Radical din 8 plus radical din 2 este radical din 18. Interesant, nu-i așa!?

Textul

Problema 5 din politest ne cere un lucru simplu: să adunăm $\sqrt{8}$ cu $\sqrt{2}$.

Sunt elevi care cred că rezultatul ar fi $\sqrt{8+2}$. Alții cred că adunarea nu se poate face, deoarece radicalii nu sunt de același fel.

Dar, de fapt, calculul se poate face ușor după ce ne ocupăm întâi de $\sqrt{8}$ pe care îl transformăm în $2\sqrt{2}$. Astfel, avem:

$$\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=\color{red}{3\sqrt{2}=\sqrt{18}}.$$

Mai exact, radicalii de același fel se adună ușor, așa cum adunăm merele sau perele. Astfel, doi radicali din 2, adunat cu încă un radical din 2 ne vor da trei radicali din 2, așa cum două mere plus un măr fac trei mere.

Mai rămâne să înțelegem de ce $\sqrt{2}$ poate fi asimilat cu $2\sqrt{2}$. O metodă ar fi descompunerea numărului 8 în factori primi, care ne va da că $8=2^3$. Cum doar doi de 2 se pot împerechea, celălalt 2 rămâne sub radical.

Cealaltă metodă este să observăm că numărul $8$ nu este liber de pătrate, căci în el se ascunde pătratul perfect $4$. Atunci $$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}.$$

Și consider că astfel v-am arătat detaliile rezolvării acestei probleme frumoase.

Problema 6 din testul-fulger: calculează $\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}$

Pentru a face calculul cerut de problema 6 în 60 de secunde

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}$$

va trebui să aducem la o formă mai simplă expresia, așa cum spuneam la problema 4 deja rezolvată. Dar, de data aceasta, numitorul acestei fracții urâte este oarecum mai complicat, căci are o adunare și ar însemna că raționalizarea numitorului acestei fracții ar fi ceva mai laborioasă decât a fost la problema 4.

Rezolvarea cu factorul comun

Mai bine, dacă aruncăm o privire la numărătorul fracției (partea de sus), constatăm că acolo se află radicalul $\sqrt{98}$ pe care elevul cu experiență știe că trebuie să-l modifice puțin, adică „să scoată factorul de sub radical”, căci numărul 98 nu este „liber de pătrate”, în el ascunzându-se pătratul perfect $49$. Așadar, din $\sqrt{98}$ putem să facem $$\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=\sqrt{49}\cdot\sqrt{2}=7\sqrt{2}.$$

Cu această observație, fracția noastră devine acum 
$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{21+7\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}.$$

Acum numărătorul are o poveste fascinantă, care ne va permite să rezolvăm mai repede problema decât am fi rezolvat-o dacă porneam pe drumul raționalizării. Mai exact, expresia $21+7\sqrt{2}$ ne permite să dăm factorul comun pe $7$, deoarece $21=7\cdot 3$. Atunci calculul nostru devine mult mai interesant:

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{21+7\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{7(3+\sqrt{2})}{3+\sqrt{2}}.$$

Sunt convins că acum ați observat deja magia calculului care urmează: putem simplifica cu $\color{blue}{3+\sqrt{2}}$! Yuuuuppppiiii! Ce simplu a fooost! Așadar, simplificând obținem 

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{21+7\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{7(\color{blue}{3+\sqrt{2}})}{\color{blue}{3+\sqrt{2}}}=\frac{7}{1}=\color{red}{7}.$$

Rezolvarea cu raționalizarea

Desigur, dacă am fi urmat drumul raționalizării înainte să observăm că se naște factorul comun ce ne va permite simplificarea, am fi ajuns la aceeași valoare, căci Matematica este coerentă, doar că ne-ar fi purtat pe căi mai întortocheate. Iată cam ce însemna raționalizarea numitorului, deci amplificarea cu conjugata.

Știm că atunci când avem o sumă (sau diferență) cu radicali la numitor, putem amplifica fracția cu așa-numita „expresie conjugată”, adică exact aceeași expresie care se regăsește deja la numitor, doar că cu semnul schimbat (dacă este sumă, amplificăm cu diferența, iar dacă e diferență amplificăm cu suma).

