Faceți căutări pe acest blog

joi, 31 iulie 2014

Operații cu mai mult de două numere întregi

V-am rămas dator într-un articol precedent să vă povestesc pe scurt despre operațiile cu mai mult de două numere întregi. Presupunând că știți să lucrați deja cu două numere întregi, ne rămâne să vedem ce complicații aduce un calcul în care apar trei numere întregi. După care, consider că dacă veți citi cu atenție acest articol, veți ști să operați nu doar cu trei numere întregi, ci și cu patru sau mai multe, respectând aceleași reguli.


Să presupunem că vrem să calculăm expresia -2+5-(-9). Noi știm deja să calculăm rezultatul operațiilor în care apar doar două numere întregi și încercăm să ne folosim de această cunoștință. Din fericire, în matematică putem să facem foarte des legătura între cunoștințele noi și cele vechi, deoarece matematica este o știință foarte bine organizată, cu legături logice între toate cunoștințele ei. Bine, are ea niște mici excepții, acolo, pe la fundamentele ei, excepții care au dat și mai dau mare bătaie de cap pasionaților de matematică, dar asemenea probleme grele nu vă vor afecta pe voi, începătorii.


Așadar, dacă știm să adunăm (scădem, înmulțim, împărțim) două numere întregi, atunci vom ști să adunăm (scădem, înmulțim, împărțim) și trei asemenea numere. În expresia dată putem să facem întâi calculul -2+5=3, după care acest rezultat îl operăm cu numărul rămas, adică facem 3-(-9)=12. Dar, dacă vom prefera și altfel, putem să facem întâi și calculul +5-(-9)=14, după care să operăm primul număr cu acest rezultat și să facem -2+14=12.


Observați, deci, că, de regulă, un calcul cu trei termeni se reduce la două calcule cu doi termeni. Adică, din puțin și complicat facem mult și ușor. Aceasta este esența rezolvării multor probleme: reducerea unei singure probleme grele la mai multe probleme ușoare. Obișnuiți-vă să vă organizați munca după acest criteriu și vă va fi mult mai ușor în viață.


Aș dori să mai fac o mică observație importantă. În cazul operației +5-(-9) l-am luat pe 5 împreună cu semnul său. Deși acest lucru nu este foarte relevant în cazul exemplului ales de mine (deoarece numărul 5 este totuna cu numărul +5), în schimb este relevant în cazul unui alt exemplu. Să presupunem că am fi avut de calculat -2-5-(-9), adică expresia anterioară, doar că în loc de +5 avem -5. Dacă am fi făcut întâi calculul -2-5=-7, după care făceam calculul -7-(-9)=2 în această ordine, am fi obținut rezultatul corect. Însă, dacă am fi făcut întâi 5-(-9) și uitam să îl luăm în calcul pe 5 împreună cu semnul său (care, de data asta, este „-”), am fi obținut întâi rezultatul 5-(-9)=14. Cu acest 14 trebuia să-l operăm pe -2 sub forma -2(ce semn să pun aici?)14. Observați că orice semn aș fi pus în locul întrebării din paranteză, tot nu obțineam răspunsul corect deoarece nu am luat în calcul semnul lui 5.

În fine, să vedem totuși ce se întâmplă dacă îl luăm pe 5 împreună cu semnul său, așa cum este corect. Atunci, vom face, de data aceasta, calculul -5-(-9)=4 și apoi calculul -2+4=2, așa cum trebuia. Această obligativitate de a lua în calcul numărul întreg negativ împreună cu semnul său derivă din faptul că scăderea nu este asociativă, lucru despre care vom vorbi mai pe larg cu altă ocazie, unde vom arăta că la fel de mofturoasă precum scăderea este chiar și împărțirea, în timp ce înmulțirea este docilă (a se citi, asociativă) la fel ca adunarea.

miercuri, 30 iulie 2014

Paranteze drepte și acolade

Avem oare nevoie și de paranteze drepte sau de acolade? Nu am putea învăța doar parantezele rotunde? Sunt sau nu sunt suficiente parantezele rotunde? Răspunsul direct ar fi că parantezele rotunde sunt suficiente pentru a scrie orice expresie matematică la care folosim parantezele drepte și acoladele, doar că ultimele sunt folosite pentru o lizibilitate mai bună a expresiilor, pentru o separare mai clară a unor componente ale expresiei date. Așa că, întotdeauna unde vedeți o paranteză dreaptă e bine să știți că acea paranteză dreaptă ne ajută să nu confundăm anumite expresii între ele.

