Un prim filmuleț de când am tableta grafică

Mi-am cumpărat recent o tabletă grafică și mă bate gândul să vă transmit multă informație cu ajutorul ei prin intermediul unor filmulețe cu care să rezolv niște probleme de mate cu lux de amănunte.

Iată, deci, primul asemenea filmuleț, în care vorbesc despre combinări și aranjamente.

Cele mai importante formule de calcul prescurtat

Primele formule pe care trebuie să le știe elevul:

Cel mai mare divizor comun este, de fapt, mititel

Există un paradox al celui mai mare divizor comun, pe care mulți elevi de gimnaziu îl urăsc. Păi, dacă e CEL MAI MARE, atunci de ce este mic? Ce se întâmplă, de fapt?

Să studiem, de exemplu, numerele 18 și 24. Să le găsim cel mai mare divizor comun, ca să ne lămurim cum e cu paradoxul acesta supărător.

Întâi facem o listă cu divizorii lui 18, apoi cu cei ai lui 24, după care vom găsi cel mai mare divizor comun. Zis și făcut.

Divizorii lui 18. Cum îi găsim? Hmmm... Păi, începem cu 1, căci 1 este divizor al oricărui alt număr natural. Dar, dacă l-am găsit pe 1, atunci automat am găsit și perechea lui 1, care este 18. (Am numit „pereche” acel cuplu de divizori care prin înmulțirea lor ne dau exact 18.) Apoi, un alt divizor al lui 18 ar fi 2, căci 18 se împarte exact cu 2. Observați că nu am sărit de la 1 la 3, ci m-am străduit să găsesc divizorii într-o oarecare ordine crescătoare. Așadar, până în prezent i-am găsit pe 1, 18 și 2. Mai departe, mă gândesc la perechea lui 2, adică la 9, căci 2 înmulțit cu 9 ne dă 18. Următorul divizor va fi 3 și perechea lui, 6. Și cam atât, căci nu mai găsim numere cu care 18 să se poată împărți exact. Deci, putem construi o listă frumoasă cu divizorii lui 18: $$D_{18}=\lbrace 1,2,3,6,9,18\rbrace.$$

Divizorii lui 24. Procedând ca și pentru 18, vom găsi $$D_{24}=\lbrace 1,2,3,4,6,8,12,24\rbrace.$$ Am avut grijă să pun și la 24 toate perechile posibile.

Așadar, până aici am găsit divizorii lui 18 și ai lui 24. Să vedem mai departe care sunt divizorii comuni, adică divizorii care se găsesc atât în lista lui 18, cât și în lista lui 24. Desigur, primul divizor comun este 1, căci el se află și în $D_{18}$ și în $D_{24}$. Altul este 2, apoi 3 și apoi 6. Și cam atât. Putem construi o listă cu ei ca să îi vedem mai bine: $$DC_{18,24}=\lbrace1,2,3,6\rbrace.$$

Ei bine, care este cel mai mare dintre acești divizori? Desigur, 6. Cum este acest 6 față de 18 și 24? Desigur, mai mititel. Cu toate că vorbim despre cel mai mare divizor comun, asta nu înseamnă că el este mai mare decât 18 și 24. 

Și să mai clarificăm un aspect. De ce nu este interesant și n-am auzit niciodată despre „cel mai mic divizor comun”? Pentru că cel mai mic divizor comun pentru două numere naturale va fi întotdeauna 1 și nu trebuie să depunem niciun efort deosebit pentru a-l găsi. Tocmai de aceea nu este relevant cel mai mic divizor comun, ci doar cel mai mare.



Dar lucrurile stau similar și pentru cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 24. Deși titulatura îi spune că este mic, el este de fapt mai mare decât 18 și decât 24. Dacă veți face o listă cu multiplii lui 18 și cu cei ai lui 24, veți constata că cel mai mic multiplu comun al lor este 72. Acest număr este multiplu și de 18 (căci 72 se împarte exact cu 18), dar și de 24. Și este cel mai mic dintre toți multiplii comuni ai celor două numere.

Ei bine, care o fi cel mai mare multiplu comun și de ce nu este interesant de găsit? De ce nu căutăm niciodată cel mai mare multiplu comun, ci doar pe cel mai mic? Păi, așa cum cel mai mic divizor comun este neinteresant, fiind 1, tot astfel, cel mai mare multiplu comun este neinteresant, căci el este tocmai infinit de mare. Infinitul este un multiplu comun atât pentru 18, cât și pentru 24, dar este multiplu comun pentru orice alte două numere naturale nenule. Așa că el nu aduce nicio informație interesantă în studiul multiplilor. Bineînțeles, problema cu infinitul ăsta este un pic mai complicată, dar măcar v-ați făcut o idee de ce nu căutăm cel mai mare multiplu comun, ci doar pe cel mai mic.



