Suma numerelor întregi din intervalul (-2;2] este egală cu...

Suma numerelor întregi din intervalul (-2;2] este egală cu...

Pentru a putea rezolva această problemă, elevul trebuie să știe ce este un interval, ce înseamnă numere întregi și ce înseamnă sumă. Începem să povestim despre intervale. Noțiunea de interval (gândește-te și la „inter-val”, între valuri) se referă la toate numerele reale posibile aflate între două numere. Având în vedere faptul că între 7 și 8 există și 7,2 și 7,3 și 7,35 și așa mai departe, rezultă că există o infinitate de numere reale între 7 și 8, așa că nu le putem scrie pe toate. Tocmai de aceea s-a inventat noțiunea de „interval”. Ea ne ajută să ne putem referi la toate numerele dintre 7 și 8 printr-o metodă simplă: scriem doar (7;8) și înțelegem că ne referim la toate numerele dintre 7 și 8. Mai mult de atât, dacă jonglăm și cu parantezele pe care le folosim pentru interval putem să spunem și dacă numerele 7 și 8 se află sau nu se află în intervalul nostru. Astfel, dacă folosim numai paranteze rotunde, spunem prin aceasta că numerele 7 și 8 NU se află în intervalul (7;8), dar în acest interval se află orice număr apropiat de 7 și de 8, aflat în dreapta lui 7 și în stânga lui 8. Deci, intervalul (7;8) conține și numerele 7,1 și 7,01 și 7,0001, dar NU îl conține pe 7. În schimb, dacă dorim să-l includem și pe 7 în intervalul nostru, atunci ne folosim de paranteza dreaptă. Așadar, intervalul [7;8) îl conține și pe 7, conține toate numerele dintre 7 și 8, dar nu îl conține pe 8. Mai observați că în partea din stânga intervalului am așezat numărul mai mic, iar în partea din dreapta am așezat numărul mai mare; aceasta este o regulă obligatorie și firească. Cu aceasta consider că sunteți bine puși la punct cu noțiunea de „interval”.

Acum pentru a rezolva problema noastră, mai trebuie să facem o trecere în revistă a numerelor întregi. Numerele întregi sunt cele care nu au virgulă. Nu e o problemă că au minus, important este să nu aibă virgulă, să nu fie fracționare, să fie întregi. De exemplu, numărul 7 este număr întreg (el este și natural), numărul -3 este număr întreg (dar nu este natural), în schimb, numărul 2,8 nu mai este număr întreg, ci este așa-numitul „număr rațional”. Așadar, care sunt numerele întregi din intervalul (-2;2]? Deoarece în dreptul lui -2 este paranteză rotundă, înseamnă că pe -2 nu îl vom lua în considerare, chiar dacă este număr întreg. Deci, primul număr întreg ce se află în intervalul nostru este abia -1 și cu el vom începe calculul sumei cerute. Următorul este 0, apoi 1 și nu ne oprim aici, deoarece în dreptul lui 2 este paranteză dreaptă, deci trebuie să-l luăm în considerare. Astfel, calculul nostru devine: (-1)+0+1+2=2.

Răspuns final: 2.

Dar ce ne făceam dacă ni se cerea suma numerelor întregi din intervalul (-100;100]? Oare trebuia să le adunăm pe rând pe toate numerele întregi din interval și să ne trezim că am pierdut minute bune cu calculul? Desigur, nu. De ce? Deoarece, orice număr natural din intervalul nostru, cu excepția lui 100, are un corespondent opus în interval. De exemplu, numărul 98 are în interval și opusul -98 și noi știm că suma a două numere opuse este nulă, este zero, deci nu contribuie la modificarea sumei finale, sumă care va fi în cazul acesta egală tocmai cu numărul care nu are un opus în interval, deci 100.

Calculați 25% din 100.

Ni se cere să calculăm 25% din 100. Orice procent din 100 este egal cu acel procent. Deci, în cazul nostru, răspunsul este 25. Dacă ar fi cerut 25% din 200, atunci răspunsul era dublul lui 25, căci 200 este dublul lui 100. În altă ordine de idei, 25% din ceva înseamnă un sfert din acel ceva. 50% din ceva înseamnă jumătate din acel ceva. 10% din ceva înseamnă o zecime din acel ceva. De exemplu, dacă ni s-ar fi cerut să calculăm 10% din 80, rezultatul era 8, căci a zecea parte din 80 este 8. Dacă ni s-ar fi cerut să calculăm 20% din 80, atunci rezultatul era dublul lui 10% din 80, căci 20 este dublul lui 10. Și încă ceva: 20% din 80 este ca și 80% din 20, iar această proprietate este valabilă oricând și pentru orice numere. Așadar, dacă veți constata vreodată că ar fi mai ușor să calculați procentul cerut prin comutarea numerelor, atunci nu ezitați să faceți comutarea, pentru că veți obține rezultatul corect și după comutare. De exemplu, dacă vi s-ar cere să calculați 35% din 40, calculele ar putea părea greoaie, așa că mai bine să comutăm. Vom calcula 40% din 35 și vom ține seama de faptul că 10% din 35 este 3,5, iar acest număr va fi înmulțit apoi cu 4, pentru că 40 este de patru ori mai mare decât 10. Așadar, 35% din 40=40% din 35=14.

