Ecuația redusă a dreptei

Appletul pe care vi-l prezint astăzi aduce lumină în legătură cu ceea ce se întâmplă cu o dreaptă în plan atunci când modificăm unul dintre punctele care definesc dreapta.

Modificați-l cu mausul pe $a$ sau pe $b$ și veți vedea cum se modifică parametrii dreptei. $a$ este abscisa punctului $A(a,2)$, $b$ este ordonata punctului $B(2,b)$, $d$ este ecuația redusă a dreptei, $\alpha$ este unghiul dintre dreaptă și axa OX dat în radiani, iar $\beta$ este același unghi dat în grade.

Panta dreptei este tocmai numărul din fața lui $x$ care apare în ecuația redusă a dreptei și ne arată cât de înclinată este dreapta. Chiar dacă cele două nu sunt unul și același lucru, există totuși o legătură directă între unghiul de înclinare $\alpha$ și pantă, legătură dată de formula $$panta=\tan\alpha.$$

Observați că dacă panta se anulează (caz în care dreapta devine paralelă cu axa $OX$), atunci ecuația redusă a dreptei este de forma $y=număr$, iar dacă panta devine infinit de mare (dreapta devine perpendiculară pe $OX$), atunci ecuația dreptei este de forma $x=număr$.

Mai observați că dacă panta dreptei este pozitivă, atunci dreapta „urcă”, pe când dacă panta dreptei este negativă, atunci dreapta „coboară”.

Mate-info 2016, subiectul I, problema 5

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,0)$, $B(1,0)$ și $C(1,4)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $B$ și este paralelă cu mediana din $A$ a triunghiului $ABC$.

Se cere ecuația unei drepte. Și se dau niște puncte, cu coordonatele lor. Deci, suntem la geometrie analitică. Ne gândim ce știm despre ecuația dreptei în geometria analitică. Ne amintim ce este mediana. Ne gândim ce știm despre paralelism în geometria analitică. Avem cam zece minute de problemă. Ne apucăm de treabă relaxați și calmi. Facem un pic de ordine în haosul aparent. Ce avem de găsit întâi?

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.b

Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Determinați ecuația tangentei la graficul acestei funcții în punctul de pe grafic a cărui abscisă este $x_0=0$.


Tangenta la grafic într-un anumit punct este o dreaptă care atinge graficul fără să-l taie. Asta înseamnă că tangenta trece doar printr-un singur punct al graficului.

Dar un singur punct înseamnă, de fapt, două puncte infinit apropiate. Deci, dacă am alege două puncte oarecare de pe graficul funcției prin care să treacă o dreaptă și am pune condiția ca cele două puncte să se apropie foarte mult de punctul dorit, atunci am găsi tocmai tangenta.

Haideți să vedem ce iese. Fie $x_0$ abscisa punctului în care vrem să găsim tangenta și fie $x_1$ un punct foarte apropiat de $x_0$. Atunci, ecuația dreptei care trece prin aceste două puncte este dată de

$$\begin{vmatrix}
  x & y & 1 \\
  x_1 & f(x_1) & 1 \\
  x_0 & f(x_0) & 1
 \end{vmatrix}=0$$

sau, echivalent,
$$\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$$

Acum, dacă vrem ca punctul $x_1$ să fie cât mai apropiat de $x_0$ va trebui să facem limită când $x_1$ tinde la $x_0$ în această relație de mai sus. Vom avea atunci
$$\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x_1\to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$$

Dar limita din dreapta este, prin definiție, tocmai derivata funcției în punctul $x_0$. Așadar, putem scrie că ecuația tangentei la graficul funcției $f(x)$ în punctul de abscisă $x_0$ (și, implicit, de ordonată $y_0=f(x_0)$) va fi dată de (rețineți formula, că nu-i grea!)
$$\large{\color{blue}{\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=f^\prime(x_0)}}.$$

Această formulă este cel mai important lucru pe care trebuie să-l cunoașteți pentru a rezolva problema cu tangenta. Ea ne mai spune, printre altele, că panta tangentei (fracția din stânga egalității este tocmai panta dreptei) este egală cu derivata funcției în punctul cerut.




