Sume telescopice

Există ceva interesant în legătură cu sumele, despre care vă voi povesti acum. Să observăm întâi că
$$\frac{1}{2\cdot 3}=\frac 1 2-\frac 1 3,$$
căci  $$\frac 1 2-\frac 1 3=\frac 3 6-\frac 2 6=\frac{3-2}{6}=\frac 1 6=\frac{1}{2\cdot 3}.$$
Tot astfel, mai avem și
$$\frac{1}{3\cdot 4}=\frac 1 3-\frac 1 4,$$
$$\frac{1}{4\cdot 5}=\frac 1 4-\frac 1 5.$$
Deci, este ca și cum am putea spune că în asemenea cazuri înmulțirea fracțiilor are același efect ca și scăderea lor.

Și-acum să vedeți minunea. Dacă adunăm cele trei exemple, obținem
$$\color{red}{\frac{1}{2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{4\cdot 5}}=\color{red}{\frac 1 2-\frac 1 3}+\color{blue}{\frac 1 3-\frac 1 4}+\color{green}{\frac 1 4-\frac 1 5}.$$
Și cum fracțiile care apar în mijlocul expresiei se reduc, căci unele sunt cu minus, iar altele cu plus, rămân doar cele două fracții, una de la început și cealaltă de la sfârșit. Adică
$$\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}=\frac 1 2-\frac 1 3+\frac 1 3-\frac 1 4+\frac 1 4-\frac 1 5=\frac 1 2-\frac 1 5.$$
Deci, este ca și cum am închide un tub telescopic de pescuit, motiv pentru care aceste sume se numesc „sume telescopice”. Așadar, pe viitor, veți ști să calculați sume de genul
$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots+\frac{1}{2017\cdot 2018},$$
adică sume de fracții cu numitori de numere consecutive.


Și lucrurile interesante nu se opresc aici. Numerele de la numitor nici nu trebuie să fie imediat consecutive, ci pot „merge și din doi în doi” ca să avem sumă telescopică. Haideți să vedem ce se întâmplă în acest caz. Avem, de exemplu,
$$\frac 1 1-\frac 1 3=\frac 3 3-\frac 1 3=\frac{2}{1\cdot 3}.$$
Apoi
$$\frac 1 3-\frac 1 5=\frac 5 {3\cdot 5}-\frac 3 {3\cdot 5}=\frac{2}{3\cdot 5}$$
și încă un exemplu
$$\frac 1 5-\frac 1 7=\frac 7 {5\cdot 7}-\frac 5 {5\cdot 7}=\frac{2}{5\cdot 7}.$$

Ce putem observa din aceste ultime trei exemple? Că dacă ni s-ar cere să calculăm suma $$S=\frac 2{1\cdot 3}+\frac 2{3\cdot 5}+\frac 2{5\cdot 7},$$ am putea scrie că $$S=\frac 1 1-\frac 1 3 +\frac 1 3-\frac 1 5+\frac 1 5-\frac 1 7=\frac 1 1-\frac 1 7=\frac 6 7.$$ Observați că și aici am redus fracțiile asemenea, iar suma s-a închis din nou precum un telescop, dispărându-i termenii din mijloc și rămânându-i doar capetele. Desigur, sper că ați fost atenți de data aceasta la $2$-ul acela de la numărător din suma inițială.

Așadar, acum vi se va părea mai ușor să înțelegeți cum am calculat suma în care numitorii „merg din trei în trei”, dată de $$S=\frac 3{1\cdot 4}+\frac 3{4\cdot 7}+\frac 3{7\cdot 10}+\frac 3{10\cdot 13}=\frac 1 1-\frac 1 {13}=\frac{12}{13}.$$

Aaa, dar ce ne facem dacă ni se cere o sumă de acest gen fără $3$-ul la numărător? Adică, ce ne-am face dacă ni s-ar cere să calculăm suma $$S=\frac 1{1\cdot 4}+\frac 1{4\cdot 7}+\frac 1{7\cdot 10}+\frac 1{10\cdot 13}?$$ Bineînțeles, am scrie această sumă sub forma $$S=\frac{1}{3}\left(\frac 3{1\cdot 4}+\frac 3{4\cdot 7}+\frac 3{7\cdot 10}+\frac 3{10\cdot 13}\right)$$ și am putea conclude atunci că $$S=\frac 1 3\left(\frac 1 1-\frac 1 {13}\right)=\frac 1 3\cdot\frac{12}{13}=\frac{4}{13}.$$


Dar nu pot să vă las din mână până nu vă mai spun că, de exemplu, suma $$S=\color{red}{\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}}$$ este și ea o sumă telescopică, chiar dacă are câte trei factori la numitor!
Căci ea se poate scrie ca $$S=\frac{1}{2}\left(\color{red}{\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot 5}}\right).$$
Și cu asta sper că v-am deschis un drum pe care să puteți merge și singuri atunci când veți avea de calculat asemenea sume interesante.