De exemplu, vrem să înmulțim expresia 5∙(7-3)+9 cu expresia 4-11. Cum am putea scrie acest lucru? Vom scrie prima expresie în partea stângă și a doua expresie în partea dreaptă, iar între cele două expresii va trebui să punem semnul înmulțirii. Doar cu paranteze rotunde și fără paranteze drepte rezultatul ar arăta așa
(5∙(7-3)+9)∙(4-11),
iar cu paranteze drepte rezultatul ar arăta așa
[5∙(7-3)+9]∙(4-11).
Există vreo diferență între cele două expresii? Desigur, prima ne poate induce în eroare, căci ar putea să ne facă să credem că paranteza rotundă închisă după numărul 9 este paranteza deschisă înaintea numărului 7, deoarece ambele sunt paranteze rotunde și putem uita de paranteza închisă după 3. Tocmai de aceea, ne bucurăm că avem la dispoziție și parantezele drepte, care ne ajută să evităm asemenea greșeli.

Problema de confuzie ridicată poate apărea mai ales la expresii foarte stufoase. Dorința de a evita această confuzie este motivul pentru care se introduc parantezele drepte și trebuie să recunoașteți că este o soluție elegantă și inteligentă. Evident, mutatis mutandis, același motiv argumentează și introducerea acoladelor.

Vom intra în amănunte și mai mult, doar știți, eu sunt fanul amănuntelor. Vom studia, ca exemplu, expresia urâtă de tot:

7-(4-1)∙(6+1-8)+(-3)∙{2+(6-3)∙[15:(8-5)∙(-2)3+1]-[-7∙(65-52+3)-8+2∙(7-4)2∙(6-4)]}-(8+4):[31-2∙(15+22)]

ca să putem înțelege structura expresiei.

Putem ierarhiza componentele care apar în această expresie. Mai exact, putem vorbi despre „expresii de nivel 0”, „expresii de nivel 1”, „expresii de nivel 2”, „expresii de nivel 3” și așa mai departe. Vom identifica asemenea expresii în șirul de caractere scris mai sus.
  1. În primul rând, expresiile de nivel 0 sunt cele care nu au nevoie de paranteze pentru a fi scrise. Fiecare număr în parte scris aici este o expresie de nivel zero și sunt foarte multe numere.
  2. Apoi, expresiile care sunt construite cu paranteze rotunde sunt expresii de nivel 1. Exemple de asemenea expresii (culese din expresia dată, desigur) sunt în ordine de la stânga (4-1), apoi (6+1-8), apoi (-3), apoi (6-3) și așa mai departe.
  3. Expresii de nivelul 2 sunt cele construite cu paranteze drepte, adică [15:(8-5)∙(-2)3+1], apoi [-7∙(65-52+3)-8+2∙(7-4)2∙(6-4)] și apoi [31-2∙(15+22)].
  4. În fine, expresiile de nivelul 3 sunt cele construite cu acolade, adică {2+(6-3)∙[15:(8-5)∙(-2)3+1]-[-7∙(65-52+3)-8+2∙(7-4)2∙(6-4)]}
Dacă ar mai fi cazul, am mai putea continua, dar nu mai avem paranteze de nivel mai înalt, așa că nu trebuie să ne mai strofocăm cu alte paranteze. În programare sau în alte domenii în care sunt necesare paranteze de nivel foarte înalt se folosesc de regulă parantezele rotunde, cum sunt, de exemplu, în Prolog.

