Faceți căutări pe acest blog

duminică, 16 iulie 2017

Teorema generalizată a restului


Având în minte problema pe care am primit-o acum trei zile la titularizare, vreau să vă vorbesc puțin despre polinoame și teorema restului.

Să presupunem că avem de rezolvat următoarea problemă:
Să se determine restul împărțirii polinomului $f=(X-1)^{10}+(X-2)^{12}$ la polinomul $g=X^2-5X+6$.

Dacă împărțim un polinom de gradul 100 la un polinom de gradul 73, restul împărțirii va avea gradul 72. Observați, deci, că gradul restului este mai mic cu o unitate decât gradul împărțitorului. Așadar, în cazul nostru, cum împărțitorul are gradul doi, înseamnă că restul va avea gradul unu. Dacă împărțitorul avea gradul trei, restul nostru avea gradul doi și problema era mai complicată puțin decât aceasta.

Dar ce grad ar fi avut restul dacă împărțitorul însuși ar fi avut gradul unu? Desigur, cu o unitate mai mică decât unu, deci gradul restului ar fi fost zero. Dar polinom de gradul zero înseamnă, de fapt, un număr, așadar, în acest caz foarte special și simplu, restul este un număr.

Să revenim deocamdată la problema noastră. Deci, restul problemei noastre are gradul unu. Este o informație prețioasă despre restul pe care trebuie să-l găsim. Altceva nu știm deocamdată despre acest rest, decât că este de gradul unu, o informație foarte prețioasă, de altfel, căci ne scutește de alte speculații privind complexitatea problemei. 

Dar cum arată un polinom de gradul unu pe care nu îl cunoaștem? Bineînțeles, un polinom de gradul unu are necunoscuta la puterea unu și atunci el nu poate arăta decât așa: $R=aX+b$  cu numerele $a$ și $b$ necunoscute. De aici încolo, problema rămâne doar să determinăm aceste două numere necunoscute.

Și cum putem determina, de regulă, două numere necunoscute? Cu un sistem de două ecuații și două necunoscute. Dar cum vom obține acel sistem? Ce informație matematică ne poate construi sistemul respectiv? Teorema împărțirii cu rest. Fără această teoremă am fi stat mult și am fi privit în zadar problema.

Această teoremă a împărțirii cu rest ne spune foarte clar că deîmpărțitul $D$ este egal cu câtul $C$ înmulțit cu împărțitorul $Î$ și adunat cu restul $R$. Mai exact, teorema împărțirii cu rest ne spune, deci, că 
$$D=C\cdot Î+R.$$ 

La noi $D=f$, $Î=g$ și $R=aX+b$, $C$ fiind un polinom necunoscut pe care l-am putea găsi dacă am face efectiv împărțirea lui $f$ la $g$. Și cum nu ni se cere acest polinom ciudat $C$ („C” vine de la „cât”, nu de la „ciudat” :D  ), noi nu are rost să-l luăm în calcul, ci, dimpotrivă, trebuie să facem ceva ca să scăpăm de polinomul acesta enervant $C$, care ne stă în coaste.

Ok, bine, bine, vedem noi teorema împărțirii cu rest, dar cum ne ajută aceasta să găsim sistemul necesar care să ne dea numerele $a$ și $b$, în așa fel încât să scăpăm și de pacostea reprezentată de polinomul $C$? Răspunsul la această întrebare este unul eliberator. Și tare m-aș bucura să vi-l amintiți la examene.

Nu uităm, deci, că vrem să scăpăm cumva de polinomul $C$. Dar observăm că polinomul $C$ este lipit de polinomul $Î$ prin înmulțire. Și cum despre polinomul $Î=g$ știm totul, pentru că ni s-a dat că $g=X^2-5X+6$, înseamnă că știm și cum să-l anulăm. Căci dacă-l anulăm pe $Î$, atunci facem să dispară orice este lipit de el prin înmulțire, căci zero înmulțit cu un alt polinom va fi tot zero. 

Iată, deci, care a fost șmecheria: să ne folosim de rădăcinile lui $Î$, despre care știm că îl anulează pe $Î$ (căci aia înseamnă „rădăcină”, numărul care face ca polinomul să se anuleze, deci numărul care pus în locul  lui $X$ ne dă zero).

Dar voi știți să găsiți rădăcinile lui $g=X^2-5X+6$, cu delta sau cu Viète, așa că nu voi insista aici, căci în mod sigur am vorbit despre așa ceva undeva, pe blogul meu, deja sau au vorbit alții, mai pe înțelesul vostru, poate, în altă parte. Deci, veți găsi că rădăcinile lui $g$ sunt $x_1=3$ și $x_2=2$ (produsul lor trebuie să ne dea 6, iar suma lor 5).

