O prietenie dintre cerc și triunghiul dreptunghic, care durează de milioane de ani

Se spune că, demult, încă din negura vremurilor, cu mult înainte de apariția dinozaurilor, cercul și-a dat întâlnire cu triunghiul dreptunghic, în taină și nu s-au mai despărțit de atunci niciodată. Și nici nu se vor mai despărți vreodată, deoarece au jurat într-o prietenie veșnică. Iar ei se țin de cuvânt...

De-a lungul anilor, însă, odată cu apariția pe Pământ a omului pasionat de Matematică (homo mathematicus), taina celor două figuri geometrice a început să se risipească, în ciuda faptului că ele au rămas, totuși, prietene.

Și iată care este taina lor, ascunsă în imaginea de mai jos:

Ce trebuie să observați aici? Că unghiul CAB subîntinde semicercul roșu, adică are $90^o$, astfel că triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar ipotenuza triunghiului dreptunghic este tocmai diametrul cercului circumscris triunghiului. 

Mai observați de aici că segmentele OA, OB și OC sunt tocmai raze ale cercului circumscris, deci sunt egale între ele, proprietate ce poartă numele de teorema medianei (mediana principală AO este jumătate din ipotenuză).

Multe probleme din geometria plană își găsesc rezolvarea în această legătură minunată de care uită majoritatea elevilor de gimnaziu. Așa că, intervenția mea are menirea de a sublinia încă o dată prietenia dintre triunghiul dreptunghic și cerc.

Cele mai importante proprietăți ale triunghiului dreptunghic

Începem anul într-o manieră inedită. Mă veți auzi cântând în filmulețul de mai jos, o melodie despre triunghiul dreptunghic oarecare, isoscel și Timaios.

Vă reamintesc aici despre teorema medianei principale (deci, a medianei care pleacă din unghiul drept) și teorema lui Timaios (teorema 30, 60, 90), ambele teoreme spunându-ne cât de importantă este relația dintre mediana principală, respectiv, cateta mică și ipotenuza. Mai exact, mediana principală este jumătate din ipotenuză, iar cateta mică (adică aceea care se opune unghiului mic, de 30 de grade) este și ea tot jumătate din ipotenuză.

Iertați-mi începutul ilariant și sper ca noua abordare să fie mai eficientă decât toate abordările de până acum.

Echerul special

Există în comerț o trusă de instrumente pentru geometrie care,  printre o mulțime de alte bunătăți, conține și o piesă extrem de drăguță despre care doresc să vă vorbesc aici și anume „echerul special”. Mai exact, există acolo un echer, care mie îmi este tare drag, ce are un unghi de 30°, un unghi de 60° și un unghi drept, adică de 90°. Acest echer, mai bine zis, acest triunghi dreptunghic, are o importanță supremă în geometrie, deoarece apare foarte, foarte des în problemele pe care le veți întâlni vreodată.

El ne amintește de o proprietate fundamentală în geometrie pe care o are triunghiul acesta dreptunghic cu un unghi de 30°: cateta mică este jumătate din ipotenuză.  În aceste șase cuvinte magice este cuprinsă o proprietate geometrică pe care o veți întâlni în sute de probleme de acum încolo. Ea ne spune că în acest triunghi dreptunghic special, cateta mică (adică latura aceea care formează unghiul drept și care este departe de unghiul de 30°),  este tocmai jumătate din ipotenuză, deci este tocmai jumătate din cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic special.

Concret, dacă veți avea curiozitatea să măsurați cu liniarul lungimea ipotenuzei echerului special, după care să măsurați lungimea catetei mici a acestui echer, veți constata că, așa ca printr-o minune, cateta mică este jumătate din ipotenuză.  Așadar, mai putem spune și că ipotenuza este de două ori mai mare decât cateta mică.  

Bineînțeles, această proprietate este valabilă pentru orice triunghi dreptunghic special (deci, triunghi cu unghiurile de 30°, 60°, 90°) și ea este echivalentă cu faptul că sinus de 30° este unu supra doi ($\frac 1 2$), sinusul unui unghi fiind, prin definiție, cateta opusă acelui unghi supra ipotenuză.

Bacalaureat, V39SIP6 (arie triunghi dreptunghic special)

Să se calculeze aria unui triunghi dreptunghic care are un unghi de $60^\circ$ și ipotenuza de lungime $8$.

Aria unui triunghi dreptunghic? Hmmm... Ce știți despre aria unui triunghi dreptunghic? Cum o calculăm? Vă amintiți ceva formule pentru aria unui triunghi dreptunghic?

În general, aria unui triunghi este „baza ori înălțimea supra doi”. Dar în cazul triunghiului dreptunghic avem o formulă mai concretă. Aria unui triunghi dreptunghic este „cateta unu ori cateta doi supra doi”. Deci, ca să găsim aria unui triunghi dreptunghic, înmulțim cele două catete, iar rezultatul îl împărțim la doi.

Ok, deci ne trebuie cele două catete ale triunghiului nostru dreptunghic. Off... Dar examinatorul ne-a dat doar ipotenuza! De ce? Ne-a dat exact ceea ce nu ne trebuie! Căci nouă ne-ar trebui catetele...

Da, recunosc, examinatorul pare un om rău, căci nu ne-a dat catetele. Totuși, este bun pentru că ne-a dat și un unghi. Mai mult de atât, este un om și mai bun decât ne-am imaginat, deoarece unghiul pe care ni l-a dat nu este unui aiurea de 43,5 grade să zicem, ci este un unghi foarte frumos, adică un unghi „normal”, de 60 de grade, despre care știm foarte multe.

