Teorema lui Pitagora și factorul comun

Din experiența mea, peste 90% dintre elevi nu știu să folosească trucul de care vă voi vorbi în acest articol.

Este vorba despre modul rapid în care putem găsi a treia latură a unui triunghi dreptunghic atunci când le cunoaștem pe celelalte două. Desigur, se aplică teorema lui Pitagora, dar maniera de calcul este mult mai eficientă cu ajutorul factorului comun.

Așadar, să presupunem pentru început că ni se dă un triunghi dreptunghic a cărui ipotenuză are lungimea de 75 cm, iar una dintre catete are lungimea de 60 cm și se dorește determinarea celeilalte catete. 

În acest caz, un elev gospodar se va pune pe treabă utilizând teorema lui Pitagora și va scrie că 

$$c_1=\sqrt{ip^2-c_2^2}=\sqrt{75^2-60^2}=\sqrt{5625-3600}=\sqrt{2025}=45.$$

Desigur, toate au mers brici, în ipoteza că știm să ridicăm repede la pătrat numărul 75 și știm să extragem repede radical din 2025. 

Apropo! Știți să ridicați repede la pătrat un număr care se termină cu 5? E foarte fain: se înmulțește numărul din fața lui 5 cu succesorul său și se adaugă la final numărul 25, așa cum vedeți în exemplele din imaginea de mai jos.

Dar să revenim la teorema lui Pitagora. În cazul precedent (și în toate cazurile similare, cu factor comun) putem să observăm că cele două numere date în ipoteză, adică 75 și 60, au un divizor comun destul de mare, pe 15. Această observație ne va permite să facem calculele mult mai ușor. Pentru că dacă două dintre laturi au un divizor comun (desigur, ne referim la lungimile lor, prin abuz de limbaj), atunci cu certitudine și cea de-a treia latură va avea același divizor. Astfel, în cazul exemplului nostru, dacă 75 și 60 îl au ca divizor pe 15, atunci cu siguranță și 45 îl va avea ca divizor pe 15. 

Acest avantaj ne ajută să lucrăm cu numere mult mai mici. Căci, abstracție făcând de divizorul 15, triunghiul nostru se comportă acum ca și cum ar avea laturile mai mici de 15 ori. Adică, este suficient să găsim cu teorema lui Pitagora cateta necunoscută pentru un triunghi mai mic, cu laturile fără 15, după care să înmulțim înapoi cu 15.

Demonstrația acestui fapt pentru triunghiul inițial este simplă, căci putem scrie:

$$c_1=\sqrt{75^2-60^2}=\sqrt{(5\cdot\color{red}{15})^2-(4\cdot\color{red}{15})^2}=\sqrt{5^2-4^2}\cdot\color{red}{15}.$$

Cazul prezentat este mai simplu, căci se bazează pe celebrul și binecunoscutul triplet pitagoreic fundamental $\color{red}{3,4,5}$ cu derivatele sale obținute prin înmulțirea cu un factor natural. Dar utilitatea metodei descrise iese mai bine în evidență în cazuri mai complicate, cum este cazul triunghiului ale cărui catete sunt, de exemplu, 16 și 24. Cât va fi în acest caz ipotenuza?

Dacă nu aplicăm trucul, trecem prin următorul chin:

$$ip=\sqrt{16^2+24^2}=\sqrt{256+576}=\sqrt{832}.$$

Și, desigur, pentru a găsi cât este radicalul lui 832 vă veți mai chinui să-l descompuneți:

obținând, în sfârșit, ipotenuza ca fiind egală cu $8\sqrt{13}$.

Dar ce am fi câștigat dacă foloseam trucul cu factorul comun? Păi, în loc să lucrăm cu triunghiul mare, am fi descoperit că 16 și 24 îl au pe 8 ca factor comun:

și atunci lucram cu triunghiul mic

pentru a-l descoperi pe $\sqrt{13}$, adică procedam ca în imaginea:

Eu sper din toată inima ca acest truc să vă ajute să câștigați timp de-acum încolo atunci când doriți să găsiți mai rapid cea de-a treia latură a unui triunghi dreptunghic, dacă celelalte două au un divizor comun mare.

