Cât este 8-7 sau despre complexitatea creierașului de elev

Desigur, un școlar din clasele primare va da un răspuns aproape instantaneu dacă îi vom cere să ne spună care este rezultatul scăderii din titlu.

Însă se poate întâmpla ca un elev din clasele mai mari să stea mai mult pe gânduri.

În clasele primare, școlăreii încă n-au apucat să învețe despre numerele întregi negative, așa că pentru ei un asemenea calcul este floare la ureche. Însă nu la fel stau lucrurile cu un elev din clase mai mari.

Elevul dintr-o clasă gimnazială sau chiar și un licean va fi mai tulburat puțin de o asemenea întrebare, căci bagajul său de cunoștințe este mai bogat. S-ar putea ca el să creadă că problema este dificilă și va aplica regula complicată (dar firească) de operare a numerelor întregi, aceea cu "dacă două numere întregi au semne diferite, atunci rezultatul adunării lor va avea semnul celui mai mare dintre ele (în valoare absolută) și valoarea dată de diferența dintre cel mai mare și cel mai mic". Vă dați seama, o groază de muncă pentru un creier foarte concentrat și adâncit în rezolvarea problemei.

Așadar, este o crimă să criticăm un elev că stă pe gânduri la întrebarea din titlu! Este o gravă eroare pedagogică deoarece descurajează un suflet inocent în formare. Oamenii sunt foarte complecși și merită să avem răbdare cu ei, merită să nu tragem concluzii privind capacitatea lor din asemenea ezitări vremelnice. 

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2c

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $(2n+3) I_{n+1} =2(n+1) I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 


Elevii care se consideră slabi nu mai ajung la acest subiect, renunțând și ieșind din sala de examen fără să mai încerce rezolvarea. În schimb, elevul căruia profesorul i-a sugerat mereu că mintea lui este sclipitoare nu se va gândi să abandoneze, ci dimpotrivă, chiar dacă e obosit după atâta muncă, el va încerca să rezolve și această problemă. 

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2b

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $I_{n+1} \leq I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 


Ca să demonstrăm o asemenea inegalitate de integrale ne folosim de monotonia integralei. Într-un articol precedent recent spuneam ceva important despre monotonie, spuneam că funcțiile crescătoare nu modifică semnul inegalității, pe când cele descrescătoare îl modifică.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2a

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Arătați că $I_1=\frac 2 3$.

Ce înseamnă $I_1$? Înseamnă tocmai $I_n$ în care punem în locul lui $n$ numărul $1$. Așadar, $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx.$$

Deci, avem de calculat integrala drăguță $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx=\int_0^1 1-x^2 dx. $$

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1c

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Demonstrați că $f(2\sqrt 3 )<f(3\sqrt 2)$.


Dacă v-aș fi cerut să comparați numerele $2\sqrt 3 $ și $3\sqrt 2 $, ați fi găsit că $2\sqrt 3 <3\sqrt 2$, căci ați fi introdus sub radical (prin ridicare la pătrat) numerele din fața radicalului.

Acum amintiți-vă regula aia minunată: funcțiile crescătoare nu modifică semnul unei inegalități. În schimb, funcțiile descrescătoare modifică (îl inversează) semnul inegalităților asupra cărora sunt aplicate. Amănunte despre această proprietate puteți găsi în articolul în care descriam legătura dintre monotonie și derivată.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1b

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Calculați $$\lim_{x\to+\infty}{\frac {f^\prime(x)} { f(x)}}. $$


Pe $f ^\prime (x) $ am găsit-o deja la subpunctul precedent, așa că limita care se cere este de fapt $$\lim_{x\to+\infty}{\frac {e^x-x-1} {e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1}}. $$

Prima metodă (riguroasă și rapidă): 

Cum calculăm această limită, cât mai rapid? Vă povesteam cândva cum se poate calcula rapid limita unei fracții de polinoame atunci când $x$ tinde la infinit. La ceea ce am discutat acolo voi mai adăuga aici o observație importantă: funcția $e^x$ poate fi considerată ca fiind un polinom de gradul infinit.