Atunci, făcând amplificarea și muncind cu răbdare pentru a desface apoi parantezele prin înmulțirea termenilor corespunzători, avem

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{(3-\sqrt{2})(21+\sqrt{98})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}=$$

$$=\frac{63+3\sqrt{98}-21\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{98}}{9-2}.$$

Observați că pentru numitor am folosit formula de calcul prescurtat care spune că $$\color{red}{(a-b)(a+b)=a^2-b^2},$$ adică $(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})=3^2-(\sqrt{2})^2=9-2$.

Apoi, ocupându-ne de numărător și observând că $3\sqrt{98}=3\cdot 7\sqrt{2}=21\sqrt{2}$, care se va reduce cu $-21\sqrt{2}$ și observând că produsul acela de radicali va da $\sqrt{2}\sqrt{98}=\sqrt{196}=14$, calculul nostru devine atunci 

$$\frac{63+3\sqrt{98}-21\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{98}}{9-2}=\frac{63-14}{7}=\frac{49}{7}=\color{red}{7}.$$

O groază de lucru cu raționalizarea asta, dar măcar tot i-am dat de capăt și am ajuns la același rezultat.

A patra problemă din testul-fulger: calculează $\frac{4}{\sqrt{8}}$

O problemă de 10 secunde ne cere să calculăm $\frac{4}{\sqrt{8}}$.

Ce înseamnă în acest context „a calcula”? Înseamnă a aduce la o formă și mai simplă, făcând diverse calcule care ne-ar putea apropia de o asemenea formă. De exemplu, din $\sqrt{8}$, scoțând factorul posibil, noi putem obține ceva mai interesant și anume $2\sqrt{2}$.

De aceea, avem mai departe că $$\frac{4}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}.$$

Apoi, simplificând cu 2, obținem $$\frac{4}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}.$$

În fine, cum numărul $2$ se poate scrie și ca $2=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$, simplificând apoi cu $\sqrt{2}$, rezultă că avem
$$\frac{4}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\color{red}{\sqrt{2}},$$

ceea ce reprezintă rezultatul final al calculului dorit.

Problema 1 din test clasa a șaptea, generat automat în 5 august 2021

Lucrăm azi pe testul

Prima problemă din test ne cere să comparăm numărul $12\sqrt{2}$ cu 17 și să stabilim care este cel mai mare dintre ele. Desigur, având în vedere că numărul $\sqrt{2}$ este un număr ciudat, cu o infinitate de zecimale, neperiodic, deci irațional, nu putem face o comparație clară, directă în forma brută pe care am primit-o, așa că va trebui să facem o mică transformare a celor două numere. Avem la dispoziție 20 de secunde (așa cum se vede în coloana timpului) să transformăm cele două numere în așa fel încât să semene mai mult, adică le vom pune pe ambele să apară sub radical, pentru că nu putem scăpa de radical. 

Atunci, vom, avea: $$12\sqrt{2}=\sqrt{12^2\cdot 2}=\sqrt{288}$$ pe de o parte și $$17=\sqrt{289}$$ de cealaltă parte. Așadar, avem de comparat numerele $\sqrt{288}$ cu $\sqrt{289}$, o sarcină mult mai ușoară acum. Deoarece 289 este mai mare decât 288, va rezulta că răspunsul la problemă este 17.

Volum trunchi, proprietatea proporțiilor, perimetrul bazei cilindrului, ...

Iată un filmuleț în care vă reamintesc despre volumul trunchiului de piramidă, proprietatea fundamentală a proporțiilor, perimetrul bazei unui cilindru și radicali dubli.

Radical din doi este un număr irațional

În clasele foarte mici elevii învață numerele naturale, adică numerele pozitive și fără virgulă. Numerele $0$,     $1$,     $2$,     $3$ și așa mai departe sunt numere naturale.

În clasele mici elevii învață mai apoi și numerele întregi, adică numere care pot avea și minus, dar care rămân în continuare fără virgulă. Numerele $5$,      $-5$,      $0$,      $-3$ sunt numere întregi (chiar dacă unele dintre ele sunt și numere naturale).

Apoi încep să învețe și despre numerele raționale, adică numere care au și virgulă, dar o asemenea virgulă încât după virgulă trebuie să se repete ceva (un grup de cifre) mereu la fel. Numerele $-1$,     $0,7$,     $-\frac{2}{3}$,     $18^2$,     $0,1001001001001\dots$ sunt numere raționale (chiar dacă unele dintre ele sunt și numere întregi).

Număr liber de pătrate

Mi-a venit timpul și cheful să scriu din nou aici pentru voi, acum că mi s-au rărit elevii pe care îi meditez. Bine, nu cred că voi mai scrie zilnic, căci mai am și alte obiective, legate de cercetarea Fizicii elicoidale sau de acțiuni pentru societate.