În concluzie, cel mai mare divizor comun al lui 18 și 24 este mai mic decât 18 și decât 24, iar cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 24 este mai mare decât 18 și decât 24. Și sper că acest articol v-a adus mai multă lumină în ceea ce privește aceste două noțiuni importante.

O regulă mnemotehnică pentru semnele divizibilității

Am întâlnit foarte mulți elevi cu dilema semnelor $|$ și $\vdots$, așa că în acest articol a venit vremea lor.

Avem următoarea convenție de semn:

$3\color{red}{|}15$ înseamnă „3 îl divide pe 15”.

Observați că bara verticală a relației „îl divide pe” am colorat-o cu roșu și tot cu roșu am colorat și litera „l” din cuvântul „îl”. Cele două semne seamănă izbitor, așa că nu mai puteți uita ce înseamnă bara verticală.





Și, bineînțeles, pentru cele trei puncte verticale ne rămâne cealaltă semnificație și anume:

$15\color{blue}{\vdots} 3$, care înseamnă „15 se divide cu 3”.

Despre un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute

Un sistem de două ecuații este un ansamblu de două ecuații care trebuie satisfăcute simultan (acolada care apare ne arată că cele două ecuații trebuie să fie satisfăcute simultan, adică trebuie să fie „adevărate” simultan). A rezolva un sistem de două ecuații cu două necunoscute înseamnă a găsi o pereche de numere în așa fel, încât, puse în locul lui x și y (în această ordine), în cele două ecuații, egalitatea să fie adevărată, atât în prima ecuație, cât și în cea de-a doua.

Doamna Vladimira Palașca a realizat un applet valoros în Geogebra, cu ajutorul căruia elevii de clasa a VIII-a pot înțelege mai ușor comportamentul unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute. 

Mai exact, în appletul ei puteți observa un sistem de două ecuații, una roșie, iar cealaltă albastră. Fiecare dintre cele două ecuații au coeficienți ce pot fi modificați cu ajutorul cursoarelor care au aceeași culoare ca și a ecuației respective.

De asemenea, puteți vizualiza pe desen graficul corespunzător fiecărei ecuații. Graficul corespunzător unei ecuații liniare cu două necunoscute este o dreaptă.

Dacă cele două drepte se intersectează într-un singur punct, înseamnă că sistemul dat este și compatibil și determinat (adică are o soluție, care este și unică).

Dacă cele două drepte se intersectează în mai multe puncte (iar dacă se intersectează în două sau mai multe puncte, atunci se intersectează într-o infinitate de puncte, adică dreptele sunt una și aceeași, deci coincid), atunci sistemul celor două ecuații este din nou compatibil, dar este nedeterminat. Asta mai înseamnă că cea de-a doua ecuație nu aduce nicio informație în plus față de prima. Se pot întâmpla asemenea cazuri atunci când cea de-a doua ecuație este tocmai prima ecuație, înmulțită eventual cu vreun număr oarecare, nenul.

În fine, dacă cele două drepte sunt paralele, atunci ele nu se intersectează, ceea ce înseamnă că sistemul dat nu are nicio soluție, caz în care sistemul se numește incompatibil sau imposibil (este imposibil ca cele două ecuații să fie satisfăcute simultan de vreo pereche de numere puse în locul lui x și y).


Sistemul de două ecuații liniare cu două necunoscute este cel mai simplu sistem posibil. El vă poate iniția excelent în studiul sistemelor și orice profesor bun va începe cu (sau va reaminti) acest sistem înainte de a studia cazurile mai generale.

Sume telescopice

Există ceva interesant în legătură cu sumele, despre care vă voi povesti acum. Să observăm întâi că
$$\frac{1}{2\cdot 3}=\frac 1 2-\frac 1 3,$$
căci $$\frac 1 2-\frac 1 3=\frac 3 6-\frac 2 6=\frac{3-2}{6}=\frac 1 6=\frac{1}{2\cdot 3}.$$
Tot astfel, mai avem și
$$\frac{1}{3\cdot 4}=\frac 1 3-\frac 1 4,$$
$$\frac{1}{4\cdot 5}=\frac 1 4-\frac 1 5.$$
Deci, este ca și cum am putea spune că în asemenea cazuri înmulțirea fracțiilor are același efect ca și scăderea lor.

Și-acum să vedeți minunea. Dacă adunăm cele trei exemple, obținem
$$\color{red}{\frac{1}{2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{4\cdot 5}}=\color{red}{\frac 1 2-\frac 1 3}+\color{blue}{\frac 1 3-\frac 1 4}+\color{green}{\frac 1 4-\frac 1 5}.$$
Și cum fracțiile care apar în mijlocul expresiei se reduc, căci unele sunt cu minus, iar altele cu plus, rămân doar cele două fracții, una de la început și cealaltă de la sfârșit. Adică
$$\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}=\frac 1 2-\frac 1 3+\frac 1 3-\frac 1 4+\frac 1 4-\frac 1 5=\frac 1 2-\frac 1 5.$$
Deci, este ca și cum am închide un tub telescopic de pescuit, motiv pentru care aceste sume se numesc „sume telescopice”. Așadar, pe viitor, veți ști să calculați sume de genul
$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots+\frac{1}{2017\cdot 2018},$$
adică sume de fracții cu numitori de numere consecutive.


