Numere întregi

În materialul anterior am povestit despre numerele naturale și am arătat că numerele naturale sunt cele precum 0, 1, 2, 3, 4, 5 și așa mai departe. Aici vom povesti despre numerele întregi. Povestea numerelor întregi nu este tot atât de frumoasă precum cea a numerelor naturale, dar important este că poate fi înțeleasă.

După descoperirea numerelor naturale, omul a început să facă operații de adunare și scădere cu asemenea numere. De exemplu, adunând numărul 3 cu numărul 4 se obține numărul 7. Acest lucru se poate scrie simbolic astfel: 3+4=7. Numerele 3 și 4 care apar aici ca fiind adunate se numesc termeni, iar numărul 7 se numește sumă.

Apoi, făcând operația inversă adunării, adică scăzând din numărul 7 numărul 4 obținem numărul 3. Simbolic, 7-4=3. Numărul 7 se numește descăzut, numărul 4 se numește scăzător, iar numărul 3 se numește diferență.

Pornind de la aceste exemple, să facem câteva observații importante care vă vor ajuta să înțelegeți numerele întregi. Adunând două numere naturale obținem un număr natural mai mare decât oricare dintre cele două numere adunate. În cazul de mai sus, am adunat două numere mici, adică 3 și 4 și am obținut un număr mai mare și decât 3 și decât 4, adică 7. De asemenea, scăzând dintr-un număr natural un alt număr natural, obținem un număr mai mic decât descăzutul. Dacă dintr-un număr natural mai mare (așa cum e 7) scădem numărul natural 4, obținem un număr mai mic decât 7 (adică, 3).

Dar oare putem scădea din 7 orice număr natural, oricât de mare? Păi, să vedem. Putem face 7-5=2. Apoi, mai putem face 7-6=1. Și chiar putem face 7-7=0. Dar ce se întâmplă mai departe? Ce se întâmplă dacă fac, de exemplu, 7-8? Se poate face o asemenea scădere? Păi, în mulțimea numerelor naturale, nu, nu se poate face o asemenea scădere, căci rezultatul obținut nu mai poate fi încadrat în mulțimea numerelor naturale.

Ei bine, oamenii nu s-au mulțumit doar să constate această problemă, ci au încercat să-i găsească o soluție. Au încercat să găsească o metodă prin care să poată scădea oricare două numere naturale, fără să mai poarte grija de a scădea doar dintr-un număr mare un număr mai mic. Soluția pe care au găsit-o a fost numărul întreg. Orice două numere naturale care se scad între ele vor da ca rezultat un număr întreg, indiferent cât de mare este unul dintre cele două numere față de celălalt. Astfel, numărul întreg apare ca fiind o generalizare a numărului natural. Cu numărul întreg oamenii sunt liniștiți că pot scădea oricare numere naturale.

Să vedem acum, totuși, în ce constă aceste numere întregi. Cât este de fapt 7-8? Răspunsul rapid este numărul -1 (se citește „minus unu”). Observați un fapt interesant: rezultatul scăderii 7-8=-1 este aproape la fel ca și rezultatul scăderii 8-7=1, doar că am pus în fața numărului 1 semnul ciudat „-”, obținând -1. Altfel spus, numerele întregi sunt scrise tot cu ajutorul numerelor naturale, doar că unele dintre ele mai au și semnul „-” în fața lor.

De ce am spus „unele dintre ele”? Pentru că nu doar numerele naturale cu semnul „-” în față sunt numere întregi, ci chiar și numerele naturale fără semnul „-” în față sunt și ele numere întregi. Putem spune astfel că mulțimea numerelor întregi (care se notează cu ℤ) este „mai mare” decât mulțimea numerelor naturale. Am pus în ghilimele „mai mare” pentru că este impropriu spus așa. Mai degrabă am putea spune că mulțimea numerelor naturale este inclusă în mulțimea numerelor întregi. Asta mai înseamnă că orice număr natural este și număr întreg, dar nu orice număr întreg este și număr natural. Adică, mulțimea numerelor întregi conține atât numerele fără „minus”, cât și numerele cu „minus”.