Arătați că rădăcina dublă a unui polinom este rădăcină și pentru derivata polinomului

Să notăm cu $P$ un polinom oarecare și cu $P'$ derivata acestuia. Apoi, să ne amintim că un polinom căruia îi cunoaștem rădăcinile (adică, numerele care îl anulează) poate fi scris ca un produs de paranteze cu acele rădăcini (căci un produs de paranteze se anulează doar atunci când cel puțin una dintre paranteze se anulează). De exemplu, polinomul $X^2-5X+6$, ale cărui rădăcini sunt $x_1=2$ și $x_2=3$, poate fi scris ca un produs de paranteze cu aceste rădăcini, adică avem $$X^2-5X+6=(X-2)(X-3).$$

Așadar, în general, un polinom de gradul $n$ poate fi scris ca un produs de $n$ paranteze cu cele $n$ rădăcini $x_1,\,x_2,\dots,\,x_n$, astfel: $$\color{blue}{aX^n+bX^{n-1}+\dots+c=a(X-x_1)(X-x_2)\dots(X-x_n)}.$$

Dar ce înseamnă „rădăcină dublă”? Înseamnă că acea rădăcină apare de două ori, deci apare în două paranteze. Mai înseamnă atunci că paranteza care o conține apare la puterea a doua. De exemplu, polinomul de gradul trei $X^3-X^2-8X+12$ are rădăcina dublă $x_1=x_2=2$, motiv pentru care el poate fi scris astfel: $$X^3-X^2-8X+12=ceva\cdot(X-2)^2.$$ Pentru acest polinom de gradul trei, $ceva=X+3$.

Prin urmare, în general, un polinom $P$ care are rădăcina dublă $x_1=x_2=d$ va putea fi scris astfel: $$P=ceva\cdot(X-d)^2.$$ Dacă rădăcina ar fi triplă, atunci paranteza ar apărea la puterea a treia. Și așa mai departe.

Sper că ați înțeles până aici cam care este legătura dintre multiplicitatea unei rădăcini și exponentul parantezei în care apare acea rădăcină.

Acum să vedem ce se întâmplă dacă derivăm polinomul $P$ care are rădăcina dublă $d$. Cum $P=ceva\cdot(X-d)^2$, înseamnă că derivata acestui polinom va fi derivata unui produs, deci vom aplica formula pentru derivata produsului, despre care știm că este $$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'.$$

Concret, $$P'=ceva'\cdot(X-d)^2+ceva\cdot[(X-d)^2]'.$$

Pe $[(X-d)^2]'$ îl putem calcula în două moduri: ori desfacem paranteza și derivăm termen cu termen, ori folosim mai bine și mai elegant proprietatea că $$(u^2)'=2u\cdot u'.$$ Astfel, $$[(X-d)^2]'=2(X-d)\cdot(X-d)'=2(X-d),$$ căci $(X-d)'=1$.

Prin urmare, $$P'=ceva'\cdot(X-d)^2+ceva\cdot 2(X-d).$$

Acest rezultat ne permite să observăm că dacă în locul necunoscutei $X$ din polinomul $P'$ punem rădăcina $d$, obținem anularea lui $P'$. Așadar, rădăcina dublă a lui $P$ este rădăcină și pentru $P'$. Adică exact ceea ce am dorit să arătăm.

De aici, mai departe, un elev isteț va trage concluzia că rădăcina triplă a unui polinom este de asemenea rădăcină atât pentru prima derivată a polinomului, cât și pentru cea de-a doua derivată a acestuia. Adică, în general, o rădăcină cu multiplicitatea $n$ a unui polinom este rădăcină de asemenea și pentru toate derivatele polinomului până la ordinul $n-1$ inclusiv. Dar, atenție!, ea nu mai este rădăcină pentru derivata de ordinul $n$ a polinomului, căci atunci multiplicitatea ei ar fi $n+1$, nu $n$.

