Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 26 iulie 2017

Sume telescopice


Există ceva interesant în legătură cu sumele, despre care vă voi povesti acum. Să observăm întâi că
123=1213,

căci 1213=3626=326=16=123.

Tot astfel, mai avem și
134=1314,

145=1415.

Deci, este ca și cum am putea spune că în asemenea cazuri înmulțirea fracțiilor are același efect ca și scăderea lor.

Și-acum să vedeți minunea. Dacă adunăm cele trei exemple, obținem
123+134+145=1213+1314+1415.

Și cum fracțiile care apar în mijlocul expresiei se reduc, căci unele sunt cu minus, iar altele cu plus, rămân doar cele două fracții, una de la început și cealaltă de la sfârșit. Adică
123+134+145=1213+1314+1415=1215.

Deci, este ca și cum am închide un tub telescopic de pescuit, motiv pentru care aceste sume se numesc „sume telescopice”. Așadar, pe viitor, veți ști să calculați sume de genul
112+123++120172018,

adică sume de fracții cu numitori de numere consecutive.


Și lucrurile interesante nu se opresc aici. Numerele de la numitor nici nu trebuie să fie imediat consecutive, ci pot „merge și din doi în doi” ca să avem sumă telescopică. Haideți să vedem ce se întâmplă în acest caz. Avem, de exemplu,
1113=3313=213.

Apoi
1315=535335=235

și încă un exemplu
1517=757557=257.


Ce putem observa din aceste ultime trei exemple? Că dacă ni s-ar cere să calculăm suma S=213+235+257,
am putea scrie că S=1113+1315+1517=1117=67.
Observați că și aici am redus fracțiile asemenea, iar suma s-a închis din nou precum un telescop, dispărându-i termenii din mijloc și rămânându-i doar capetele. Desigur, sper că ați fost atenți de data aceasta la 2-ul acela de la numărător din suma inițială.

Așadar, acum vi se va părea mai ușor să înțelegeți cum am calculat suma în care numitorii „merg din trei în trei”, dată de S=314+347+3710+31013=11113=1213.


Aaa, dar ce ne facem dacă ni se cere o sumă de acest gen fără 3-ul la numărător? Adică, ce ne-am face dacă ni s-ar cere să calculăm suma S=114+147+1710+11013?
Bineînțeles, am scrie această sumă sub forma S=13(314+347+3710+31013)
și am putea conclude atunci că S=13(11113)=131213=413.



Dar nu pot să vă las din mână până nu vă mai spun că, de exemplu, suma S=1123+1234+1345
este și ea o sumă telescopică, chiar dacă are câte trei factori la numitor!
Căci ea se poate scrie ca S=12(112123+123134+134145).

Și cu asta sper că v-am deschis un drum pe care să puteți merge și singuri atunci când veți avea de calculat asemenea sume interesante.

3 comentarii:

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.

Legături la toate articolele din blog



Postări populare