Observați că expresiile de nivel înalt sunt din ce în ce mai puține decât cele de nivel coborât într-o anumită expresie, dar sunt și din ce în ce mai stufoase. Am identificat prin subliniere și colorare diversele componente ale expresiei anterioare:
7-(4-1)(6+1-8)+(-3){2+(6-3)[15:(8-5)(-2)3+1]-[-7∙(65-52+3)-8+2∙(7-4)2∙(6-4)]}-(8+4):[31-2∙(15+22)]
De exemplu, nu m-am atins de numere, dar am subliniat expresiile de nivelul 1 (din care avem 11 bucăți). De asemenea, expresiile de nivelul 2 au fost îngroșate și colorate cu roșu (avem 3 asemenea expresii). În fine, expresiile de nivelul 3 (din care aici avem doar una singură) au fost scrise pe un fundal galben. Așa cum e și firesc, expresiile de nivel mare conțin expresii de nivel mic, dar nu și invers.

Ok. Acum, după ce am văzut care este structura unei expresii, să vedem cum facem calculele în interiorul acesteia. Dacă am avea o expresie doar cu numere (deci numai cu expresii de ordinul 0), am putea trece la calculul lor direct, căci nu am mai avea nicio paranteză de luat în calcul. De exemplu, dacă am avea de calculat expresia 6-2+5∙3-1 (care conține numai expresii de nivelul 0), am putea spune că este ea însăși o expresie de nivelul 0 și nu ar mai trebui să ne batem capul cu expresii de nivel mai înalt. Cu toate acestea, am putea să scriem această expresie și sub forma echivalentă (6-2)+5∙3-1, în care am introdus deja expresia de nivelul 1 dată de (6-2). Desigur, procedând astfel, în loc să simplificăm lucrurile, le-am complica. De ce să introducem paranteze inutile acolo unde nu e cazul? Dimpotrivă, pentru a calcula o expresie trebuie să scăpăm de cât mai multe paranteze.

Așadar, scopul nostru atunci când facem calcule cu paranteze este să aducem în ordine toate expresiile de nivel superior la nivelul 0. Acest lucru se face în ordine crescătoare. Mai exact, după ce am calculat expresiile de ordinul 0 trecem la calculul expresiilor de ordinul 1. Prin acest calcul ajungem să putem transforma expresiile de nivelul 1 în expresii de nivelul 0. Atunci când am terminat acest calcul, toate expresiile componente coboară cu un nivel. În cazul nostru, după ce am calculat valorile din parantezele rotunde și am eliminat aceste paranteze acolo unde s-a putut, expresia urâtă de la început devine:

7-3∙(-1)+(-3)∙{2+3∙[15:3∙(-8)+1]-[-7∙16-8+2∙32∙2]}-12:[31-2∙37]=
=7+3-3∙{2+3∙[-15:3∙8+1]-[-7∙16-8+2∙32∙2]}-12:[31-2∙37]=
=10-3∙{2+3∙[-40+1]-[-120+2∙81]}-12:[31-74]

Observați că am scris și pașii intermediari ca să puteți înțelege în ce ordine am realizat operațiile de calcul. Dar nu erau obligatorii acești pași, căci puteam scrie și finalul direct, dacă ne-ar fi dus mintea. Altfel spus, de noi depinde câți pași intermediari facem. Ei nu sunt obligatorii, dar sunt recomandați, mai ales pentru începători, așa cum sunteți voi. Nu faceți economie de scris. Cu cât scrieți mai mult, cu atât scade efortul de memorare pe care trebuie să-l faceți. Lăsați asemenea eforturi mai spre finalul evoluției voastre, pe când veți fi devenit experimentați în asemenea calcule și veți putea să țineți minte mai multe operații.

