V-M+F=2

Acest domn Euler a fost o minune, un înger pe Pământ. Dânsul ne-a lăsat această relație superbă, $$\color{red}{V-M+F=2}$$ care ne face legătura între numărul de Vârfuri, de Muchii și de Fețe ale unui poliedru.

Puteți reține ușor relația domnului Euler, căci literele care apar sunt în ordine alfabetică descrescătoare și avem un semn minus în mijloc.

De exemplu, o piramidă patrulateră are 

$V=4+1=5$, cinci vârfuri, $M=2\cdot 4=8$, opt muchii și $F=4+1=5$, cinci fețe. Deci, $V-M+F=5-8+5=\color{red}{2}$.

Mai vedeți și voi alte exemple, poate vă iese tot $\color{red}{2}$.

Azi am înregistrat un filmuleț cu o ședință online de o oră, în care am rezolvat primele două subiecte de la un test de evaluare națională, postat pe saitul ministerului.

Vizionare plăcută!

Mâine vă aștept la o ședință în care voi rezolva o variantă de bacalaureat, în măsura timpului disponibil.

1000 de teste inițiale pentru clasa a VIII-a!

Mamma mia, ce oameni harnici! Ia uitați ce a realizat tipul ăsta, în timp ce eu mă chinuiesc să fac o asemenea bază de date în Google Sheets:

http://www.mateinfo.net/interactiv/gimnaziu/cls08/

Alegeți un număr în baza căruia va fi generat automat un test.

Felicitări realizatorului!

Despre un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute

Un sistem de două ecuații este un ansamblu de două ecuații care trebuie satisfăcute simultan (acolada care apare ne arată că cele două ecuații trebuie să fie satisfăcute simultan, adică trebuie să fie „adevărate” simultan). A rezolva un sistem de două ecuații cu două necunoscute înseamnă a găsi o pereche de numere în așa fel, încât, puse în locul lui x și y (în această ordine), în cele două ecuații, egalitatea să fie adevărată, atât în prima ecuație, cât și în cea de-a doua.

Doamna Vladimira Palașca a realizat un applet valoros în Geogebra, cu ajutorul căruia elevii de clasa a VIII-a pot înțelege mai ușor comportamentul unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute. 

Mai exact, în appletul ei puteți observa un sistem de două ecuații, una roșie, iar cealaltă albastră. Fiecare dintre cele două ecuații au coeficienți ce pot fi modificați cu ajutorul cursoarelor care au aceeași culoare ca și a ecuației respective.

De asemenea, puteți vizualiza pe desen graficul corespunzător fiecărei ecuații. Graficul corespunzător unei ecuații liniare cu două necunoscute este o dreaptă.

Dacă cele două drepte se intersectează într-un singur punct, înseamnă că sistemul dat este și compatibil și determinat (adică are o soluție, care este și unică).

Dacă cele două drepte se intersectează în mai multe puncte (iar dacă se intersectează în două sau mai multe puncte, atunci se intersectează într-o infinitate de puncte, adică dreptele sunt una și aceeași, deci coincid), atunci sistemul celor două ecuații este din nou compatibil, dar este nedeterminat. Asta mai înseamnă că cea de-a doua ecuație nu aduce nicio informație în plus față de prima. Se pot întâmpla asemenea cazuri atunci când cea de-a doua ecuație este tocmai prima ecuație, înmulțită eventual cu vreun număr oarecare, nenul.

În fine, dacă cele două drepte sunt paralele, atunci ele nu se intersectează, ceea ce înseamnă că sistemul dat nu are nicio soluție, caz în care sistemul se numește incompatibil sau imposibil (este imposibil ca cele două ecuații să fie satisfăcute simultan de vreo pereche de numere puse în locul lui x și y).


Sistemul de două ecuații liniare cu două necunoscute este cel mai simplu sistem posibil. El vă poate iniția excelent în studiul sistemelor și orice profesor bun va începe cu (sau va reaminti) acest sistem înainte de a studia cazurile mai generale.