Ce valoare are produsul scalar dacă vectorii sunt perpendiculari?

Textul

Ultima problemă din politestul curent

spune „Ce valoare are produsul scalar dacă vectorii sunt perpendiculari?”

În cinci secunde, elevul știe că doi vectori perpendiculari are produsul scalar egal cu zero, deoarece unghiul dintre vectorii perpendiculari fiind un unghi drept, cosinusul acestuia este zero.

În general, produsul scalar dintre doi vectori este un număr dat de un produs de trei factori, doi dintre factori fiind modulele vectorilor respectivi, iar al treilea factor fiind cosinusul unghiului dintre cei doi vectori. Adică:

$$|\vec u|\cdot|\vec v|=uv\cos(\vec u;\vec v).$$

Și cum $$\cos 90^o=0,$$ rezultă ceea ce se constată și la răspunsul din politest.

Care este valoarea extremă a funcției de gradul al doilea $f(x)=-2x^2+6x+5$?

În politestul de clasa a noua pe care îl discutăm acum

găsim problema:

„Fie funcția de gradul al doilea, definită pe R cu valori în R, dată prin $f(x)=-2x^2+6x+5$. Care este valoarea ei extremă?”

Se poate rezolva în 20 de secunde această problemă? Cum dumnezeu? Păi, elevul care știe că valoarea extremă a funcției de gradul al doilea este tocmai ordonata vârfului parabolei va calcula repede pe $\Delta$ și va face raportul necesar. 

Cum vârful parabolei are coordonatele: $$V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right)$$ și cum ordonata acestui vârf este $$-\frac{\Delta}{4a},$$

rezultă că vom calcula pe $\Delta=36+40=76$ și raportul $$-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{76}{-8}=\color{red}{\frac{19}{2}}.$$

Aceasta este valoarea extremă (maximă) a funcției date. Valoarea minimă nu există, căci pentru $a<0$ (coeficientul lui $x^2$ este negativ) parabola are vârful în sus, iar în acest caz cea mai mică valoare posibilă a funcției ar fi $-\infty$, care nu aparține mulțimii numerelor reale (ci numai lui $\mathbb{\bar{R}}$).

Care interval este soluția inecuației $2x-1>7$?

A șaptea problemă din politestul recent de clasa a noua ne cere să găsim soluția unei inecuații. Inecuația nu este complicată și tocmai de aceea primim 20 de secunde pentru rezolvarea ei.

Așadar, să începem. Dacă inecuația este $$2x-1>7,$$ noi o vom transforma în așa fel încât să scăpăm de numerele din jurul lui $x$. Astfel, din $2x-1>7$ putem obține $2x>7+1$, căci l-am aruncat pe $-1$ de lângă $x$ în partea cealaltă a semnului de inegalitate. Și observați că am început cu $-1$, nu cu $2$ deoarece procedăm ca și în cazul „mersului invers” când începem tocmai invers, cu operațiile care se fac ultimele (în acest caz am început cu scăderea și am transformat-o în adunare).

Acum am obținut inecuația echivalentă $$2x>8.$$ Următorul pas este să scăpăm și de $2$ care este înmulțit cu $x$. Pentru aceasta, desigur, vom împărți inecuația cu $2$. Cum $2$ este pozitiv, nu se va schimba semnul inegalității (dacă era negativ, s-ar fi schimbat). Obținem acum $$x>\frac{8}{2},$$ adică $$x>4.$$

Această ultimă formă a inecuației în care am reușit să-l eliberăm pe $x$ de numerele din jurul său este forma finală din care vom putea extrage intervalul cerut. Inecuația ne spune că ne trebuie toate numerele mai mari decât $4$. Toate acele numere sunt soluții ale inecuației date. Și cum exprimăm toate aceste numere ca un interval? Cum putem să ne referim la „toate numerele mai mari decât $4$”? Iată cum: $$\color{red}{(4;+\infty)}.$$

Acest interval este soluția inecuației date.

Ați găsit explicații mai detaliate undeva? Ce mă bucur că pot să vă ajut!

Care sunt elementele mulțimii A={x aparține lui Z | 3/x aparține lui Z}?

A șasea problemă din politestul-fulger pe care îl rezolvăm în această serie de articole ne cere mulțimea elementelor care satisfac o anumită proprietate. Elevul trebuie să înțeleagă cerința și să fie atent la mulțimile care apar în cerință. În cazul problemei noastre în cerință apare mulțimea numerelor întregi, adică a celor ce pot fi scrise simplu fără virgulă (dar care pot fi negative).

Așadar, care sunt elementele mulțimii A={x aparține lui Z | 3/x aparține lui Z}? 

