Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația $$\sqrt{169-x^2}=12.$$
În mulțimea numerelor reale? Hmmm... Bun. Atunci, înseamnă că expresia de sub radical nu are voie să fie negativă. Adică, trebuie să punem întâi CONDIȚII DE EXISTENȚĂ pentru necunoscuta $x$.
Radicalul (de ordin par) din CEVA dă soluții reale numai dacă CEVA-ul nu este negativ. Căci radical (de ordin par) din ceva negativ ne dă cu numere complexe (adică numere care îl conțin pe $i=\sqrt{-1}$).
Deci, vom pune și noi condiția ca expresia de sub radicalul nostru să nu fie negativă, adică $$169-x^2\geq 0.$$ Din această condiție noi vrem să ajungem la ceva de genul $x\leq ceva$ sau $x\geq ceva$.
Inecuația $$169-x^2\geq 0$$ se poate rezolva atât cu metoda generală (formă canonică, delta, rădăcini, tabel), cât mai ales printr-o metodă mai rapidă ce ține de forma concretă pe care o are deja această ecuație particulară drăguță și mică. Uitați cum voi face. Îl voi arunca întâi pe $x^2$ în dreapta (ca să scap de semnul său negativ). Voi obține, așadar, $$169\geq x^2.$$
Și cum din $a<b$ rezultă că $b>a$ (valabil pentru orice semn de inegalitate aș pune între literele $a$ și $b$), avem că inecuația noastră impusă de condiția de existență a radicalului a devenit $$x^2\leq 169.$$ Mai departe, inecuația cu necunoscuta la pătrat implică o inecuație cu modul (căci radical din $x^2$ este modul de $x$).
Așadar, inecuația noastră a devenit acum mai simplă: $$|x|\leq 13,$$ căci radical din 169 este 13. Și, după cum mai puteți găsi pe undeva pe blogul meu (din câte îmi amintesc acum), o inecuație cu modul ne dă drept soluții niște intervale. Dacă semnul este cu „mai mic”, atunci intervalul nu îl conține pe infinit (și nu are nici reuniune), ci este un interval simplu, închis dacă avem și egalitate și deschis dacă nu avem egalitate. Inecuația noastră va avea, deci, ca soluție intervalul închis $$[-13;13]$$ deoarece noi avem și egalul în inecuație. Acest interval ne spune unde trebuie să se afle soluțiile ecuației iraționale (cu radical) pe care am primit-o în problemă.
După ce am terminat cu munca laborioasă și parcă inutilă a condițiilor de existență, restul e floare la ureche. Ridicăm la pătrat ecuația dată, ca să scăpăm de radical. Obținem că $$\left(\sqrt{169-x^2}\right)^2=12^2,$$ adică $$169-x^2=144.$$ Arunc apoi termenii cu $x$ într-o parte și numerele în partea cealaltă și obțin $$169-144=x^2,$$ adică $$25=x^2$$ deci $$x^2=25.$$ Iar această ecuație are două soluții (fiind de gradul doi). Aceste soluții sunt $x_1=\color{red}{5}$ și $x_2=\color{red}{-5}$. Și ambele aceste soluții se află în intervalul pe care l-am găsit la studiul condițiilor de existență $[-13;13]$.
În general, cam așa rezolvăm ecuațiile iraționale: stabilim întâi condițiile de existență, apoi, dacă aceste condiții de existență sunt compatibile (se poate întâmpla ca din studiul condițiilor de existență să ajungem la concluzia că nu pot exista soluții, deci că mulțimea soluțiilor posibile este vidă, caz în care nu are rost să mai continuăm calculele de la pasul următor), atunci ridicăm la puterea corespunzătoare prin care să scăpăm de radicalii ce apar în ecuație, desfacem eventualele paranteze, restrângem termenii asemenea și rezolvăm ecuația obținută fără radicali (ecuația rămasă fiind de regulă (sau putând fi redusă la) o ecuație polinomială de gradul întâi sau de gradul al doilea).