Numerele întregi fără „minus” se numesc numere întregi pozitive, iar numerele întregi cu „minus” se numesc numere întregi negative. Atunci când subînțelegem că este vorba despre numere întregi, nici măcar nu ne mai deranjăm să folosim adjectivul „întregi”, ci spunem simplu „numere pozitive”, respectiv, „numere negative”.


Acestea fiind spuse, putem observa următoarele: orice număr întreg are două componente fundamentale: semn și valoare. De exemplu, numărul întreg negativ -7 are semnul minus și valoarea 7; iar numărul întreg pozitiv 15 are semnul plus și valoarea 15. Cu această ocazie constatăm încă două lucruri importante: valoarea unui număr întreg este întotdeauna un număr natural, iar semnul unui număr întreg pozitiv (deci semnul „+”) nici nu mai are rost să-l mai scriem atunci când nu există pericol de confuzie, căci un număr întreg pozitiv este tocmai un număr natural. Desigur, înțelegem, de asemenea, că există doar două semne posibile pentru numerele întregi, semnul minus și semnul plus.

Deși este mai greu de înțeles pentru începători, în loc de cuvântul „valoare” profesorii preferă (și așa este normal) să folosească cuvântul „modul” (cu accentul pus pe litera „u”). Este ciudată această preferință a profesorilor și este dezagreabilă pentru începători mai ales pentru faptul că există deja în literatură cuvântul „modul” (cu accentul pe litera „o”) care are altă semnificație. Această problemă îi pune în dificultate pe începători și îi determină să aibă o oarecare repulsie față de cuvântul „modul” (cu accentul pe litera „u”). Eu sper că, după ce vor conștientiza această problemă, începătorii nu vor mai avea probleme cu acceptarea cuvântului modern din matematică „modul” (cu accentul pe litera „u”) și îl vor folosi cum se cuvine.

Am putea să dăm o interpretare practică interesantă numerelor întregi. Imaginați-vă un portofel doldora de bani, să zicem, unul care conține 1000 de lei. Dacă un prieten bun ne mai dă 100 de lei, atunci în potofelul nostru vom avea 1100 de lei și putem spune că în portofel au intrat numere întregi pozitive (au intrat 100 de lei). Dimpotrivă, dacă din portofelul nostru cu 1000 de lei îi dăm noi prietenului 200 de lei, vom rămâne doar cu 800 de lei și putem spune că în portofel au intrat numere întregi negative (au intrat -200 de lei). Ba, mai mult, există și varianta inversă absolut echivalentă în care în loc de „intrare” să folosim „ieșire”. Mai exact, putem spune că în primul caz au ieșit numere întregi negative (au ieșit -100 de lei), iar în al doilea caz au ieșit numere întregi pozitive (au ieșit 200 de lei). Această flexibilitate în exprimare denotă încă o dată avantajul introducerii numerelor întregi în matematică.

În final aș mai dori să fac o observație legată de numerele întregi. Orice număr întreg poate fi scris ca o pereche de numere naturale. De exemplu, numărul întreg -2 poate fi scris ca fiind perechea (6 ; 8), deoarece 6-8=-2. Desigur, există perechi echivalente cu care putem scrie numărul -2, căci putem avea și 11-13=-2. În general, putem obține dintr-o pereche o altă pereche echivalentă prin simpla adunare sau scădere a numerelor din pereche cu unul și același număr. Cei mai avansați în matematică știu că perechile echivalente formează clase de echivalență pentru care numerele întregi constituie reprezentanți ai acestor clase de echivalență. Asemenea perechi vom putea întâlni și când vom vorbi despre numerele raționale sau despre numerele complexe și acesta este motivul pentru care vi le-am adus în atenție aici.

Într-un articol viitor va trebui să discutăm amănunțit despre modul în care se fac operații cu numere întregi, deoarece mulți elevi au mari dificultăți în a înțelege cum se fac asemenea operații.