Așa. Acum, mai observați că expresia finală rezultată în calculul anterior, adică expresia:

10-3∙{2+3∙[-40+1]-[-120+2∙81]}-12:[31-74]

nu este de fapt „finală”, căci mai urmează să facem un pas important de calcul: transformarea parantezelor. Mai precis, observați că din moment ce nu mai avem paranteze rotunde, este inutil să mai folosim acoladele. Nu este interzis, dar este inutil. Tocmai de aceea, este recomandat să le transformăm. Transformarea constă în coborârea cu o unitate a nivelului, înlocuind parantezele drepte cu paranteze rotunde, iar acoladele cu paranteze drepte, fără a schimba poziția în care se află parantezele. În urma acestei transformări, expresia devine:

10-3∙[2+3∙(-40+1)-(-120+2∙81)]-12:(31-74)

Din acest moment, se procedează recursiv și se reia pasul inițial de calcul al parantezelor rotunde, întocmai cum am făcut în expresia inițială, doar că acum expresia este mai simplă.

Am speranța că acest articol vă va ajuta pe cei mai mulți dintre voi să câștigați mult timp pe care altfel l-ați fi pierdut chinuindu-vă să înțelegeți problema parantezelor.

marți, 29 iulie 2014

Problema parantezelor rotunde

Problema parantezelor este destul de spinoasă pentru începători. Ei nu prea știu nici unde trebuie puse, dar nu știu nici când și cum trebuie să scape de ele. De asemenea, atunci când văd paranteze drepte sau acolade, ei își pun mâinile în cap cu groază sau experimentează fluturi de emoție în stomăcel, cu gândul la complexitatea teribilă cu care trebuie să se confrunte.


Așa că haideți ca în acest articol să le venim de hac acestor paranteze buclucașe. Începem, așa cum trebuie, de la ceva mai simplu și abia apoi ne vom încumeta să trecem la lucruri mai complicate. Să rezolvăm întâi problema parantezelor rotunde, pe care am lăsat-o deschisă acolo unde am vorbit despre operațiile cu două numere întregi, urmând ca într-un articol viitor să vorbim și despre parantezele drepte și acolade. Interesant este că atunci când vorbeam în cuvinte despre numerele întregi nu foloseam paranteze, iar atunci când le scriam simbolic preferam să le scriu în paranteze pentru claritate. De exemplu, când am vorbit despre adunarea numerelor 6 și -9, în propoziție nu am folosit paranteze, dar când le-am scris simbolic am preferat să scriu (+6)+(-9)=(-3). Desigur, aici am abuzat de paranteze, pentru că ele nu au fost necesare în totalitate. Puteam scrie și mai simplu 6+(-9)=-3, cu doar două paranteze în loc de 6. Ba, mai mult, puteam să fac o magie și să scriu chiar și fără parantezele din jurul lui -9, adică puteam scrie 6-9=-3, fără absolut nicio paranteză! Cum a fost posibil? Iată ce reguli am respectat:
  • Dacă în paranteză am un număr întreg pozitiv, atunci pot elimina liniștit atât parantezele, cât și semnul, fără să-mi pese de semnul din fața parantezei. În cazul nostru, în loc de (+6)+(-9) am putut să scriu doar 6+(-9).
  • Dacă în paranteză am un număr întreg negativ, atunci pot elimina liniștit atât parantezele, cât și semnul, dar numai dacă schimb semnul din fața parantezei. În cazul nostru, în loc de 6+(-9) am scris 6-9.


Aceasta-i toată șmecheria. Observați că numai numerele negative ne dau bătăi de cap, nu și cele pozitive. Cele pozitive sunt cuminți și ne lasă să facem ce dorim cu ele, însă cele negative ne pun o condiție pretențioasă, căci ne obligă să schimbăm semnul care se află în fața parantezei. Știți de ce se întâmplă toate acestea? Deoarece între semnul din fața parantezei și semnul din paranteză se face înmulțirea semnelor! Căci, în loc de orice paranteză care începe cu semnul + se poate scrie +(conținut)=+1∙(conținut), iar în loc de o paranteză care începe cu semnul - se poate scrie -(conținut)=-1∙(conținut).