Așa că, putem vorbi azi despre... despre... despre... ce mi-a venit mie în minte acum și anume despre numărul liber de pătrate. Vreau să vă explic aici ce este un număr liber de pătrate și la ce este bună o astfel de mâncare de pește.

Deci. Voi începe cu niște exemple. Exemple de numere libere de pătrate. Și niște contraexemple.

Iată niște numere libere de pătrate:         3          14         15       22        626.

Și iată alte numere care sunt rău stresate de pătrate:    8          12        18        72.

Numerele din prima listă se laudă că sunt „curate” și că nu conțin niciun pătrat perfect în ele. Pe când celelalte umblă cu capul plecat, rușinoase, că poartă în spate, aproape fără rost, ditamai pătratele perfecte.

Un șir ce-mi trezește nostalgii

Pe vremea când eram eu de vârsta voastră, dragi elevi, abia apăreau calculatoarele de buzunar și ceasurile electronice, niște minuni care pe mine m-au fascinat așa precum vă fascinează azi pe voi telefoanele-astea mobile super-inteligente.

Și nu știu cum se făcu' odată că am aflat atunci de un șir buclucaș pe care l-am sucit și răsucit în toate părțile cu un asemenea calculator de buzunar de care vă povestesc.

Șirul în sine dacă-l vedeți n-o să vă spună mare lucru, dar după ce ne jucăm puțin cu el veți vedea altfel lucrurile.

Iată șirul:
$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right).$$

Această relație ne spune că dacă vrem să găsim termenul următor al șirului, să împărțim întâi numărul constant $a$ la termenul curent al șirului, apoi să adunăm rezultatul cu termenul curent, după care ceea ce obținem să împărțim la doi.

Nu e mare lucru. E doar o relație de recurență între doi termeni consecutivi ai șirului.

Zis și făcut. Mi-am luat calculatorul de buzunar și am procedat după cum urmează:
-1). Am ales întâi cine să fie $a$, să zicem $5$;
-2). Am început cu un număr oarecare, să zicem $1$, pe care l-am considerat a fi tocmai primul termen al șirului;
-3). Am memorat acest prim termen $1$ în memoria calculatorului (aveai acolo o opțiune pentru asta);
-4). Am împărțit numărul ales $a=5$ la memoria calculatorului (care a fost la început, după cum vă spuneam, $x_1=1$), am adunat rezultatul cu memoria calculatorului, apoi am împărțit rezultatul la 2 și am înlocuit ceea ce era în memorie cu ultimul rezultat;
-5). Am repetat pasul 4 de cât mai multe ori până când nu se mai schimba nimic pe ecran datorită preciziei mici a calculatorului.

Ce credeți că obțineam? Unii dintre voi poate își amintesc, alții doar bănuiesc, alții în schimb se vor minuna: obțineam o valoare foarte bună pentru radical din $a=5$!



Haideți să vedem cum se petrec lucrurile concret. Punem în memoria calculatorului M=1. Facem apoi (5:M+M):2 și obținem rezultatul 3. Acum schimbăm conținutul memoriei și punem în loc de conținutul vechi M=1 conținutul M=3.

Facem din nou (5:M+M):2, de data aceasta obținem 2,33333333. Acum îl facem pe M să fie 2,33333333 și obținem 2,238095238.

Apoi, repetând pașii indicați, obținem o listă precum cea de mai jos:

a	M	(a:M+M):2
5	1	3
	3	2,333333333
radical din a	2,333333333	2,238095238
2,236067977	2,238095238	2,236068896
	2,236068896	2,236067977
	2,236067977	2,236067977
	2,236067977	2,236067977
	2,236067977	2,236067977
	2,236067977	2,236067977

Pentru $a=2$ obținem lista

a	M	(a:M+M):2
2	1	1,5
	1,5	1,416666667
radical din a	1,416666667	1,414215686
1,414213562	1,414215686	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562

Sau pentru $a=7$ obținem lista

a	M	(a:M+M):2
7	1	4
	4	2,875
radical din a	2,875	2,654891304
2,645751311	2,654891304	2,645767044
	2,645767044	2,645751311
	2,645751311	2,645751311
	2,645751311	2,645751311
	2,645751311	2,645751311
	2,645751311	2,645751311

Sau, mai interesant, pentru $a=9$

a	M	(a:M+M):2
9	1	5
	5	3,4
radical din a	3,4	3,023529412
3	3,023529412	3,000091554
	3,000091554	3,000000001
	3,000000001	3
	3	3
	3	3
	3	3

Faceți-vă și voi o asemenea listă în GoogleDocs și jucați-vă cu ea.