Metoda cireșelor

Acum, fiind în vacanță și înfulecând cu nesaț niște cireșe dulci și grase, am găsit ceva timp ca să vă vorbesc despre metoda de descompunere în factori a unui trinom cu coeficienți întregi, pe care în gimnaziu o numim „metoda cireșelor”, căci amintește de perechile de cireșe savuroase atârnate după urechi. 

Metoda se aplică cu mult succes la descompunerea trinomului cu coeficienți întregi pentru care coeficientul dominant (adică „a”-ul, deci coeficientul lui $x^2$) este egal cu unitatea, adică la trinoame de forma $x^2+bx+c$, unde $b$ și $c$ sunt numere întregi.

Fundamentul care stă la baza metodei cireșelor este dat de formulele lui Viète, care fac o legătură superbă între coeficienți și rădăcini.

Astfel, cu metoda cireșelor putem realiza, de exemplu, descompunerile următoare: 

(ambele numere pozitive)

$$x^2+\underset{\underset{{\color{red}{2}}+{\color{blue}{3}}}{\wedge}}{5}x+\underset{\underset{{\color{red}{2}}\cdot{\color{blue}{3}}}{\wedge}}{6}=(x+{\color{red}{2}})\cdot(x+{\color{blue}{3}}),$$

(ambele numere pozitive)

$$x^2+\underset{\underset{{\color{red}{1}}+{\color{blue}{5}}}{\wedge}}{6}x+\underset{\underset{{\color{red}{1}}\cdot{\color{blue}{5}}}{\wedge}}{5}=(x+{\color{red}{1}})\cdot(x+{\color{blue}{5}}),$$

(ambele numere negative, termenul liber rămâne pozitiv)

$$x^2\underset{\underset{({\color{red}{-2}})+({\color{blue}{-3}})}{\wedge}}{-5x}\underset{\underset{({\color{red}{-2}})\cdot({\color{blue}{-3}})}{\wedge}}{+6}=(x{\color{red}{-2}})\cdot(x{\color{blue}{-3}}),$$

(numere de semn contrar, termenul liber devine negativ)

$$x^2\underset{\underset{({\color{red}{-2}})+({\color{blue}{+3}})}{\wedge}}{+x}\underset{\underset{({\color{red}{-2}})\cdot({\color{blue}{+3}})}{\wedge}}{-6}=(x{\color{red}{-2}})\cdot(x{\color{blue}{+3}}),$$

(numere de semn contrar, termenul liber este, de asemenea, negativ)

$$x^2\underset{\underset{({\color{red}{-1}})+({\color{blue}{+5}})}{\wedge}}{+4x}\underset{\underset{({\color{red}{-1}})\cdot({\color{blue}{+5}})}{\wedge}}{-5}=(x{\color{red}{-1}})\cdot(x{\color{blue}{+5}}),$$

unde puteți observa că termenul liber se scrie ca un produs de două numere, iar coeficientul lui $x$ se scrie ca o sumă de aceleași două numere.

În fine, există desigur o metodă generală pentru a descompune orice trinom într-un produs de factori, dacă elevul știe deja să calculeze „cu delta” cele două rădăcini ale unui trinom. Prin această metodă, descompunerea trinomului general este dată de:

$$\color{red}{ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)},$$ unde $x_1$ și $x_2$ sunt cele două rădăcini ale trinomului.

Teorema lui Pitagora în patrulaterul ortodiagonal

Un patrulater ale cărui diagonale sunt perpendiculare se numește patrulater ortodiagonal.

Într-un patrulater ortodiagonal este valabilă o teoremă extinsă a lui Pitagora care ne spune că suma pătratelor laturilor opuse dintr-o pereche este egală cu suma pătratelor laturilor opuse din cealaltă pereche. 