Și lucrurile interesante nu se opresc aici. Numerele de la numitor nici nu trebuie să fie imediat consecutive, ci pot „merge și din doi în doi” ca să avem sumă telescopică. Haideți să vedem ce se întâmplă în acest caz. Avem, de exemplu,
$$\frac 1 1-\frac 1 3=\frac 3 3-\frac 1 3=\frac{2}{1\cdot 3}.$$
Apoi
$$\frac 1 3-\frac 1 5=\frac 5 {3\cdot 5}-\frac 3 {3\cdot 5}=\frac{2}{3\cdot 5}$$
și încă un exemplu
$$\frac 1 5-\frac 1 7=\frac 7 {5\cdot 7}-\frac 5 {5\cdot 7}=\frac{2}{5\cdot 7}.$$

Ce putem observa din aceste ultime trei exemple? Că dacă ni s-ar cere să calculăm suma $$S=\frac 2{1\cdot 3}+\frac 2{3\cdot 5}+\frac 2{5\cdot 7},$$ am putea scrie că $$S=\frac 1 1-\frac 1 3 +\frac 1 3-\frac 1 5+\frac 1 5-\frac 1 7=\frac 1 1-\frac 1 7=\frac 6 7.$$ Observați că și aici am redus fracțiile asemenea, iar suma s-a închis din nou precum un telescop, dispărându-i termenii din mijloc și rămânându-i doar capetele. Desigur, sper că ați fost atenți de data aceasta la $2$-ul acela de la numărător din suma inițială.

Așadar, acum vi se va părea mai ușor să înțelegeți cum am calculat suma în care numitorii „merg din trei în trei”, dată de $$S=\frac 3{1\cdot 4}+\frac 3{4\cdot 7}+\frac 3{7\cdot 10}+\frac 3{10\cdot 13}=\frac 1 1-\frac 1 {13}=\frac{12}{13}.$$

Aaa, dar ce ne facem dacă ni se cere o sumă de acest gen fără $3$-ul la numărător? Adică, ce ne-am face dacă ni s-ar cere să calculăm suma $$S=\frac 1{1\cdot 4}+\frac 1{4\cdot 7}+\frac 1{7\cdot 10}+\frac 1{10\cdot 13}?$$ Bineînțeles, am scrie această sumă sub forma $$S=\frac{1}{3}\left(\frac 3{1\cdot 4}+\frac 3{4\cdot 7}+\frac 3{7\cdot 10}+\frac 3{10\cdot 13}\right)$$ și am putea conclude atunci că $$S=\frac 1 3\left(\frac 1 1-\frac 1 {13}\right)=\frac 1 3\cdot\frac{12}{13}=\frac{4}{13}.$$


Dar nu pot să vă las din mână până nu vă mai spun că, de exemplu, suma $$S=\color{red}{\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}}$$ este și ea o sumă telescopică, chiar dacă are câte trei factori la numitor!
Căci ea se poate scrie ca $$S=\frac{1}{2}\left(\color{red}{\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot 5}}\right).$$
Și cu asta sper că v-am deschis un drum pe care să puteți merge și singuri atunci când veți avea de calculat asemenea sume interesante.

Arătați că rădăcina dublă a unui polinom este rădăcină și pentru derivata polinomului

Să notăm cu $P$ un polinom oarecare și cu $P'$ derivata acestuia. Apoi, să ne amintim că un polinom căruia îi cunoaștem rădăcinile (adică, numerele care îl anulează) poate fi scris ca un produs de paranteze cu acele rădăcini (căci un produs de paranteze se anulează doar atunci când cel puțin una dintre paranteze se anulează). De exemplu, polinomul $X^2-5X+6$, ale cărui rădăcini sunt $x_1=2$ și $x_2=3$, poate fi scris ca un produs de paranteze cu aceste rădăcini, adică avem $$X^2-5X+6=(X-2)(X-3).$$

Așadar, în general, un polinom de gradul $n$ poate fi scris ca un produs de $n$ paranteze cu cele $n$ rădăcini $x_1,\,x_2,\dots,\,x_n$, astfel: $$\color{blue}{aX^n+bX^{n-1}+\dots+c=a(X-x_1)(X-x_2)\dots(X-x_n)}.$$

Dar ce înseamnă „rădăcină dublă”? Înseamnă că acea rădăcină apare de două ori, deci apare în două paranteze. Mai înseamnă atunci că paranteza care o conține apare la puterea a doua. De exemplu, polinomul de gradul trei $X^3-X^2-8X+12$ are rădăcina dublă $x_1=x_2=2$, motiv pentru care el poate fi scris astfel: $$X^3-X^2-8X+12=ceva\cdot(X-2)^2.$$ Pentru acest polinom de gradul trei, $ceva=X+3$.