Bun. Să presupunem acum că elevul ar fi știut formula tangentei (un elev care a învățat formulele pentru bac o știe în mod sigur). De aici încolo îi trebuie doar înlocuiri și calcule de rutină. Ia să vedem. La noi, $x_0=0$. Ce fain! Iar derivata am calculat-o deja la punctul precedent (sper că nu v-a trecut prin minte s-o calculăm iar!), adică ea este
$$f^\prime(x)=\frac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}.$$

Atunci să trecem la înlocuiri. $$f^\prime(x_0)=f^\prime(0)=\frac{1-0\cdot e^0}{(e^0-0)^2}=1,$$
iar $$f(x_0)=f(0)=\frac{0+1}{e^0-0}=1.$$

Așadar, putem scrie că ecuația tangentei căutate este
$$\frac{y-1}{x-0}=1.$$

Iar după prelucrări elementare obținem în final că ecuația tangentei căutate, în forma generală, este
$$\large{\color{red}{x-y+1=0}}.$$

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 5

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y=3x+5$ și punctul $A(1,0)$. Găsiți ecuația paralelei duse prin $A$ la dreapta $d$.


Pentru a rezolva această problemă elevului trebuie să-i sară în minte o cunoștință indispensabilă: ecuația dreptei de pantă dată care trece printr-un punct dat. Fără această cunoștință, rezolvarea devine un chin și nu putem insista într-o asemenea direcție greșită. Dacă am continua să ne chinuim, în cel mai bun caz, am putea redescoperi această cunoștință elementară și indispensabilă.

Așadar, haideți să vedem despre ce cunoștință este vorba, mai concret. Deci, care este ecuația dreptei de pantă $m$ care trece prin punctul $A(x_0,y_0)$?

Iat-o: $y-y_0=m(x-x_0)$. Ea mai poate fi regăsită și sub forma echivalentă $$\frac{y-y_0}{x-x_0}=m,$$ iar această ultimă formă ne aduce aminte de legătura cu derivata sau cu tangenta unghiului pe care îl face dreapta cu axa $OX$. În ultimă instanță, panta este tocmai acest lucru: tangenta unghiului pe care îl face dreapta cu axa absciselor.

De aici încolo nu ne mai trebuie altceva decât să facem înlocuirile. De fapt, pardon. Mai trebuie să știm ceva: că două drepte paralele au aceeași pantă! Evident, nu? Aaaa, și mai trebuie să știm că panta unei drepte dată sub forma $y=mx+n$ este tocmai coeficientul lui $x$. Mamăăăă, câte mai trebuie să știm!

Deci, o mică recapitulare. În problemă ni se dă o dreaptă tocmai sub forma minunată (i se mai spune „forma redusă”) pentru ecuația unei drepte $y=3x+5$. Deci, coeficientul lui $x$ este 3, deci panta acestei drepte este $m=3$. Și cum cunoaștem ecuația dreptei care trece printr-un punct $A(x_0, y_0)$ și are panta $m$, ne rămâne să facem înlocuirile.

Așadar, ecuația dreptei căutate este $y-0=3(x-1)$, adică $\color{red}{y=3x-3}$.

Putem face și o probă. Să vedem dacă punctul $A(1,0)$ aparține acestei drepte. Dacă în ecuația dreptei unde vedem $x$ punem $1$ și unde vedem $y$ punem $0$, trebuie să obținem un adevăr. Ian să vedem. $0=3\cdot 1-3$. Adevărat? Adevărat! Și panta este aceeași cu a dreptei date, căci coeficientul lui $x$ este același în ambele cazuri, deci dreptele sunt paralele.

Observați că ecuația dreptei căutate nu a depins de $5$.