Proiecție ortogonală, simplificare expresie, centre

Am postat pe Youtube un filmuleț de vreo 12 minute în care puteți înțelege ce este proiecția ortogonală a unui cerc pe o dreaptă, puteți găsi cum se simplifică expresia $$\frac{x^4-1}{x+1}$$ și aflați unde se află centrul de greutate al triunghiului.

Centrul de greutate al unui triunghi

Ca o continuare a unui articol mai vechi, vă readuc în atenție centrul de greutate al unui triunghi, dintr-o perspectivă mai largă.

Centrul de greutate al triunghiului este probabil cel mai important dintre centrele triunghiului (căci există mai multe asemenea centre: ortocentrul, centrul cercului înscris, centrul cercului circumscris). 

Centrul unui segment și centrul unui triunghi (oare și al unui tetraedru?)

Există oare vreo legătură între cele două (trei) entități de care vorbește titlul articolului nostru? Da, există o legătură admirabilă! Și ea ne este revelată de geometria analitică. 

Pe scurt, geometria analitică ne spune că dacă știm coordonatele a două puncte, atunci mijlocul segmentului format de cele două puncte are ca și coordonate tocmai media aritmetică a coordonatelor respective ale celor două puncte.

De asemenea, dacă știm coordonatele a trei puncte, atunci coordonatele centrului (de greutate al) triunghiului format cu cele trei puncte este media aritmetică a coordonatelor corespunzătoare.

Fie $A(x_A;y_A)$ și $B(x_B;y_B)$ două puncte în plan. Notăm cu $M(x_M;y_M)$ mijlocul acestui segment. Cum mijlocul este media aritmetică a capetelor, avem

$$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$$ și $$y_M=\frac{y_A+y_B}{2}.$$

Să mai aducem un punct în plan, alături de punctele A și B, ca să putem discuta și despre centrul unui triunghi. Fie $C(x_C;y_C)$ acest nou punct (sper că nu l-ați ales chiar coliniar cu punctele A și B). S-a născut astfel un triunghi format de cele trei puncte. Vrem să discutăm despre centrul („mijlocul”) acestui triunghi.

Așa cum anticipați deja, centrul triunghiului este și el o medie aritmetică, precum a fost centrul unui segment. Haideți să concretizăm aceasta. Notăm cu $G(x_G;y_G)$ centrul (de greutate al) triunghiului sau „mijlocul” acestuia, așa cum ne place să fim mai direcți. Atunci, coordonatele acestui minunat punct sunt date în funcție de vârfurile („capetele”) triunghiului, astfel:

$$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$$ și $$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}.$$

Observați că x-ul mijlocului este media aritmetică a x-urilor capetelor, iar y-ul mijlocului este media aritmetică a y-urilor capetelor. Deci, să nu amestecați valorile pentru x cu valori pentru y.

Ce vă spune intuiția despre centrul unui tetraedru (figură geometrică din spațiu formată cu patru puncte)? Nu cumva și el este o medie aritmetică? Răspunsul este afirmativ, desigur. 

Mai mult, există încă o subtilitate care leagă centrul segmentului cu centrul triunghiului și cu centrul tetraedrului: centrul segmentului este la o doime de capăt, centrul triunghiului este la două treimi de capăt, iar centrul tetraedrului este la trei pătrimi de capăt (din mediană). Amănunte puteți găsi în articolul mai amănunțit dedicat acestui subiect.

Așa învățați mai bine matematică, făcând legături între cunoștințe matematice care par a fi disparate!