Prin urmare, în general, un polinom $P$ care are rădăcina dublă $x_1=x_2=d$ va putea fi scris astfel: $$P=ceva\cdot(X-d)^2.$$ Dacă rădăcina ar fi triplă, atunci paranteza ar apărea la puterea a treia. Și așa mai departe.

Sper că ați înțeles până aici cam care este legătura dintre multiplicitatea unei rădăcini și exponentul parantezei în care apare acea rădăcină.

Acum să vedem ce se întâmplă dacă derivăm polinomul $P$ care are rădăcina dublă $d$. Cum $P=ceva\cdot(X-d)^2$, înseamnă că derivata acestui polinom va fi derivata unui produs, deci vom aplica formula pentru derivata produsului, despre care știm că este $$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'.$$

Concret, $$P'=ceva'\cdot(X-d)^2+ceva\cdot[(X-d)^2]'.$$

Pe $[(X-d)^2]'$ îl putem calcula în două moduri: ori desfacem paranteza și derivăm termen cu termen, ori folosim mai bine și mai elegant proprietatea că $$(u^2)'=2u\cdot u'.$$ Astfel, $$[(X-d)^2]'=2(X-d)\cdot(X-d)'=2(X-d),$$ căci $(X-d)'=1$.

Prin urmare, $$P'=ceva'\cdot(X-d)^2+ceva\cdot 2(X-d).$$

Acest rezultat ne permite să observăm că dacă în locul necunoscutei $X$ din polinomul $P'$ punem rădăcina $d$, obținem anularea lui $P'$. Așadar, rădăcina dublă a lui $P$ este rădăcină și pentru $P'$. Adică exact ceea ce am dorit să arătăm.

De aici, mai departe, un elev isteț va trage concluzia că rădăcina triplă a unui polinom este de asemenea rădăcină atât pentru prima derivată a polinomului, cât și pentru cea de-a doua derivată a acestuia. Adică, în general, o rădăcină cu multiplicitatea $n$ a unui polinom este rădăcină de asemenea și pentru toate derivatele polinomului până la ordinul $n-1$ inclusiv. Dar, atenție!, ea nu mai este rădăcină pentru derivata de ordinul $n$ a polinomului, căci atunci multiplicitatea ei ar fi $n+1$, nu $n$.

Această proprietate este utilă atunci când vi se cere să determinați un polinom cu câțiva coeficienți necunoscuți în condițiile în care știți că un anumit număr este rădăcină multiplă a polinomului respectiv. 

Dacă, de exemplu, polinomul $P$ are trei coeficienți necunoscuți, atunci vi se va da o rădăcină cu multiplicitatea doi, pe care o veți înlocui în necunoscuta $X$ a lui $P$, a lui $P'$ și a lui $P''$ și veți obține un sistem de trei ecuații cu cei trei coeficienți necunoscuți ai polinomului, din care sistem va rezulta soluția problemei.

Teorema generalizată a restului

Având în minte problema pe care am primit-o acum trei zile la titularizare, vreau să vă vorbesc puțin despre polinoame și teorema restului.

Să presupunem că avem de rezolvat următoarea problemă:
Să se determine restul împărțirii polinomului $f=(X-1)^{10}+(X-2)^{12}$ la polinomul $g=X^2-5X+6$.

Dacă împărțim un polinom de gradul 100 la un polinom de gradul 73, restul împărțirii va avea gradul 72. Observați, deci, că gradul restului este mai mic cu o unitate decât gradul împărțitorului. Așadar, în cazul nostru, cum împărțitorul are gradul doi, înseamnă că restul va avea gradul unu. Dacă împărțitorul avea gradul trei, restul nostru avea gradul doi și problema era mai complicată puțin decât aceasta.

Dar ce grad ar fi avut restul dacă împărțitorul însuși ar fi avut gradul unu? Desigur, cu o unitate mai mică decât unu, deci gradul restului ar fi fost zero. Dar polinom de gradul zero înseamnă, de fapt, un număr, așadar, în acest caz foarte special și simplu, restul este un număr.

Să revenim deocamdată la problema noastră. Deci, restul problemei noastre are gradul unu. Este o informație prețioasă despre restul pe care trebuie să-l găsim. Altceva nu știm deocamdată despre acest rest, decât că este de gradul unu, o informație foarte prețioasă, de altfel, căci ne scutește de alte speculații privind complexitatea problemei. 

Dar cum arată un polinom de gradul unu pe care nu îl cunoaștem? Bineînțeles, un polinom de gradul unu are necunoscuta la puterea unu și atunci el nu poate arăta decât așa: $R=aX+b$  cu numerele $a$ și $b$ necunoscute. De aici încolo, problema rămâne doar să determinăm aceste două numere necunoscute.