Înainte de toate trebuie să ne uităm la fracția $\frac{3}{x}$ și să studiem ce ar trebui să fie numitorul pentru ca această fracție să fie număr întreg. Desigur, numitorul trebuie să fie un divizor al lui trei. Iar acești divizori ai lui trei pot fi și negativi, deoarece mulțimea Z conține și numere negative. Dacă ar fi fost vorba de N, atunci trebuia să avem grijă să ne limităm doar la divizorii pozitivi, dar mulțimea Z ne permite și numerele negative.

Cum divizorii întregi ai lui $3$ sunt $-3$, $-1$, $1$ și $3$ și cum numitorul nu mai conține altceva decât tocmai necunoscuta $x$, rezultă că răspunsul la problema noastră va fi simplu: $$\color{red}{-3,\,-1,\,1,\,3}.$$

Radical din 8 plus radical din 2 este radical din 18. Interesant, nu-i așa!?

Textul

Problema 5 din politest ne cere un lucru simplu: să adunăm $\sqrt{8}$ cu $\sqrt{2}$.

Sunt elevi care cred că rezultatul ar fi $\sqrt{8+2}$. Alții cred că adunarea nu se poate face, deoarece radicalii nu sunt de același fel.

Dar, de fapt, calculul se poate face ușor după ce ne ocupăm întâi de $\sqrt{8}$ pe care îl transformăm în $2\sqrt{2}$. Astfel, avem:

$$\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=\color{red}{3\sqrt{2}=\sqrt{18}}.$$

Mai exact, radicalii de același fel se adună ușor, așa cum adunăm merele sau perele. Astfel, doi radicali din 2, adunat cu încă un radical din 2 ne vor da trei radicali din 2, așa cum două mere plus un măr fac trei mere.

Mai rămâne să înțelegem de ce $\sqrt{2}$ poate fi asimilat cu $2\sqrt{2}$. O metodă ar fi descompunerea numărului 8 în factori primi, care ne va da că $8=2^3$. Cum doar doi de 2 se pot împerechea, celălalt 2 rămâne sub radical.

Cealaltă metodă este să observăm că numărul $8$ nu este liber de pătrate, căci în el se ascunde pătratul perfect $4$. Atunci $$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}.$$

Și consider că astfel v-am arătat detaliile rezolvării acestei probleme frumoase.

Problemă de a șaptea cu paralelogramul ABEL

O altă problemă din testul precedent spune că „În paralelogramul ABEL unghiul E are 70 de grade. Câte grade are unghiul A?".

Se poate rezolva problema în zece secunde, așa cum spune politestul-fulger? Bineînțeles. Oare trebuie desenat paralelogramul? Nicidecum. Este suficient să știm că ordinea literelor ne spune că unghiul A este opus unghiului E și că unghiurile opuse într-un paralelogram sunt egale. Gata.

Nu-i așa că aceste teste scot la iveală rapid și sigur cunoștințele fundamentale ale elevului? Nu-i așa că asemenea teste pot fi folosite chiar și cu cărțile în față? Cine știe nu mai are nevoie să caute și se încadrează în timp, iar cine are nevoie să caute nu știe și nu se încadrează în timp.

Cercul circumscris și mediatoarele

A doua problemă din politestul de clasa a IX-a apărut în 29 august este acum de clasa a șasea. Observați că politestele de clasa a IX-a au o problemă de a cincea și câte două problemele din clasele următoare.

Această primă problemă de clasa a șasea ne spune: în triunghiul VOR centrul cercului circumscris se află la 12 cm de punctul V. Se cere distanța de la punctul de intersecție a mediatoarelor triunghiului VOR la punctul O.

Problema este extrem de simplă și ar putea fi rezolvată în mai puțin de un minut de către elevul care știe că punctul de intersecție a mediatoarelor triunghiului este tocmai centrul cercului circumscris triunghiului dat. Dar elevul care nu cunoaște această proprietate este pierdut. Tot pierdut este și elevul care nu înțelege textul și, implicit, nu înțelege cerința problemei.

Elevul care știe că centrul cercului circumscris este la intersecția mediatoarelor știe că acest centru este la distanțe egale de vârfurile triunghiului, aceste distanțe fiind razele cercului circumscris, deci știe că răspunsul va fi tot 12 cm.

Desigur, elevul „pierdut” ar trebui să poată redescoperi proprietatea conform căreia centrul cercului circumscris este la intersecția mediatoarelor. Adică, ar trebui să știe ce este o mediatoare și să știe că orice punct de pe mediatoare se află la distanțe egale de capetele segmentului mediat. Atunci ar deduce că cel puțin două dintre mediatoare se intersectează într-un punct aflat la distanță egală de capetele ambelor segmente mediate, deci la distanță egală de vârfurile triunghiului.