Desigur, se poate pune și problema inversă. Cum fac să obțin dintr-o expresie fără paranteze una cu paranteze? Cum fac să obțin din 6-9 ceva de genul (+6)+(-9)? Respect următoarele reguli:
  • Pentru numere pozitive, avem două reguli, una pentru plus în paranteză, iar cealaltă pentru minus în paranteză:
    • În loc de orice număr pozitiv putem scrie acel număr cu paranteze în jurul său și cu semnul + în fața lui, fără să schimbăm semnul din afara parantezei. De exemplu, 6-9=(+6)-9=(+6)-(+9). Deci, peste tot unde vedeți numere de forma 356, 18, 9, 2732, puteți scrie și (+356), (+18), (+9), (+2732).
    • În loc de orice număr pozitiv putem scrie acel număr cu paranteze în jurul său și cu semnul - în fața lui, dar cu semn schimbat în fața parantezei. De exemplu 6-9=-(-6)-9. Deci, peste tot unde vedeți numere de forma 356, 18, 9, 2732, puteți scrie și -(-356), -(-18), -(-9), -(-2732). Deci, puteți transforma un număr pozitiv într-un număr negativ, dacă puneți semnul minus în afara parantezei.
  • Pentru numere negative avem tot două reguli, simetrice, una pentru plus în paranteză, iar cealaltă pentru minus în paranteză:
    • În loc de orice număr negativ putem scrie valoarea acelui număr în paranteză cu semnul plus în paranteză, dar cu semnul minus în fața parantezei. De exemplu, 6-9=6-(+9).
    • În loc de orice număr întreg negativ putem scrie valoarea acelui număr în paranteză cu semnul minus în paranteză, dar cu semnul plus în fața parantezei. De exemplu, 6-9=6+(-9).
Observați, vă rog, că la numerele negative am fost nevoit să folosesc cuvântul „valoarea” ca să nu apară confuzii, căci cei mai isteți dintre voi ar fi putut să-mi reproșeze atunci (pe bună dreptate) că nu am fost suficient de explicit.


Oare n-am putea să comasăm atâtea reguli în câteva mai puține? Scopul nostru este, (nu uitați niciodată asta!) să învățăm cât mai puține reguli și cât mai cuprinzătoare. Să ne gândim acum cam cum am putea face din regulile de mai sus o singură regulă. Vă dau soluția simbolic sub forma unei egalități multiple, iar voi rămâne să o comparați cu regulile anterioare:


conținut1+conținut2=
=conținut1+(+conținut2)=
=conținut1-(-conținut2)=
=conținut2+conținut1


Mai rețineți că nu putem avea două semne alăturate nedespărțite de paranteză. De exemplu, nu putem avea scris undeva -+9 sau --9 sau +-9, ci numai cu paranteză între cele două semne, adică -(+9) sau -(-9) sau +(-9). În schimb, veți putea întâlni semnele ± și ∓ cu scopul de a comasa două egalități simetrice. De exemplu, veți întâlni formula
cos(a ± b)=cos(a)∙cos(b)∓sin(a)∙sin(b)
care spune într-o singură egalitate că atunci când în paranteză se află semnul plus între a și b, atunci în afara parantezei va trebui să punem semnul minus între cele două produse. Sau invers.

Ei, ce spuneți, ați putea acum să calculați cât este 5-13? Dar -(-7)-8?

duminică, 27 iulie 2014

Operații cu două numere întregi


Acum, că știm ce sunt numerele întregi, ne rămâne să înțelegem bine cum facem operații cu asemenea numere. Pentru aceasta este important să ne reamintim ceva esențial despre numărul întreg și anume că orice număr întreg are două componente principale: semn și valoare. Spuneam că, de exemplu, numărul întreg negativ -7 are semnul minus și valoarea 7, iar numărul întreg pozitiv 15 are semnul plus și valoarea 15. De aceea, atunci când facem operații cu numere întregi va trebui să lucrăm în două etape distincte: într-o primă etapă vom determina semnul numărului întreg rezultat, iar în a doua etapă vom determina valoarea (modulul) rezultatului operației. Deci, întâi determinăm semnul, apoi determinăm valoarea.