Și cum putem determina, de regulă, două numere necunoscute? Cu un sistem de două ecuații și două necunoscute. Dar cum vom obține acel sistem? Ce informație matematică ne poate construi sistemul respectiv? Teorema împărțirii cu rest. Fără această teoremă am fi stat mult și am fi privit în zadar problema.

Această teoremă a împărțirii cu rest ne spune foarte clar că deîmpărțitul $D$ este egal cu câtul $C$ înmulțit cu împărțitorul $Î$ și adunat cu restul $R$. Mai exact, teorema împărțirii cu rest ne spune, deci, că 
$$D=C\cdot Î+R.$$ 

La noi $D=f$, $Î=g$ și $R=aX+b$, $C$ fiind un polinom necunoscut pe care l-am putea găsi dacă am face efectiv împărțirea lui $f$ la $g$. Și cum nu ni se cere acest polinom ciudat $C$ („C” vine de la „cât”, nu de la „ciudat” :D  ), noi nu are rost să-l luăm în calcul, ci, dimpotrivă, trebuie să facem ceva ca să scăpăm de polinomul acesta enervant $C$, care ne stă în coaste.

Ok, bine, bine, vedem noi teorema împărțirii cu rest, dar cum ne ajută aceasta să găsim sistemul necesar care să ne dea numerele $a$ și $b$, în așa fel încât să scăpăm și de pacostea reprezentată de polinomul $C$? Răspunsul la această întrebare este unul eliberator. Și tare m-aș bucura să vi-l amintiți la examene.

Nu uităm, deci, că vrem să scăpăm cumva de polinomul $C$. Dar observăm că polinomul $C$ este lipit de polinomul $Î$ prin înmulțire. Și cum despre polinomul $Î=g$ știm totul, pentru că ni s-a dat că $g=X^2-5X+6$, înseamnă că știm și cum să-l anulăm. Căci dacă-l anulăm pe $Î$, atunci facem să dispară orice este lipit de el prin înmulțire, căci zero înmulțit cu un alt polinom va fi tot zero. 

Iată, deci, care a fost șmecheria: să ne folosim de rădăcinile lui $Î$, despre care știm că îl anulează pe $Î$ (căci aia înseamnă „rădăcină”, numărul care face ca polinomul să se anuleze, deci numărul care pus în locul  lui $X$ ne dă zero).

Dar voi știți să găsiți rădăcinile lui $g=X^2-5X+6$, cu delta sau cu Viète, așa că nu voi insista aici, căci în mod sigur am vorbit despre așa ceva undeva, pe blogul meu, deja sau au vorbit alții, mai pe înțelesul vostru, poate, în altă parte. Deci, veți găsi că rădăcinile lui $g$ sunt $x_1=3$ și $x_2=2$ (produsul lor trebuie să ne dea 6, iar suma lor 5).

Cu aceste informații în minte, ne reamintim că teorema împărțirii cu rest ne spune că $D=C\cdot Î+R$, lucru care se poate scrie și mai amănunțit, folosindu-ne de necunoscuta $X$, $$D(X)=C(X)\cdot Î(X)+R(X).$$

Orice am pune în locul lui $X$ (deci chiar și rădăcinile lui $g$), relația dată de teorema împărțirii cu rest rămâne valabilă. Așadar, este valabil și faptul că  $$D(x_1)=C(x_1)\cdot Î(x_1)+R(x_1).$$

V-ați prins de idee? Observați acum cât de utile sunt rădăcinile lui $g$? Haideți să facem calculul de mai sus, ca să obținem ceva și mai curat. Cum $x_1=3$, cum $D=f$, $Î=g$ și $R=aX+b$, avem, deci, că $$f(3)=C(3)\cdot g(3)+a\cdot 3+b.$$

Și cum $g(3)=0$, căci $3$ este una dintre rădăcinile lui $g$, va rezulta că și $C(3)\cdot g(3)=C(3)\cdot 0=0$. Iată, deci, de ce nu ne-a păsat cum arată polinomul $C$, pentru că știam că vom găsi o metodă să scăpăm de el. Așadar, obținem atunci ceva și mai frumos și anume: $$f(3)=0+3a+b.$$

Dar pe $f(3)$ știm să-l calculăm. Căci $$f(3)=(3-1)^{10}+(3-2)^{12}=2^{10}+1=1025.$$ 

Așadar, am obținut că $$1025=3a+b,$$ ceea ce reprezintă tocmai prima ecuație a sistemului căutat de două ecuații cu două necunoscute.