Cu literele noastre, teorema lui Pitagora în patrulaterul ortodiagonal ABCD spune că:

$$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$$

Mai mult, dacă ne interesează aria acestui patrulater, putem observa că aceasta este dată suma ariilor celor patru triunghiuri dreptunghice care formează patrulaterul. Din acest motiv, aria patrulaterului ortodiagonal este semiprodusul lungimilor diagonalelor sale, adică

$$A_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2}.$$

Rombul și pătratul sunt, prin excelență, patrulatere ortodiagonale, deci și pentru ele sunt valabile relațiile de mai sus.

O prietenie dintre cerc și triunghiul dreptunghic, care durează de milioane de ani

Se spune că, demult, încă din negura vremurilor, cu mult înainte de apariția dinozaurilor, cercul și-a dat întâlnire cu triunghiul dreptunghic, în taină și nu s-au mai despărțit de atunci niciodată. Și nici nu se vor mai despărți vreodată, deoarece au jurat într-o prietenie veșnică. Iar ei se țin de cuvânt...

De-a lungul anilor, însă, odată cu apariția pe Pământ a omului pasionat de Matematică (homo mathematicus), taina celor două figuri geometrice a început să se risipească, în ciuda faptului că ele au rămas, totuși, prietene.

Și iată care este taina lor, ascunsă în imaginea de mai jos:

Ce trebuie să observați aici? Că unghiul CAB subîntinde semicercul roșu, adică are $90^o$, astfel că triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar ipotenuza triunghiului dreptunghic este tocmai diametrul cercului circumscris triunghiului. 

Mai observați de aici că segmentele OA, OB și OC sunt tocmai raze ale cercului circumscris, deci sunt egale între ele, proprietate ce poartă numele de teorema medianei (mediana principală AO este jumătate din ipotenuză).

Multe probleme din geometria plană își găsesc rezolvarea în această legătură minunată de care uită majoritatea elevilor de gimnaziu. Așa că, intervenția mea are menirea de a sublinia încă o dată prietenia dintre triunghiul dreptunghic și cerc.

Suma cuburilor este pătratul sumei lui Gauss

Știți că suma lui Gauss ne spune, de exemplu, că $$1+2+3+...+7=\frac{7\cdot 8}{2}.$$

Așadar, suma primelor n numere naturale este semiprodusul dintre ultimul număr și succesorul său, fapt care se poate exprima prin formula $$1+2+3+\dots n={\color{blue}{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}}.$$

Apoi, suma pătratelor se poate exprima printr-o formulă asemănătoare, la care se mai înmulțește o fracție simplă:

$$1^2+2^2+3^2+\dots n^2={\color{blue}{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}}\cdot\frac{2n+1}{3}.$$

Dar cea mai interesantă dintre toate este suma cuburilor, care se scrie drept:

$$1^3+2^3+3^3+\dots n^3=(1+2+3+\dots n)^2=\left[{\color{blue}{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}}\right]^2!$$

Vă dați seama ce interesantă este această relație? Adică ea ne spune, de exemplu, că: 

$$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2!$$

Minunată-i Matematica asta!

Cercul și poligoanele regulate

Ca și oricare dintre triunghiuri, cel echilateral are două cercuri prietene, unul circumscris, care trece prin toate vârfurile sale și unul înscris care atinge toate laturile sale. Doar că, pentru triunghiul echilateral, datorită simetriei perfecte a acestuia, centrele celor două cercuri coincid cu centrul de greutate și cu ortocentrul triunghiului. Această coincidență plăcută simplifică legătura dintre lungimea laturii triunghiului echilateral și razele celor două cercuri.

În geogebra am realizat o fișă în care puteți găsi formulele aferente legăturii dintre poligoanele regulate aprofundate în gimnaziu, adică triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat.

Vedeți mai jos imaginile corespunzătoare acestor poligoane:

Vă doresc să puteți asimila cât mai multe dintre aceste minunate formule, între care există o legătură profundă.