Observați ce repede converge șirul! Sunt suficienți doar câțiva pași și obținem radicalul căutat, fără să ne mai chinuim cu calculul mai amănunțit.

Mda, cam cu de-astea îmi băteam eu capul când eram adolescent. Așa ți-e cu pasionații ăștia bolunzi...

Calculul radicalului de ordinul doi

Radicalul de ordinul doi din 16 este 4, deoarece 4 înmulțit cu el însuși de două ori este 16. Pentru a găsi radicalul unui număr avem la dispoziție un algoritm foarte asemănător cu împărțirea.

Haideți să ridicăm întâi la pătrat (deci, la puterea a doua) un număr. Să zicem, 267,89. Avem
$$267,89^2=267,89\cdot 267,89=71765,0521.$$

Acum, dacă vom extrage radical din 71765,0521 va trebui să obținem, desigur, tocmai 267,89.

Procedăm după cum urmează. Descriem în continuare cei patru pași de extragere a radicalului. Primii doi pași sunt nerecursivi (deci nu trebuie repetați), iar ultimii doi pași se repetă de câte ori este nevoie, deci sunt pași recursivi.

Pașii nerecursivi

Pasul 1: Structurarea pe grupe.  Structurăm numărul 71765,0521 în grupe de câte două cifre, începând de la virgulă, atât spre stânga virgulei, cât și spre dreapta ei. Așadar, pornind de la virgulă, numărul nostru structurat arată în felul următor:
$$71765,0521=\color{red}{7}\color{blue}{17}\color{green}{65},\color{red}{05}\color{blue}{21}.$$


Pasul 2: Radical din prima grupă. Mai departe, ne ocupăm de prima grupă (singura grupă specială), care este grupa $\color{red}{7}$. Ce facem cu ea? Căutăm să ghicim cel mai mare număr care ridicat la pătrat ne dă tocmai această grupă sau un număr ceva mai mic (așa cum și la împărțire căutăm să ghicim de câte ori se cuprinde câtul în deîmpărțit).

De exemplu, numărul 3 este prea mare, căci $3^2=3\cdot 3=9>7$. Atunci încercăm cu 2 și obținem $2^2=4<7$. Deci, $\color{red}{2}$ este numărul căutat, corespunzător grupei $\color{red}{7}$.

Continuăm similar ca în cazul împărțirii, doar că aici nu facem înmulțire, ci ridicare la pătrat. Mai exact, ridicăm la pătrat numărul $\color{red}{2}$, iar rezultatul îl scriem sub grupa $\color{red}{7}$ și facem diferența dintre $7$ și $4$ și ne rămâne $3$. Așadar, obținem:

$$\begin{array}{ c c c c c | c }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2 \\
\hline
\underline{4}&&&&&\\
3&&&&&
\end{array}$$.

Pașii recursivi

Pasul 3: Coborâre și dublare. Coborâm grupa următoare (în cazul nostru, grupa $\color{blue}{17}$) lângă rezultatul diferenței (deci, lângă 3) și dublăm rezultatul pe care l-am obținut până în acest moment (deci, îl dublăm pe 2 și îl transformăm în $2\cdot 2=4$).

Obținem atunci
$$\begin{array}{ r r c c c | c }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2 \\
\hline
\underline{4}&&&&&4\\
&317&&&&
\end{array}$$.

Pasul 4: Determinarea cifrei următoare. Căutăm o cifră nouă, cea mai mare posibilă, pe care o atașăm la rezultatul dublat (în cazul nostru, 4), iar numărul obținut îl înmulțim tocmai cu această cifră și urmărim ca rezultatul înmulțirii obținut în asemenea condiții să nu depășească numărul format la pasul 3 prin coborârea grupei următoare (în cazul nostru, 317). Am prefigurat cifra pe care o căutăm cu semnul „ _ ” ca să vizualizăm unde va fi locul ei
$$\begin{array}{ r r c c c | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2 \\
\hline
\underline{4}&&&&&4\text{ _}\cdot\text{_}\\
&317&&&&
\end{array}$$.