Similar, pentru a doua ecuație ne vom folosi de a doua rădăcină a lui $g$ și vom obține
$$D(x_2)=C(x_2)\cdot Î(x_2)+R(x_2),$$ adică
$$f(2)=C(2)\cdot g(2)+a\cdot 2+b.$$ Cum $$f(2)=(2-1)^{10}+(2-2)^{12}=1,$$ obținem cea de-a doua ecuație drăguță a sistemului, adică $$1=2a+b.$$ Această ecuație, pusă lângă ecuația precedentă $1025=3a+b$, va constitui un sistem de două ecuații cu două necunoscute 
$$\begin{cases}3a+b=1025\\2a+b=\,\,\,\,\,\,\,1\end{cases},$$

pe care îl puteți rezolva ușor cu una dintre metodele pe care le știți deja, adică cu metoda substituției, reducerii sau Cramer (recomand, desigur, metoda reducerii aici). Rezolvând sistemul (scăzând, de exemplu, din prima linie pe cea de-a doua), obținem că $a=1024$ și $b=-2047$. 

Așadar, restul căutat va fi $$\color{red}{R=aX+b=1024X-2047}.$$

Ce ziceți, facem o mică recapitulare? Ca să vedem de ce este vorba despre teorema generalizată a restului. 

Așadar, dacă împărțitorul are gradul $n$, atunci restul are gradul $n-1$. În acest caz, pentru a determina restul, ne trebuie un sistem de $n$ ecuații cu $n$ necunoscute, necunoscute ce reprezintă tocmai coeficienții restului. Cele $n$ ecuații ale sistemului se obțin cu ajutorul celor $n$ rădăcini ale împărțitorului, rădăcini ce vin înlocuite în relația dată de teorema împărțirii cu rest.

Cel mai simplu caz este acela în care împărțitorul are gradul unu, caz în care el are o singură rădăcină (să o notăm cu $a$), restul este de gradul zero, deci este un simplu număr, notat cu $r$, iar „sistemul” de $n$ ecuații devine, de fapt, o singură ecuație care spune că $$f(a)=r,$$ deci ne spune că restul împărțirii este tocmai f(a). Aceasta este teorema simplă a restului, negeneralizată. Cea generalizată este pentru împărțitor de grad mai mare decât unu.

Așadar, în general putem spune atunci că restul $R$ al împărțirii unui polinom $D$ de grad mai mare decât $n$ la un polinom $Î$ de grad $n$ este dat de un sistem de $n$ ecuații cu $n$ necunoscute (aceste necunoscute sunt tocmai coeficienții restului căutat) care sistem se obține prin folosirea relației $D(X)=C(X)\cdot Î(X)+R(X)$ pentru fiecare dintre cele $n$ rădăcini (deci, prin înlocuirea necunoscutei $X$ cu rădăcinile lui $Î(X)$).

Despre cum puteți deduce în joacă două proprietăți importante ale logaritmului

Știu că logaritmul este tare încuietor pentru mulți elevi. Și aș dori să le arăt acestora cum ar putea să se descurce în situații limită.

Rețineți întâi un LOGARITM DE REFERINȚĂ: $$\large{\color{red}{\log_2 8=3}}.$$ Deci, logaritm în baza doi din opt este trei. Da, trei. De ce trei? Pentru că doi la puterea A TREIA este opt. 

Observați, deci, că logaritmul este „puterea” la care trebuie să ridicăm baza (2-ul este baza) ca să obținem argumentul (8-ul este argumentul).

Relația de mai sus, din LOGARITMUL DE REFERINȚĂ se poate citi și invers, de la dreapta la stânga. Așadar, putem scrie și $$3=\log_2{8}.$$ Această egalitate ne spune că „peste tot, în loc de numărul 3 putem să punem expresia $\log_2 8$”.

Haideți să ne jucăm cu această informație și vom obține o proprietate faină a logaritmului. Noi știm că $$2^3=8.$$ Dacă în locul acelui 3 de la exponent noi vom pune expresia $\log_2 8$, vom obține ceva drăguț: $$2^{\log_2{8}}=8.$$ Am obținut ceva care ne sugerează că 2 cu 2 se „simplifică”. Dar aceasta ne duce la o formulă importantă cu logaritmii, dacă înlocuim numerele cu litere. Mai exact, avem că: $$\large{\color{red}{a^{\log_a b}=b}}.$$


Ne mai jucăm o dată cu logaritmul de referință, deci cu $\log_2 8=3$, doar că, de data aceasta, în loc de 8 noi vom pune $2^3$. Obținem $$\log_2 2^3=3.$$ Așadar, din nou, parcă s-a simplificat 2 și a rămas 3. Prin urmare, avem o altă formulă importantă, de bază, a logaritmilor: $$\large{\color{red}{\log_a{a^b}=b}}.$$

Iată ce minuni puteți face cu acest logaritm de referință. Dar, poate mai găsiți și voi altele...

Scăderea și împărțirea nu sunt asociative

Spre deosebire de adunare și înmulțire, care sunt operații cuminți, adică asociative, la scădere și la împărțire trebuie să avem grijă la paranteze. Altfel spus, în timp ce la adunare nu contează parantezele, căci $$8+4+2=(8+4)+2=8+(4+2)$$ și nici la înmulțire, căci $$8\cdot 4\cdot 2=(8\cdot 4)\cdot 2=8\cdot(4\cdot 2),$$ la scădere (și la împărțire) lucrurile se schimbă dramatic, pentru că scăderea dă rezultate diferite după cum grupăm termenii scăderii. 

