $ax+by+c=0$ sau ceva și mai simplu, de genul $y=mx+n$. Acest „ceva” se numește „ecuația dreptei”. Primul ceva se numește „ecuația generală a dreptei”, iar al doilea ceva se numește „ecuația redusă a dreptei”. Putem trece ușor de la o formă la alta, prin operații permise asupra unei egalități, pe care le cunoașteți, precum trecerea unui termen dintr-o parte într-alta (cu semn schimbat) sau înmulțirea (împărțirea) întregii egalități cu un număr oarecare diferit de zero.

Triunghiul echilateral

Cel mai frumos triunghi posibil este triunghiul echilateral. El este cel mai simetric triunghi. „Echi” înseamnă că ceva acolo este egal, iar „lateral” înseamnă că e vorba despre laturi. Așadar, triunghiul echilateral are toate cele trei laturi egale una cu cealaltă. 

Bineînțeles, dacă ne strofocăm să discutăm extraordinar de riguros, atunci trebuie să spunem că laturile triunghiului echilateral sunt congruente, nu egale, căci numai numerele sunt egale unul cu celălalt, nu și figurile geometrice. Dar noi n-o să facem acum abuz de atâta rigurozitate și vom spune în continuare că laturile triunghiului echilateral sunt toate egale, pentru că ne adresăm mereu începătorului în ale matematicii, începător pe care nu trebuie să-l sperii cu noianul de complexitate cu care poate fi abordată matematica și căruia trebuie să-i prezinți de fapt o față simplă a matematicii, o față esențială.