Operațiile cele mai importante cu numerele întregi sunt adunarea și înmulțirea. Dacă veți ști bine să adunați două numere întregi, atunci vă va fi ușor și să le scădeți, căci există o legătură importantă între adunarea și scăderea numerelor întregi, așa cum vom vedea mai jos. Totodată, dacă veți ști bine să înmulțiți două numere întregi, atunci veți ști bine și să le împărțiți, căci semnul împărțirii este exact același ca și semnul înmulțirii. Așadar, deocamdată, concentrați-vă doar la adunare și la înmulțire.


Să le luăm, deci, pe rând. Începem cu adunarea. Vrem să știm să adunăm corect două numere întregi. Putem întâlni numai trei posibilități de adunare a două numere întregi:
  1. Prima posibilitate și cea mai ușoară este să întâlnim două numere întregi pozitive. Acestea se adună foarte ușor, căci nu avem probleme cu semnul rezultatului. Semnul unei asemenea sume va fi sigur semnul plus, așa că nici măcar nu se mai scrie. De exemplu, vrem să adunăm numărul întreg pozitiv 8 cu numărul întreg pozitiv 9. Care credeți că va fi rezultatul? Desigur, rezultatul (deci, suma) va fi numărul întreg pozitiv 17. Acastă problemă mai putea fi scrisă și cu semne. Adică, puteam scrie (+8) + (+9) = (+17). Doar că, pentru a nu abuza de atâtea semne, putem scrie mult mai economic și mai simplu 8+9=17. Așadar, suma a două numere întregi pozitive nu este altceva decât, pur și simplu, suma a două numere naturale.
  2. A doua posibilitate în ordinea complexității este să întâlnim două numere întregi negative. Această problemă este puțin mai complicată decât problema anterioară deoarece aici apare semnul minus. Iar semnul minus nu este chiar atât de delicat cu noi precum a fost semnul plus deoarece semnul minus ne obligă să-l scriem efectiv. Dar valoarea rezultată va fi tot suma valorilor celor două numere întregi negative. De exemplu, vrem să adunăm numărul întreg -3 cu numărul întreg -6. Stabilim întâi semnul. Semnul este minus. Apoi stabilim valoarea. Valoarea este 3+6=9. Așadar, suma dintre numărul întreg negativ -3 și numărul întreg negativ -6 este numărul întreg negativ -9. Simbolic, avem (-3) + (-6) = (-9) .
Înainte de a trece la cea de-a treia și cea mai urâtă posibilitate, vreau să facem un mic rezumat al primelor două posibilități. Dacă adunăm două numere întregi de același semn, atunci rezultatul are același semn cu fiecare dintre termenii adunării, iar valoarea rezultatului va fi suma valorilor celor două numere întregi.


  1. În fine, haideți să terminăm și cu cea de-a treia posibilitate. Haideți să vedem ce se întâmplă dacă adunăm un număr întreg pozitiv cu unul negativ (sau, ceea ce este exact același lucru, dacă adunăm un negativ cu un pozitiv). Cât este, deci, suma dintre numărul întreg pozitiv 6 și numărul întreg negativ -9? Desigur, ca de obicei, și aici trebuie să ne gândim întâi la semnul rezultatului. Care va fi semnul acestei adunări? Ciudat este că în acest caz semnul depinde de valorile celor două numere întregi care trebuie adunate. Mai exact, trebuie întâi să comparăm valorile celor două numere întregi și să stabilim care valoare este cea mai mare dintre cele două și abia apoi putem determina semnul rezultatului. Mai precis, semnul rezultatului va fi tocmai semnul numărului cu valoarea cea mai mare. În exemplul pe care l-am dat, numărul -9 are valoarea cea mai mare, căci 9 este mai mare decât 6. Așadar, semnul rezultatului final va fi minus.


Acum va trebui să trecem la cea de-a doua etapă care urmează după stabilirea semnului și anume la stabilirea valorii rezultatului. Pe lângă faptul că semnul ne-a dat bătaie de cap, de parcă nu ne-ar fi fost de ajuns, ne dă bătaie de cap și valoarea. Mai exact, deși aici discutăm încă despre adunarea a două numere întregi, totuși valoarea rezultatului final va fi în mod ciudat o scădere între două valori, o scădere din valoarea cea mai mare a celeilalte valori.