Astfel, $$(8-4)-2=4-2=2,$$ pe când $$8-(4-2)=8-2=6.$$ Așadar, la scădere contează unde punem parantezele

Și împărțirea ne face astfel de probleme, obligându-ne să fim mai grijulii, căci $$(8:4):2=2:2=1,$$ în timp ce $$8:(4:2)=8:2=4.$$

Totuși, oamenii au găsit o soluție pentru a evita parantezele astea greoaie. Pentru aceasta, ei au făcut o convenție, adică s-au pus toți la o masă rotundă și au spus așa: „haideți să facem cumva să nu mai folosim paranteze și să ne înțelegem între noi ca atunci când vedem scăderi sau împărțiri fără paranteze, să facem operațiile ÎN ORDINEA ÎN CARE SUNT SCRISE”.

Așadar, ei s-au înțeles ca un calcul de genul $$8-4-2$$ să fie echivalent cu un calcul de genul $$(8-4)-2,$$ iar la împărțire, un calcul de genul $$8:4:2$$ să însemne de fapt calculul $$(8:4):2.$$

Problema este că unii elevi au lipsit de la acea masă rotundă la care s-a convenit regula, așa că unii elevi nu știu cum să facă asemenea calcule. Acesta este motivul pentru care m-am gândit să scriu acest articol, în care dau în vileag ceea ce s-a discutat la acea masă rotundă cândva.

Dar ce putem face cu elevii care lipsesc și de pe acest blog? :)

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1b

Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Determinați numerele reale $x$, știind că $A(x)\cdot A(2x)=A(x^2+2)$.



Când trebuie să găsim necunoscute înseamnă că trebuie să ajungem cumva la o ecuație (de gradul întâi sau al doilea) care conține acele necunoscute. Altfel spus, noi vrem să scăpăm de litera $A$. Mai neriguros spus, vrem să "simplificăm" cu litera $A$.


Pentru a scăpa de litera $A$ va trebui să facem înmulțirea din partea stângă a egalității. Avem de făcut înmulțirea:$$A(x)\cdot A(2x)=\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{ll} 1&2x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{2x}\\ \end{array} \right). $$

Combinări de n luate câte k

Definiția

Am să vă povestesc azi despre combinări. Combinările sunt niște numere, numere naturale (adică, fără minus și fără virgulă). Ele ne arată câte submulțimi putem forma cu niște elemente.

De exemplu, dacă cineva o să vă întrebe câte submulțimi de câte două elemente se pot forma cu elemente furate dintr-o mulțime care are patru elemente, atunci voi le veți putea răspunde că numărul căutat este „combinări de patru luate câte doi” și veți scrie . El este egal cu șase. Și vom vedea mai jos de ce.

Numărare

Dar oare cât o fi acest număr? Cât este combinări de patru luate câte doi? Păi, haideți să numărăm mulțimile. Începem cu o mulțime care are patru elemente. Fie aceasta . Să vedem câte submulțimi de câte două elemente putem forma cu elemente furate din această mulțime.

Vom avea următoarele mulțimi posibile: ,,,,și . Deci, combinări de patru luate câte doi este egal cu șase. Căci avem șase submulțimi posibile. Scriem condensat

.

Radical din doi este un număr irațional

În clasele foarte mici elevii învață numerele naturale, adică numerele pozitive și fără virgulă. Numerele $0$,     $1$,     $2$,     $3$ și așa mai departe sunt numere naturale.

În clasele mici elevii învață mai apoi și numerele întregi, adică numere care pot avea și minus, dar care rămân în continuare fără virgulă. Numerele $5$,      $-5$,      $0$,      $-3$ sunt numere întregi (chiar dacă unele dintre ele sunt și numere naturale).

Apoi încep să învețe și despre numerele raționale, adică numere care au și virgulă, dar o asemenea virgulă încât după virgulă trebuie să se repete ceva (un grup de cifre) mereu la fel. Numerele $-1$,     $0,7$,     $-\frac{2}{3}$,     $18^2$,     $0,1001001001001\dots$ sunt numere raționale (chiar dacă unele dintre ele sunt și numere întregi).

Calculați $i^i$.

Cum adică, să calculăm $i^i$? Ce trebuie să mai obținem din $i^i$? Nu este suficientă această formă? Doar știm că $i$ este o literă folosită pentru a-l scrie mai compact pe $\sqrt{-1}$. Atunci, se poate duce „mai departe” prin calcul expresia $i^i$, o literă la literă? Dacă ni s-ar fi cerut să calculăm $3125^{625}$, ce rezultat ar fi trebuit să prezentăm? Oare ni s-ar fi cerut să arătăm numărul acela lung, lung de tot dat prin $191101259794547752\dots 1680908203125$? Sau dacă ni s-ar fi cerut să calculăm $\sqrt{e}^{\ln 2}$, ce ni s-ar fi cerut de fapt, ni s-ar fi cerut numărul acela urât, $1,414213562373095\dots$?

