Să se calculeze integrală din logaritm natural

Se cere, deci, să calculăm $$\int \ln x dx.$$ După ce vom termina integrala, o vom pune rapid în tabelul nostru, dar cu mențiunea că pentru aceste integrale ceva mai complexe nu este suficient să memorați rezultatul, ci trebuie să memorați și metoda.

Integrala cerută este un bun exemplu de integrală ce trebuie calculată PRIN PĂRȚI. Mai exact, trebuie să folosim una dintre formulele de integrare prin părți:

• $\int f\cdot g'=f\cdot g-\int f'\cdot g$
• $\int f'\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g'$

Dar, vai, sub integrala noastră există o singură funcție, nu două. Atunci cum putem aplica integrarea prin părți? Nicio problemă. Facem un artificiu. Scriem că $\ln x=1\cdot \ln x$, căci orice funcție poate fi considerată ca fiind unu ori funcția respectivă. Așadar, integrala noastră devine $$\int \ln x dx=\int 1\cdot \ln x dx.$$

Următorul pas este să-l scriem pe $1$ ca fiind $x'$, ca să avem o integrală prin părți de toată frumusețea. Cu acest pas, integrala devine și mai frumoasă, adică  $$\int \ln x dx=\int 1\cdot \ln x dx=\int x'\cdot\ln x dx.$$

De aici încolo nu ne rămâne decât să aplicăm formula (a doua) de integrare prin părți, adică formula $\int f'\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g$ și vom obține:  $$\int \ln x dx=\int x'\cdot\ln x dx=x\ln x-\int x\cdot(\ln x)'dx.$$ Cum $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ și cum $x\cdot\frac{1}{x}=1$, căci se simplifică $x$, mai avem atunci  $$\int \ln x dx=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln x-\int 1 dx.$$

Dar $\int 1 dx=x$ plus constanta, deci avem răspunsul final:  $$\large{\color{red}{\int \ln x dx=x\ln x-x}+constanta}.$$

Și mă grăbesc să vă pun și acest rezultat în tabel, cu condiția să rețineți și metoda de calcul. O rețineți?