Ce știm despre unghiul de 60 de grade? Păi, îi cunoaștem sinusul (radical din trei supra doi) și îi cunoaștem cosinusul (unu pe doi). Cunoscând sinusul sau cosinusul, putem afla oricare dintre catete, dacă ne amintim că sinusul este „cateta opusă supra ipotenuză” sau cosinusul este „cateta alăturată supra ipotenuză”. Apoi, după ce am aflat catetele, avem tot ce ne trebuie pentru a calcula aria, desigur (cu formula „catetă ori catetă supra doi”). 

Am putea să mergem și pe linia asta, a calculării catetelor, dar mai interesant ar fi să ne mai reamintim o proprietate faină a unui triunghi dreptunghic care are un unghi special, de 60 de grade, proprietate pentru care nu aveți nevoie de cunoștințe de trigonometrie, cu sinus și cosinus. Acestei proprietăți i se mai spune „teorema 30, 60, 90”. Teorema spune că într-un triunghi dreptunghic special, în care există un unghi de 60 de grade, cateta mică este jumătate din ipotenuză.

Deci, dacă ni s-a dat ipotenuza și un unghi de 60 de grade, atunci automat putem trage concluzia că una dintre catete (cea mai micuță) este jumătate din ipotenuză, adică în cazul nostru, jumătate din 8, deci 4. Una dintre catete este 4. 

Mai rămâne să aflăm cealaltă catetă. Tot cu mijloace simple, precum este teorema lui Pitagora, teoremă foarte importantă într-un triunghi dreptunghic. Teorema lui Pitagora ne spune că suma pătratelor catetelor este tocmai pătratul ipotenuzei. Așadar, dacă notăm cateta necunoscută cu $x$, atunci teorema lui Pitagora ne va spune că $$4^2+x^2=8^2.$$
Deci, $16+x^2=64$, deci $x^2=64-16=48$. Iar dacă ceva la pătrat este 48, atunci numai ceva-ul acela neridicat la pătrat va fi radical din 48. Astfel, cateta necunoscută este $$x=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}.$$ 

Bun. Deci, una dintre catete este $4$, iar cealaltă este $4\sqrt{3}$. Cât va fi atunci aria căutată? Am văzut mai sus că aria este semiprodusul catetelor. Așadar, $$A=\frac{4\cdot 4\sqrt{3}}{2}=\color{red}{8\sqrt{3}}.$$

Numere pitagoreice

Printre triunghiurile dreptunghice cu care vă veți întâlni până la bacalaureat există un tip (triunghiuri dreptunghice pitagoreice, cu laturi date de numere pitagoreice) despre care aș vrea să vă vorbesc în acest articol.

Triunghiul dreptunghic are o singură proprietate fundamentală (din care pot fi deduse celelalte): are un unghi drept (adică, un unghi de 90 de grade). Atât. Dacă întâlniți un triunghi cu un unghi de 90 de grade, atunci puteți spune liniștiți despre acel triunghi că este triunghi dreptunghic. 

Și va rezulta automat că celelalte două unghiuri rămase ale triunghiului dreptunghic sunt mai mici de 90 de grade (căci suma unghiurilor unui triunghi trebuie să fie 180 de grade).

O altă demonstrație pentru proprietatea medianei principale

Într-un articol anterior vă arătam că ipotenuza este dublul medianei duse din unghiul drept, iar demonstrația era bazată pe faptul că ipotenuza este tocmai diametrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic.

Vă voi prezenta aici o altă demonstrație pentru această proprietate minunată. Astfel, fie triunghiul dreptunghic ABC, dreptunghic în A. Ducem mediana principală AD (adică, mediana dusă din vârful unghiului drept), D fiind mijlocul ipotenuzei BC. 

O șmecherie cu litera dublă la teorema catetei și teorema înălțimii

Într-un triunghi dreptunghic ABC în care am dus înălțimea principală (înălțimea dusă din vârful unghiului drept) AD sunt valabile o mulțime de proprietăți interesante.

Două dintre ele se numesc „Teorema catetei” și, respectiv, „Teorema înălțimii”. Ele rezultă din observația că toate triunghiurile dreptunghice pe care le vedeți în figură sunt triunghiuri asemenea, deoarece fiecare dintre aceste triunghiuri dreptunghice are câte un unghi comun, deci se aplică tocmai cazul de asemănare UU.

Asemănarea DBA cu ABC

Triunghiul mic DBA este asemenea cu triunghiul mare ABC. Observați că ordinea în care am ales literele nu este întâmplătoare, ci este dată de egalitatea dintre măsurile unghiurilor corespunzătoare. 

Ipotenuza este dublul medianei corespunzătoare

Să presupunem că primiți următoarea problemă: 

Într-un triunghi dreptunghic ABC, dreptunghic în A, lungimea medianei duse din vârful A este egală cu 8 centimetri. Se cere lungimea ipotenuzei.

Desigur, din titlu vă puteți da seama că ea va fi dublul lui 8, adică 16 centimetri. Dar să vedem de ce este așa.

Pentru aceasta, vom desena un cerc de centru O, vom trasa un diametru oarecare (verde), adică o coardă oarecare, dar care trece prin cercul centrului, diametru pe care îl vom nota cu BC, după care vom alege un punct (de asemenea) ARBITRAR, deci oarecare, oriunde pe cerc, punct pe care îl vom nota cu A (de la ARBITRAR?).

Atunci, triunghiul ABC este DREPTUNGHIC în A.

Așadar, atât triunghiul ABC din figura 1 este dreptunghic,

Figura 1.

cât și triunghiul ABC din figura 2 este, de asemenea, dreptunghic.