Faceți căutări pe acest blog

luni, 7 noiembrie 2016

Integrale importante cu $e^x$


Haideți să clarificăm o dată pentru totdeauna cum e cu niște integrale importante, de genul $$\int(x+7)e^xdx,$$ care apar foarte des în probleme.

Voi începe chiar cu răspunsul, ca să mă puteți urmări mai bine, ca să știți la ce să vă uitați mai atenți în decursul raționamentelor.

Avem următoarea șmecherie faină: $$\int(x+\color{red}{7})e^xdx=(x+\color{blue}{6})e^x+constanta.$$

Observați că la rezultat scădem o unitate în paranteză.

Dacă am calcula derivata, atunci ar trebui să adunăm o unitate, căci am avea $$\left[(x+\color{blue}{7})e^x\right]^\prime=(x+\color{red}{8})e^x.$$ Integrala este antiderivata.

Și să vă arăt cum puteți redescoperi prin calcul această regulă, în ipoteza în care ați uitat-o exact în mijlocul unui examen. Integrala se calculează prin părți. Avem așa: $$\int(x+7)e^xdx=\int(x+7)(e^x)'dx,$$ căci în loc de $e^x$ putem pune oricând $(e^x)'$, aceasta fiind funcția remarcabilă care nu se schimbă nici prin derivare și nici prin integrare (bine, abstracție făcând de acea constantă pe care o putem aduna la integrare).

Așadar, $$\int(x+7)e^xdx=\int(x+7)(e^x)'dx.$$

Acum aplicăm integrarea prin părți, despre care știm că are forma $$\int fg'=fg-\int f'g.$$ Deci $$\int(x+7)(e^x)'dx=(x+7)e^x-\int(x+7)' e^xdx.$$ Dar $(x+7)'=1$, iar $1\cdot e^x=e^x$. Astfel, avem atunci $$\int(x+7)(e^x)'dx=(x+7)e^x-\int e^xdx=(x+7)e^x-e^x+constanta.$$ Aici nu ne rămâne decât să mai dăm un factor comun pe $e^x$ ca să nu-l scriem de două ori și avem $$(x+7)e^x-e^x=(x+7)e^x-1\cdot e^x=(x+7-1)e^x=(x+6)e^x.$$ Acum înțelegeți, deci, de ce $$\int(x+\color{red}{7})e^xdx=(x+\color{blue}{6})e^x+constanta.$$


De-acum înainte, dacă veți întâlni integrale de genul $$\large{\color{red}{\int(x+n)e^xdx}},$$ voi veți ști că rezultatul este $$\large{\color{red}{(x+n-1)e^x+C}}.$$

De exemplu, dacă primiți integrala faină de tot și foarte frecventă $$\int xe^xdx,$$ voi îi puteți afla foarte repede rezultatul deoarece o puteți scrie rapid sub forma $$\int xe^xdx=\int(x+0)e^xdx$$ și, conform regulii de mai sus, obținem $$(x+0-1)e^x=(x-1)e^x,$$ plus constanta.