Observați, deci, că valoarea cea mai mare are un rol important în determinarea rezultatului final, atât în determinarea semnului, cât și în determinarea valorii. Adică, rezultatul final va avea semnul numărului cu valoarea cea mai mare, iar valoarea finală va fi dată de diferența dintre valoarea cea mai mare și valoarea cealaltă. În cazul exemplului nostru avem deci rezultatul (+6) + (-9) = (-3).


Rezumat. Putem vorbi de o regulă valabilă pentru toate cele trei posibilități de adunare:
  • Semnul rezultatului este tocmai semnul numărului cu valoarea cea mai mare;
    • Bine, bine, dar ce facem dacă cele două numere au aceeași valoare? Păi, atunci dăm semnul uneia dintre ele, care ne place nouă mai mult :) .
  • Valoarea rezultatului se obține astfel:
    • dacă cele două numere au semne contrare, atunci scădem din valoarea mare valoarea mică;
    • în rest adunăm valorile.


Acum trecem la înmulțire. Înmulțirea numerelor întregi este mult mai ușoară decât adunarea, deoarece la înmulțire valoarea nu ne mai produce bătăi de cap, ci numai semnul. Și nici măcar semnul rezultatului nu este chiar atât de complicat de obținut, căci el nu mai depinde de valorile numerelor înmulțite, așa cum era în cazul adunării. Semnul rezultatului depinde doar de semnele numerelor care se înmulțesc. Mai exact, avem doar următoarele două situații:
  • Dacă semnele sunt contrare (deci când unul este plus, iar celălalt este minus), atunci semnul rezultat al înmulțirii va fi minus;
  • În rest (deci când avem același semn la ambele numere), semnul rezultat al înmulțirii este plus.
Asta-i tot. Înmulțirea numerelor întregi este ușoară. Aveți treabă doar cu semnul. Cu valoarea nu. Dacă știți să înmulțiți două numere naturale, atunci știți să înmulțiți și două numere întregi.


Așa cum v-am promis, dacă știți adunarea, atunci și scăderea e ușoară. Iar dacă ați înțeles înmulțirea, atunci va fi ușor de vorbit și despre împărțire. Haideți să terminăm, deci, și cu scăderea, că ne-am cam lungit cu celelalte două. Cum scădem două numere întregi dacă știm să le adunăm? Haideți să vedem. Luăm un exemplu. Vrem să știm cât este rezultatul scăderii dintre numărul -5 și numărul 8. Simbolic scris, vrem să știm cât este (-5) - (+8). Avem de făcut două lucruri, două schimbări de semn:
  • schimbăm scăderea în adunare, deci schimbăm semnul scăderii în semnul adunării;
  • schimbăm semnul celui de-al doilea număr.
Așadar, (-5) - (+8) = (-5) + (-8) = (-13). Atât. Iată, deci, că dacă știm să adunăm două numere întregi, putem și să le scădem, prin simpla schimbare a două semne.


Mai avem împărțirea. Împărțirea este exact ca și înmulțirea. Mă refer la determinarea semnului. Voi copia mai jos ce am scris la înmulțire și voi înlocui cuvântul „înmulțire” cu „împărțire”. Așadar
  • Dacă semnele sunt contrare (deci când unul este plus, iar celălalt este minus), atunci semnul rezultat al împărțirii va fi minus;
  • În rest (deci când avem același semn la ambele numere), semnul rezultat al împărțirii este plus.

Oare am terminat? Am epuizat subiectul? Sau mai sunt dileme? Aaaaa. Da, mai sunt două dileme. Una este legată de folosirea parantezelor, iar cealaltă este legată de operațiile cu mai multe numere întregi, nu doar cu două. Totuși, cred că aceste subiecte merită articole separate, așa că vom lua acum o pauză.