Prima problemă din politestul-fulger de clasa a IX-a, generat în 29 august

În cele ce urmează ne vom ocupa de un politest-fulger din imaginea de mai jos, în care vedeți o listă cu 9 probleme, prima de clasa a cincea și apoi câte două din fiecare clasă până într-a noua inclusiv. Baza de itemi acoperită are 938 de elemente momentan, iar politestul apărut ar trebui să poată fi rezolvat în 270 de secunde.

Prima problemă, de clasa a cincea, ne spune că „Segmentul LH are lungimea de 8 cm, segmentul HV are lungimea de 50 mm, iar punctele H, V și L sunt coliniare în această ordine. Ce lungime are segmentul VL?”.

Dacă punctele H, V și L sunt coliniare în această ordine, atunci suma segmentelor mici trebuie să ne dea exact segmentul mare. Mai concret, 

$$HV+VL=HL.$$

Așadar, elevul de clasa a cincea care întâlnește această problemă trebuie să înțeleagă enunțul, să își amintească ce înseamnă coliniaritatea celor trei puncte și ce consecință metrică are această coliniaritate. Desigur că în 60 de secunde se poate realiza aceasta.

Urmează atunci o simplă înlocuire, în care ținem seama că segmentul $HL$ are aceeași lungime cu segmentul $LH$, astfel că relația precedentă devine:
$$HV+VL=HL\Longrightarrow 50\, \text{mm}+VL=8\,\text{cm}.$$

Următoarea etapă de rezolvare a problemei este transformarea unităților de măsură pentru a putea omogeniza relația, formă în care vom putea calcula lungimea lui VL. Căci, un elev superficial care s-ar grăbi să facă asemenea calcule fără să țină seama de faptul că unitățile de măsură sunt diferite, ar ajunge la un rezultat aberant și anume ar fi nevoit să facă scăderea $8-50$ care l-ar duce la un rezultat număr negativ.

Așadar, contează mult unitatea de măsură. O valoare numerică singură, fără unitatea de măsură asociată nu ne dă nicio informație despre lungimea segmentelor. Numai ansamblul celor două ne poate da precizia de care este nevoie.

Atunci trebuie să transformăm centimetri în milimetri sau milimetri în centimetri. Alegem ultima variantă. Cum 50 de milimetri înseamnă 5 centimetri, relația noastră devine acum omogenă:

$$50\, \text{mm}+VL=8\,\text{cm}\Longrightarrow 5\, \text{cm}+VL=8\,\text{cm}.$$

Din această ultimă relație rezultă că 
$$VL=8\,\text{cm}-5\,\text{cm}=\color{red}{3\,\text{cm}}.$$

Relația vectorială a lui Chasles

Liceenii de clasa a IX-a încep să învețe despre minunații vectori, adică despre acele entități matematice care au și direcție, nu doar valoare, adică au o mai mare legătură cu spațiul decât numerele simple învățate de ei în gimnaziu. Vectorii sunt determinați de perechi ordonate de puncte din spațiu și putem face cu ei operații matematice precum adunarea, scăderea și chiar înmulțirea (doar că înmulțirea este de trei tipuri: cu scalari, scalară și vectorială).

Relația lui Chasles ne spune că dacă adunăm doi vectori în care al doilea vector începe cu litera cu care se termină primul vector, atunci rezultatul este un alt vector în care litera respectivă a dispărut. Adică:

$$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}.$$

Observați cum litera B a dispărut pus și simplu, deoarece „s-a ciocnit prin adunare” de la un vector la celălalt.

Fenomenul este și reciproc. Adică, putem insera o literă nouă acolo unde dorim noi, așa ca în exemplul de mai jos:

$$\vec{XY}=\vec{XZ}+\vec{ZY}.$$

Iată un exemplu de problemă care poate fi rezolvată cu ajutorul formulei lui Chasles: 

Fie două segmente AB și CD care au același mijloc. Să se arate că atunci are loc relația $\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{0}$.

Începem rezolvarea de la faptul că cele două segmente trebuie să aibă același mijloc. Atunci, notând cu M mijlocul respectiv, trebuie să avem relațiile: $$\vec{AM}=\vec{MB}$$ și $$\vec{CM}=\vec{MD},$$ căci așa exprimăm vectorial faptul că M se află la mijlocul segmentelor AB și CD.

Fără să facem niciun desen (care ne-ar arăta că este vorba despre un paralelogram) putem rezolva problema, doar folosind relația lui Chasles. Iată cum. Vom transforma relațiile precedente în așa fel încât să ne apară zeroul acela dorit în dreapta, după care le vom scădea termen cu termen și cu relația lui Chasles vom obține minunea. Adică:

$$\vec{AM}-\vec{MB}=\vec{0}$$ și $$\vec{CM}-\vec{MD}=\vec{0},$$ pe care le scădem termen cu termen și obținem:

$$\vec{AM}-\vec{MB}-\vec{CM}+\vec{MD}=\vec{0}+\vec{0}.$$ 

Această ultimă relație poate fi prelucrată mai frumos, pentru a așeza literele convenabil ca în relația lui Chasles, adică:

$$\vec{AM}+\vec{MD}-(\vec{CM}+\vec{MB})=\vec{0}+\vec{0}.$$ 

Cum litera M dispare datorită lui Chasles, spre ușurarea noastră, ne rămâne doar

$$\vec{AD}-\vec{CB}=\vec{0}.$$ 

Și cum prin comutarea literelor unui vector schimbăm semnul acelui vector, obținem exact ceea ce trebuia și anume:

$$\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{0}.$$ 

De regulă, în rezolvarea problemelor vectoriale relația lui Chasles vă ajută cu mare probabilitate. Totul este să știți să jonglați cu litera de care aveți nevoie și cu litera care doriți să dispară obligatoriu. 

Alte minuni create de domnul Sorin Borodi

Domnul Borodi a mai creat niște teste inițiale foarte utile pentru elevi și profesori, pe care le puteți găsi la adresele:

http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_____5.htm
http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_6.htm
http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_7.htm
http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_8.htm
http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_9.htm


N-am verificat perfecțiunea lor, dar de utilitatea lor sunt absolut convins.