O listă cu articolele de pe blog, aranjate în ordinea aproximativă a claselor

Despre un generator automat de teste matematice: Pyromaths

Deși știam mai mult de el și l-am abandonat o vreme, revin mereu la gândul că ne-ar putea ajuta aceste generator automat de teste matematice, numit Pyromaths, aflat la adresa: https://www.pyromaths.org/.
Problema este că încă nu s-a diversificat suficient de mult încât să fie o alegere consistentă. Mai mult, încă este numai în limba franceză, cu toate încercările de a fi tradus. Marele plus este că există codul sursă sub licență GPL, deci poate fi modificat până în pânzele albe. Se poate folosi și on-line, dar se poate instala și pe calculatorul personal, unde avem mai multe facilități.

Mă găsiți și pe saitul vreaumate online

De ceva vreme construiesc de zor un nou sait numit vreaumate.online pe care vă invit să aflați lucruri noi despre care n-am apucat să vă vorbesc aici.

Un nou canal de Youtube

Pe noul meu canal de Youtube, asociat noului meu sait vreaumate.online, găsiți filmulețe proaspete în care am început să rezolv testele de antrenament primite de la minister.

Am postat recent și rezolvarea subiectului I și II de la primul test de bacalaureat mate-info.

Azi am înregistrat un filmuleț cu o ședință online de o oră, în care am rezolvat primele două subiecte de la un test de evaluare națională, postat pe saitul ministerului.

Vizionare plăcută!

Mâine vă aștept la o ședință în care voi rezolva o variantă de bacalaureat, în măsura timpului disponibil.

Din nou despre baza de întrebări

Vin să vă reamintesc despre fișierul din Google Sheets pe care l-am denumit „Baza de întrebări”.
Profitați până este gratuit.







În acest fișier veți găsi multe probleme de matematică afișate aleatoriu. Observați că fiecărei probleme îi este asociată o clasă, un tip, o dificultate, timp de rezolvare, domeniu în care se încadrează.

Despre cum îmi ajut elevii de la distanță

Primul pas este să își instaleze aplicația gratuită TeamViewer care le permite să vadă pe ecranul calculatorului lor ecranul calculatorului meu sau invers. Și nu numai să vadă, ci le permite chiar să miște mausul și să scrie de pe tastatura lor în calculatorul meu.

Apoi, după instalare, pornim amândoi aplicația, eu pe calculatorul meu, el pe calculatorul său, iar aplicația generează un cod al calculatorului și o parolă. Dacă dorim ca elevul să vadă calculatorul meu, eu îi trimit elevului prin Messenger sau WhatsApp codul calculatorului meu și parola mea (parola este mereu alta, la fiecare repornire a aplicației).

Din momentul în care elevul introduce în câmpul aplicației codul calculatorului meu și apoi parola, pe ecranul său apare ecranul meu și vede cum mișc mausul meu și poate el să miște mausul meu și poate să scrie pe calculatorul meu (dacă nu intervin eu, desigur).

Eu folosesc o tabletă grafică cu care pot scrie de mână într-o aplicație precum Xournal, iar elevul vede tot ce scriu eu în această aplicație. Dacă, din fericire, are și elevul o tabletă grafică, atunci acesta poate scrie și el în aceeași aplicație, împreună cu mine, la propunerea mea, dacă îl întreb ceva sau dacă îi cer ceva să scrie. Aplicația generează apoi un fișier pdf cu un număr oarecare de pagini pe care i-l pot trimite elevului pentru a-l consulta oricând dorește, pe telefon sau pe calculator.

De asemenea, ne putem auzi dacă ne sunăm printr-o aplicație precum Messenger sau WhatsApp sau prin telefon.

În plus, un lucru foarte important, pe care îl preferă mulți elevi, le pot înregistra un filmuleț cu aplicația pe care o folosesc pe Linux, numită VokoScreen. După înregistrare, îi trimit elevului filmulețul cu extensia mp4 prin Wetransfer, iar filmulețul ajunge pe calculatorul sau pe telefonul elevului și îl poate urmări ori de câte ori dorește și la o viteză aleasă de el.


Acesta a fost doar un exemplu de soluție, pe care o folosesc eu, dar există, desigur, și alte soluții, precum Skype. Doar că Skype nu permite chiar atâtea facilități precum TeamViewer.

Centrul cercului circumscris

Un viitor hit matematic. :) Aveți ocazia să-l auziți în premieră. Are și câteva versuri. Mai lucrez la voce.

Cele mai importante proprietăți ale triunghiului dreptunghic

Începem anul într-o manieră inedită. Mă veți auzi cântând în filmulețul de mai jos, o melodie despre triunghiul dreptunghic oarecare, isoscel și Timaios.

Vă reamintesc aici despre teorema medianei principale (deci, a medianei care pleacă din unghiul drept) și teorema lui Timaios (teorema 30, 60, 90), ambele teoreme spunându-ne cât de importantă este relația dintre mediana principală, respectiv, cateta mică și ipotenuza. Mai exact, mediana principală este jumătate din ipotenuză, iar cateta mică (adică aceea care se opune unghiului mic, de 30 de grade) este și ea tot jumătate din ipotenuză.

Iertați-mi începutul ilariant și sper ca noua abordare să fie mai eficientă decât toate abordările de până acum.