Sume telescopice

Există ceva interesant în legătură cu sumele, despre care vă voi povesti acum. Să observăm întâi că
$$\frac{1}{2\cdot 3}=\frac 1 2-\frac 1 3,$$
căci $$\frac 1 2-\frac 1 3=\frac 3 6-\frac 2 6=\frac{3-2}{6}=\frac 1 6=\frac{1}{2\cdot 3}.$$
Tot astfel, mai avem și
$$\frac{1}{3\cdot 4}=\frac 1 3-\frac 1 4,$$
$$\frac{1}{4\cdot 5}=\frac 1 4-\frac 1 5.$$
Deci, este ca și cum am putea spune că în asemenea cazuri înmulțirea fracțiilor are același efect ca și scăderea lor.

Și-acum să vedeți minunea. Dacă adunăm cele trei exemple, obținem
$$\color{red}{\frac{1}{2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{4\cdot 5}}=\color{red}{\frac 1 2-\frac 1 3}+\color{blue}{\frac 1 3-\frac 1 4}+\color{green}{\frac 1 4-\frac 1 5}.$$
Și cum fracțiile care apar în mijlocul expresiei se reduc, căci unele sunt cu minus, iar altele cu plus, rămân doar cele două fracții, una de la început și cealaltă de la sfârșit. Adică
$$\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}=\frac 1 2-\frac 1 3+\frac 1 3-\frac 1 4+\frac 1 4-\frac 1 5=\frac 1 2-\frac 1 5.$$
Deci, este ca și cum am închide un tub telescopic de pescuit, motiv pentru care aceste sume se numesc „sume telescopice”. Așadar, pe viitor, veți ști să calculați sume de genul
$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots+\frac{1}{2017\cdot 2018},$$
adică sume de fracții cu numitori de numere consecutive.


Și lucrurile interesante nu se opresc aici. Numerele de la numitor nici nu trebuie să fie imediat consecutive, ci pot „merge și din doi în doi” ca să avem sumă telescopică. Haideți să vedem ce se întâmplă în acest caz. Avem, de exemplu,
$$\frac 1 1-\frac 1 3=\frac 3 3-\frac 1 3=\frac{2}{1\cdot 3}.$$
Apoi
$$\frac 1 3-\frac 1 5=\frac 5 {3\cdot 5}-\frac 3 {3\cdot 5}=\frac{2}{3\cdot 5}$$
și încă un exemplu
$$\frac 1 5-\frac 1 7=\frac 7 {5\cdot 7}-\frac 5 {5\cdot 7}=\frac{2}{5\cdot 7}.$$

Ce putem observa din aceste ultime trei exemple? Că dacă ni s-ar cere să calculăm suma $$S=\frac 2{1\cdot 3}+\frac 2{3\cdot 5}+\frac 2{5\cdot 7},$$ am putea scrie că $$S=\frac 1 1-\frac 1 3 +\frac 1 3-\frac 1 5+\frac 1 5-\frac 1 7=\frac 1 1-\frac 1 7=\frac 6 7.$$ Observați că și aici am redus fracțiile asemenea, iar suma s-a închis din nou precum un telescop, dispărându-i termenii din mijloc și rămânându-i doar capetele. Desigur, sper că ați fost atenți de data aceasta la $2$-ul acela de la numărător din suma inițială.

Așadar, acum vi se va părea mai ușor să înțelegeți cum am calculat suma în care numitorii „merg din trei în trei”, dată de $$S=\frac 3{1\cdot 4}+\frac 3{4\cdot 7}+\frac 3{7\cdot 10}+\frac 3{10\cdot 13}=\frac 1 1-\frac 1 {13}=\frac{12}{13}.$$

Aaa, dar ce ne facem dacă ni se cere o sumă de acest gen fără $3$-ul la numărător? Adică, ce ne-am face dacă ni s-ar cere să calculăm suma $$S=\frac 1{1\cdot 4}+\frac 1{4\cdot 7}+\frac 1{7\cdot 10}+\frac 1{10\cdot 13}?$$ Bineînțeles, am scrie această sumă sub forma $$S=\frac{1}{3}\left(\frac 3{1\cdot 4}+\frac 3{4\cdot 7}+\frac 3{7\cdot 10}+\frac 3{10\cdot 13}\right)$$ și am putea conclude atunci că $$S=\frac 1 3\left(\frac 1 1-\frac 1 {13}\right)=\frac 1 3\cdot\frac{12}{13}=\frac{4}{13}.$$


Dar nu pot să vă las din mână până nu vă mai spun că, de exemplu, suma $$S=\color{red}{\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}}$$ este și ea o sumă telescopică, chiar dacă are câte trei factori la numitor!
Căci ea se poate scrie ca $$S=\frac{1}{2}\left(\color{red}{\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot 5}}\right).$$
Și cu asta sper că v-am deschis un drum pe care să puteți merge și singuri atunci când veți avea de calculat asemenea sume interesante.