Iată o mulțime de probleme pe care le putem pune în legătură cu ideea de a calcula ceva. Desigur, pentru un elev cu ceva intuiție matematică, a calcula va însemna a prezenta o ALTĂ formă a numărului dat, o formă ceva mai relevantă, mai compactă, mai condensată, mai elegantă, o formă la care se referă examinatorul cel cu ochi de vultur.

Elementul neutru al legii $x\circ y=x+y+ceva$ este $-ceva$

Dacă primiți o lege de forma $$x\circ y=x+y+ceva,$$ atunci elementul neutru al acelei legi este $$e=-ceva.$$

De exemplu, dacă $$x\circ y=x+y+8,$$ atunci elementul neutru al acestei legi este $$e=-8.$$

Bineînțeles, dacă primiți legea $$x\circ y=x+y-3,$$ atunci elementul ei neutru va fi $$e=3.$$ Așadar, semnul elementului neutru este opus semnului pentru termenul liber.

Deci, dintr-o privire puteți ști care este elementul neutru al unei asemenea legi simple. Astfel de legi puteți primi destul de des la teme sau chiar la bac.

O șmecherie cu elementul neutru

Probabil ați întâlnit deja probleme în care vi se cere să găsiți elementul neutru al unei legi de compoziție. Elementul neutru al unei legi de compoziție este acel ceva care nu modifică valoarea termenului cu care este compus.

De exemplu, elementul neutru al adunării este $0$ pentru că zero nu-l modifică pe $5$ sau pe $8$ atunci când acestea se adună cu zero. Mai exact, zero este element neutru al adunării pentru că $5+0=5$ sau $8+0=8$.

De asemenea, elementul neutru al înmulțirii este $1$ pentru că $5\cdot 1=5$ sau $17\cdot 1=17$.

Inecuația de gradul doi

Inecuațiile sunt aproape la fel ca și ecuațiile, doar că în locul semnului „egal” apare semnul „inegal”. Semnul „inegal” este unul dintre semnele $\geqslant$, $\leqslant$, $<$ sau $>$.

Desigur, această deosebire are ceva consecințe. În timp ce ecuațiile au de regulă un număr finit de soluții, inecuațiile au de regulă un număr infinit. Aceasta este regula, dar există și excepții. De exemplu, ecuația $x=x$ are o infinitate de soluții reale, iar inecuația $x<2$ are un număr finit de soluții naturale. Dar, de regulă, mulțimea soluțiilor unei ecuații poate fi scrisă ca o mulțime finită (cu acoladă), pe când mulțimea soluțiilor unei inecuații se prezintă sub forma unui interval.

Într-un determinant putem să dăm factor comun

În determinantul $$\Delta=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&20&60\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=156$$ putem observa că linia a doua conține multiplii de $4$, căci $4=4\cdot 1$, $20=4\cdot 5$, iar $60=4\cdot 15$. 

În cazul acesta, putem da factor comun pe $4$ și vom obține o nouă formă a determinantului, mai simplă, în care a doua linie are numere mai mici, și anume $$\Delta=4\cdot\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 1&5&15\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=4\cdot 39=156.$$

Atenție, observați că celelalte linii rămân nemodificate!

Așadar, căutați pe viitor asemenea factori comuni într-o linie sau o coloană a unui determinant, ca să vă faceți viața mai ușoară.

Dacă schimbăm o linie cu alta, schimbăm semnul determinantului

Dacă într-un determinant schimbăm o linie cu alta, atunci se schimbă semnul determinantului. Dacă în determinantul $$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-3$$ schimbăm linia doi cu linia trei, de exemplu, atunci obținem determinantul $$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 7&8&10\\4&5&6\\  \end{array} \right|=3=-\Delta_1.$$

Bineînțeles, după cum știți deja, acest lucru este valabil și pentru coloane, nu doar pentru linii.

Un determinant de ordinul trei este cât trei determinanți de ordinul doi

O problemă grea poate fi descompusă în mai multe probleme ușoare (aceasta este cheia succesului!), iar un determinant urât poate fi descompus în mai mulți determinanți drăguți. Determinantul de ordinul trei $\Delta_1$, de care tot vorbim de câteva zile încoace, poate fi descompus în trei determinanți de ordinul doi (iar în general, un determinant de ordinul $N$ poate fi descompus în $N$ determinanți de ordin $N-1$).

Astfel, determinantul $$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-3$$ poate fi scris ca $$\Delta_1=1\cdot\left|\begin{array}{ll} 5&6\\ 8&10\\ \end{array} \right|-4\cdot\left|\begin{array}{ll} 2&3\\ 8&10\\ \end{array} \right|+7\cdot\left|\begin{array}{ll} 2&3\\ 5&6\\ \end{array} \right|.$$