În cazul nostru, cifra căutată este tocmai 6 (deoarece rezultatul final complet va trebui să fie numărul 267,89 de la care am pornit cu exemplul nostru). Așadar, vom înmulți numărul $46$ cu $6$, iar rezultatul obținut îl vom așeza sub $317$ pentru a face scăderea. Obținem astfel
$$\begin{array}{ r r c c c | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2 \\
\hline
\underline{4}&&&&&4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276\\
&317&&&&\\
&\underline{276}&&&&\\
&\text{ }41&&&&
\end{array}$$.

Odată ce am determinat această cifră, ea va reprezenta cifra următoare a rezultatului final și o așezăm lângă numărul existent deja, adică lângă 2. Prin urmare, până în prezent rezultatul nostru a devenit egal cu 26.



De aici încolo procedăm prin repetarea pașilor 3 și 4 până când obținem rezultatul final. Așadar, coborâm următoarea grupă lângă 41 și determinăm cu chiu cu vai cifra următoare:

$$\begin{array}{ r r r c c | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6} \\
\hline
\underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\
&317&&&&52\text{ _}\cdot\text{_}\\
&\underline{276}&&&&\\
&&4165&&&
\end{array}$$.

Tragem cu ochiul la rezultatul final (267,89) și deducem fără nicio încercare că cifra următoare este 7. Dacă n-am ști rezultatul, desigur, ar trebui să încercăm pe rând câteva cifre până găsim cifra optimă, cea mai mare posibilă („ _ ”), dar nici prea mare, ca nu cumva rezultatul înmulțirii (dintre 52_ și _) să depășească noul număr obținut prin coborârea grupei curente (deci numărul 4165).

Așadar, suntem în situația
$$\begin{array}{ r r r c c | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7} \\
\hline
\underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\
&317&&&&52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689\\
&\underline{276}&&&&\\
&&4165&&&\\
&&\underline{3689}&&&\\
&&\text{ }476
\end{array}$$.


Acum am ajuns la virgulă. Asta înseamnă că vom proceda în continuare la fel ca mai sus cu pașii 3 și 4, doar că odată cu coborârea grupei de după virgulă, va trebui să adăugăm virgula și la rezultatul curent. Avem atunci

$$\begin{array}{ r r r r c | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7}, \\
\hline
\underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\
&317&&&&\underline{52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689}\\
&\underline{276}&&&&534\text{ _}\cdot\text{_}\\
&&4165&&&\\
&&\underline{3689}&&&\\
&&&47605&&
\end{array}$$,

deci

$$\begin{array}{ r r r r c | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7},\color{red}{8} \\
\hline
\underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\
&317&&&&\underline{52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689}\\
&\underline{276}&&&&534\color{red}{8}\cdot\color{red}{8}=42784\\
&&4165&&&\\
&&\underline{3689}&&&\\
&&&47605&&\\
&&&\underline{42784}&&\\
&&&\text{}4821
\end{array}$$.

În fine, coborâm ultima grupă. Ce coincidență, este chiar 21! Așadar,
$$\begin{array}{ r r r r r | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7},\color{red}{8} \\
\hline
\underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\
&317&&&&\underline{52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689}\\
&\underline{276}&&&&\underline{534\color{red}{8}\cdot\color{red}{8}=42784}\\
&&4165&&&5356\text{ _}\cdot\text{_}\\
&&\underline{3689}&&&\\
&&&47605&&\\
&&&\underline{42784}&&\\
&&&&482121
\end{array}$$.

Observați că am dublat numărul 2678, fără să ne mai pese de virgulă, căci virgula am pus-o deja unde trebuia și nu ne mai chinuie cu nimic.

În fine, schema noastră de calcul arată în totalitate astfel:

$$\begin{array}{ r r r r r | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7},\color{red}{8}\color{blue}{9} \\
\hline
\underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\
&317&&&&\underline{52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689}\\
&\underline{276}&&&&\underline{534\color{red}{8}\cdot\color{red}{8}=42784}\\
&&4165&&&5356\color{blue}{9}\cdot\color{blue}{9}=482121\\
&&\underline{3689}&&&\\
&&&47605&&\\
&&&\underline{42784}&&\\
&&&&482121\\
&&&&\underline{482121}\\
&&&&====
\end{array}$$.

Sper că am reușit să vă fiu de folos...


Editare ulterioară: am mai scris un articol despre un șir interesant care vă permite calculul radicalului de ordinul doi, prin recurență. Cred că merită să-l citiți.