Cu aceste informații în minte, ne reamintim că teorema împărțirii cu rest ne spune că $D=C\cdot Î+R$, lucru care se poate scrie și mai amănunțit, folosindu-ne de necunoscuta $X$, $$D(X)=C(X)\cdot Î(X)+R(X).$$

Orice am pune în locul lui $X$ (deci chiar și rădăcinile lui $g$), relația dată de teorema împărțirii cu rest rămâne valabilă. Așadar, este valabil și faptul că  $$D(x_1)=C(x_1)\cdot Î(x_1)+R(x_1).$$

V-ați prins de idee? Observați acum cât de utile sunt rădăcinile lui $g$? Haideți să facem calculul de mai sus, ca să obținem ceva și mai curat. Cum $x_1=3$, cum $D=f$, $Î=g$ și $R=aX+b$, avem, deci, că $$f(3)=C(3)\cdot g(3)+a\cdot 3+b.$$

Și cum $g(3)=0$, căci $3$ este una dintre rădăcinile lui $g$, va rezulta că și $C(3)\cdot g(3)=C(3)\cdot 0=0$. Iată, deci, de ce nu ne-a păsat cum arată polinomul $C$, pentru că știam că vom găsi o metodă să scăpăm de el. Așadar, obținem atunci ceva și mai frumos și anume: $$f(3)=0+3a+b.$$

Dar pe $f(3)$ știm să-l calculăm. Căci $$f(3)=(3-1)^{10}+(3-2)^{12}=2^{10}+1=1025.$$ 

Așadar, am obținut că $$1025=3a+b,$$ ceea ce reprezintă tocmai prima ecuație a sistemului căutat de două ecuații cu două necunoscute.

Similar, pentru a doua ecuație ne vom folosi de a doua rădăcină a lui $g$ și vom obține
$$D(x_2)=C(x_2)\cdot Î(x_2)+R(x_2),$$ adică
$$f(2)=C(2)\cdot g(2)+a\cdot 2+b.$$ Cum $$f(2)=(2-1)^{10}+(2-2)^{12}=1,$$ obținem cea de-a doua ecuație drăguță a sistemului, adică $$1=2a+b.$$ Această ecuație, pusă lângă ecuația precedentă $1025=3a+b$, va constitui un sistem de două ecuații cu două necunoscute 
$$\begin{cases}3a+b=1025\\2a+b=\,\,\,\,\,\,\,1\end{cases},$$

pe care îl puteți rezolva ușor cu una dintre metodele pe care le știți deja, adică cu metoda substituției, reducerii sau Cramer (recomand, desigur, metoda reducerii aici). Rezolvând sistemul (scăzând, de exemplu, din prima linie pe cea de-a doua), obținem că $a=1024$ și $b=-2047$. 

Așadar, restul căutat va fi $$\color{red}{R=aX+b=1024X-2047}.$$

Ce ziceți, facem o mică recapitulare? Ca să vedem de ce este vorba despre teorema generalizată a restului. 

Așadar, dacă împărțitorul are gradul $n$, atunci restul are gradul $n-1$. În acest caz, pentru a determina restul, ne trebuie un sistem de $n$ ecuații cu $n$ necunoscute, necunoscute ce reprezintă tocmai coeficienții restului. Cele $n$ ecuații ale sistemului se obțin cu ajutorul celor $n$ rădăcini ale împărțitorului, rădăcini ce vin înlocuite în relația dată de teorema împărțirii cu rest.

Cel mai simplu caz este acela în care împărțitorul are gradul unu, caz în care el are o singură rădăcină (să o notăm cu $a$), restul este de gradul zero, deci este un simplu număr, notat cu $r$, iar „sistemul” de $n$ ecuații devine, de fapt, o singură ecuație care spune că $$f(a)=r,$$ deci ne spune că restul împărțirii este tocmai f(a). Aceasta este teorema simplă a restului, negeneralizată. Cea generalizată este pentru împărțitor de grad mai mare decât unu.

Așadar, în general putem spune atunci că restul $R$ al împărțirii unui polinom $D$ de grad mai mare decât $n$ la un polinom $Î$ de grad $n$ este dat de un sistem de $n$ ecuații cu $n$ necunoscute (aceste necunoscute sunt tocmai coeficienții restului căutat) care sistem se obține prin folosirea relației $D(X)=C(X)\cdot Î(X)+R(X)$ pentru fiecare dintre cele $n$ rădăcini (deci, prin înlocuirea necunoscutei $X$ cu rădăcinile lui $Î(X)$).