Faceți căutări pe acest blog

marți, 29 iulie 2014

Problema parantezelor rotunde

Problema parantezelor este destul de spinoasă pentru începători. Ei nu prea știu nici unde trebuie puse, dar nu știu nici când și cum trebuie să scape de ele. De asemenea, atunci când văd paranteze drepte sau acolade, ei își pun mâinile în cap cu groază sau experimentează fluturi de emoție în stomăcel, cu gândul la complexitatea teribilă cu care trebuie să se confrunte.


Așa că haideți ca în acest articol să le venim de hac acestor paranteze buclucașe. Începem, așa cum trebuie, de la ceva mai simplu și abia apoi ne vom încumeta să trecem la lucruri mai complicate. Să rezolvăm întâi problema parantezelor rotunde, pe care am lăsat-o deschisă acolo unde am vorbit despre operațiile cu două numere întregi, urmând ca într-un articol viitor să vorbim și despre parantezele drepte și acolade. Interesant este că atunci când vorbeam în cuvinte despre numerele întregi nu foloseam paranteze, iar atunci când le scriam simbolic preferam să le scriu în paranteze pentru claritate. De exemplu, când am vorbit despre adunarea numerelor 6 și -9, în propoziție nu am folosit paranteze, dar când le-am scris simbolic am preferat să scriu (+6)+(-9)=(-3). Desigur, aici am abuzat de paranteze, pentru că ele nu au fost necesare în totalitate. Puteam scrie și mai simplu 6+(-9)=-3, cu doar două paranteze în loc de 6. Ba, mai mult, puteam să fac o magie și să scriu chiar și fără parantezele din jurul lui -9, adică puteam scrie 6-9=-3, fără absolut nicio paranteză! Cum a fost posibil? Iată ce reguli am respectat:
  • Dacă în paranteză am un număr întreg pozitiv, atunci pot elimina liniștit atât parantezele, cât și semnul, fără să-mi pese de semnul din fața parantezei. În cazul nostru, în loc de (+6)+(-9) am putut să scriu doar 6+(-9).
  • Dacă în paranteză am un număr întreg negativ, atunci pot elimina liniștit atât parantezele, cât și semnul, dar numai dacă schimb semnul din fața parantezei. În cazul nostru, în loc de 6+(-9) am scris 6-9.


Aceasta-i toată șmecheria. Observați că numai numerele negative ne dau bătăi de cap, nu și cele pozitive. Cele pozitive sunt cuminți și ne lasă să facem ce dorim cu ele, însă cele negative ne pun o condiție pretențioasă, căci ne obligă să schimbăm semnul care se află în fața parantezei. Știți de ce se întâmplă toate acestea? Deoarece între semnul din fața parantezei și semnul din paranteză se face înmulțirea semnelor! Căci, în loc de orice paranteză care începe cu semnul + se poate scrie +(conținut)=+1∙(conținut), iar în loc de o paranteză care începe cu semnul - se poate scrie -(conținut)=-1∙(conținut).


Desigur, se poate pune și problema inversă. Cum fac să obțin dintr-o expresie fără paranteze una cu paranteze? Cum fac să obțin din 6-9 ceva de genul (+6)+(-9)? Respect următoarele reguli:
  • Pentru numere pozitive, avem două reguli, una pentru plus în paranteză, iar cealaltă pentru minus în paranteză:
    • În loc de orice număr pozitiv putem scrie acel număr cu paranteze în jurul său și cu semnul + în fața lui, fără să schimbăm semnul din afara parantezei. De exemplu, 6-9=(+6)-9=(+6)-(+9). Deci, peste tot unde vedeți numere de forma 356, 18, 9, 2732, puteți scrie și (+356), (+18), (+9), (+2732).
    • În loc de orice număr pozitiv putem scrie acel număr cu paranteze în jurul său și cu semnul - în fața lui, dar cu semn schimbat în fața parantezei. De exemplu 6-9=-(-6)-9. Deci, peste tot unde vedeți numere de forma 356, 18, 9, 2732, puteți scrie și -(-356), -(-18), -(-9), -(-2732). Deci, puteți transforma un număr pozitiv într-un număr negativ, dacă puneți semnul minus în afara parantezei.
  • Pentru numere negative avem tot două reguli, simetrice, una pentru plus în paranteză, iar cealaltă pentru minus în paranteză:
    • În loc de orice număr negativ putem scrie valoarea acelui număr în paranteză cu semnul plus în paranteză, dar cu semnul minus în fața parantezei. De exemplu, 6-9=6-(+9).
    • În loc de orice număr întreg negativ putem scrie valoarea acelui număr în paranteză cu semnul minus în paranteză, dar cu semnul plus în fața parantezei. De exemplu, 6-9=6+(-9).
Observați, vă rog, că la numerele negative am fost nevoit să folosesc cuvântul „valoarea” ca să nu apară confuzii, căci cei mai isteți dintre voi ar fi putut să-mi reproșeze atunci (pe bună dreptate) că nu am fost suficient de explicit.


Oare n-am putea să comasăm atâtea reguli în câteva mai puține? Scopul nostru este, (nu uitați niciodată asta!) să învățăm cât mai puține reguli și cât mai cuprinzătoare. Să ne gândim acum cam cum am putea face din regulile de mai sus o singură regulă. Vă dau soluția simbolic sub forma unei egalități multiple, iar voi rămâne să o comparați cu regulile anterioare:


conținut1+conținut2=
=conținut1+(+conținut2)=
=conținut1-(-conținut2)=
=conținut2+conținut1


Mai rețineți că nu putem avea două semne alăturate nedespărțite de paranteză. De exemplu, nu putem avea scris undeva -+9 sau --9 sau +-9, ci numai cu paranteză între cele două semne, adică -(+9) sau -(-9) sau +(-9). În schimb, veți putea întâlni semnele ± și ∓ cu scopul de a comasa două egalități simetrice. De exemplu, veți întâlni formula
cos(a ± b)=cos(a)∙cos(b)∓sin(a)∙sin(b)
care spune într-o singură egalitate că atunci când în paranteză se află semnul plus între a și b, atunci în afara parantezei va trebui să punem semnul minus între cele două produse. Sau invers.

Ei, ce spuneți, ați putea acum să calculați cât este 5-13? Dar -(-7)-8?