În mulțimea numerelor reale? Hmmm... Bun. Atunci, înseamnă că expresia de sub radical nu are voie să fie negativă. Adică, trebuie să punem întâi CONDIȚII DE EXISTENȚĂ pentru necunoscuta $x$.
Radicalul (de ordin par) din CEVA dă soluții reale numai dacă CEVA-ul nu este negativ. Căci radical (de ordin par) din ceva negativ ne dă cu numere complexe (adică numere care îl conțin pe $i=\sqrt{-1}$).
Deci, vom pune și noi condiția ca expresia de sub radicalul nostru să nu fie negativă, adică $$169-x^2\geq 0.$$ Din această condiție noi vrem să ajungem la ceva de genul $x\leq ceva$ sau $x\geq ceva$.
Inecuația $$169-x^2\geq 0$$ se poate rezolva atât cu metoda generală (formă canonică, delta, rădăcini, tabel), cât mai ales printr-o metodă mai rapidă ce ține de forma concretă pe care o are deja această ecuație particulară drăguță și mică. Uitați cum voi face. Îl voi arunca întâi pe $x^2$ în dreapta (ca să scap de semnul său negativ). Voi obține, așadar, $$169\geq x^2.$$
Și cum din $a<b$ rezultă că $b>a$ (valabil pentru orice semn de inegalitate aș pune între literele $a$ și $b$), avem că inecuația noastră impusă de condiția de existență a radicalului a devenit $$x^2\leq 169.$$ Mai departe, inecuația cu necunoscuta la pătrat implică o inecuație cu modul (căci radical din $x^2$ este modul de $x$).
Așadar, inecuația noastră a devenit acum mai simplă: $$|x|\leq 13,$$ căci radical din 169 este 13. Și, după cum mai puteți găsi pe undeva pe blogul meu (din câte îmi amintesc acum), o inecuație cu modul ne dă drept soluții niște intervale. Dacă semnul este cu „mai mic”, atunci intervalul nu îl conține pe infinit (și nu are nici reuniune), ci este un interval simplu, închis dacă avem și egalitate și deschis dacă nu avem egalitate. Inecuația noastră va avea, deci, ca soluție intervalul închis $$[-13;13]$$ deoarece noi avem și egalul în inecuație. Acest interval ne spune unde trebuie să se afle soluțiile ecuației iraționale (cu radical) pe care am primit-o în problemă.
După ce am terminat cu munca laborioasă și parcă inutilă a condițiilor de existență, restul e floare la ureche. Ridicăm la pătrat ecuația dată, ca să scăpăm de radical. Obținem că $$\left(\sqrt{169-x^2}\right)^2=12^2,$$ adică $$169-x^2=144.$$ Arunc apoi termenii cu $x$ într-o parte și numerele în partea cealaltă și obțin $$169-144=x^2,$$ adică $$25=x^2$$ deci $$x^2=25.$$ Iar această ecuație are două soluții (fiind de gradul doi). Aceste soluții sunt $x_1=\color{red}{5}$ și $x_2=\color{red}{-5}$. Și ambele aceste soluții se află în intervalul pe care l-am găsit la studiul condițiilor de existență $[-13;13]$.
În general, cam așa rezolvăm ecuațiile iraționale: stabilim întâi condițiile de existență, apoi, dacă aceste condiții de existență sunt compatibile (se poate întâmpla ca din studiul condițiilor de existență să ajungem la concluzia că nu pot exista soluții, deci că mulțimea soluțiilor posibile este vidă, caz în care nu are rost să mai continuăm calculele de la pasul următor), atunci ridicăm la puterea corespunzătoare prin care să scăpăm de radicalii ce apar în ecuație, desfacem eventualele paranteze, restrângem termenii asemenea și rezolvăm ecuația obținută fără radicali (ecuația rămasă fiind de regulă (sau putând fi redusă la) o ecuație polinomială de gradul întâi sau de gradul al doilea).
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.