Această proprietate este utilă atunci când vi se cere să determinați un polinom cu câțiva coeficienți necunoscuți în condițiile în care știți că un anumit număr este rădăcină multiplă a polinomului respectiv. 

Dacă, de exemplu, polinomul $P$ are trei coeficienți necunoscuți, atunci vi se va da o rădăcină cu multiplicitatea doi, pe care o veți înlocui în necunoscuta $X$ a lui $P$, a lui $P'$ și a lui $P''$ și veți obține un sistem de trei ecuații cu cei trei coeficienți necunoscuți ai polinomului, din care sistem va rezulta soluția problemei.

Teorema generalizată a restului

Având în minte problema pe care am primit-o acum trei zile la titularizare, vreau să vă vorbesc puțin despre polinoame și teorema restului.

Să presupunem că avem de rezolvat următoarea problemă:
Să se determine restul împărțirii polinomului $f=(X-1)^{10}+(X-2)^{12}$ la polinomul $g=X^2-5X+6$.

Dacă împărțim un polinom de gradul 100 la un polinom de gradul 73, restul împărțirii va avea gradul 72. Observați, deci, că gradul restului este mai mic cu o unitate decât gradul împărțitorului. Așadar, în cazul nostru, cum împărțitorul are gradul doi, înseamnă că restul va avea gradul unu. Dacă împărțitorul avea gradul trei, restul nostru avea gradul doi și problema era mai complicată puțin decât aceasta.

Dar ce grad ar fi avut restul dacă împărțitorul însuși ar fi avut gradul unu? Desigur, cu o unitate mai mică decât unu, deci gradul restului ar fi fost zero. Dar polinom de gradul zero înseamnă, de fapt, un număr, așadar, în acest caz foarte special și simplu, restul este un număr.

Să revenim deocamdată la problema noastră. Deci, restul problemei noastre are gradul unu. Este o informație prețioasă despre restul pe care trebuie să-l găsim. Altceva nu știm deocamdată despre acest rest, decât că este de gradul unu, o informație foarte prețioasă, de altfel, căci ne scutește de alte speculații privind complexitatea problemei. 

Dar cum arată un polinom de gradul unu pe care nu îl cunoaștem? Bineînțeles, un polinom de gradul unu are necunoscuta la puterea unu și atunci el nu poate arăta decât așa: $R=aX+b$  cu numerele $a$ și $b$ necunoscute. De aici încolo, problema rămâne doar să determinăm aceste două numere necunoscute.

Și cum putem determina, de regulă, două numere necunoscute? Cu un sistem de două ecuații și două necunoscute. Dar cum vom obține acel sistem? Ce informație matematică ne poate construi sistemul respectiv? Teorema împărțirii cu rest. Fără această teoremă am fi stat mult și am fi privit în zadar problema.

Această teoremă a împărțirii cu rest ne spune foarte clar că deîmpărțitul $D$ este egal cu câtul $C$ înmulțit cu împărțitorul $Î$ și adunat cu restul $R$. Mai exact, teorema împărțirii cu rest ne spune, deci, că 
$$D=C\cdot Î+R.$$  

La noi $D=f$, $Î=g$ și $R=aX+b$, $C$ fiind un polinom necunoscut pe care l-am putea găsi dacă am face efectiv împărțirea lui $f$ la $g$. Și cum nu ni se cere acest polinom ciudat $C$ („C” vine de la „cât”, nu de la „ciudat” :D  ), noi nu are rost să-l luăm în calcul, ci, dimpotrivă, trebuie să facem ceva ca să scăpăm de polinomul acesta enervant $C$, care ne stă în coaste.

Ok, bine, bine, vedem noi teorema împărțirii cu rest, dar cum ne ajută aceasta să găsim sistemul necesar care să ne dea numerele $a$ și $b$, în așa fel încât să scăpăm și de pacostea reprezentată de polinomul $C$? Răspunsul la această întrebare este unul eliberator. Și tare m-aș bucura să vi-l amintiți la examene.

Nu uităm, deci, că vrem să scăpăm cumva de polinomul $C$. Dar observăm că polinomul $C$ este lipit de polinomul $Î$ prin înmulțire. Și cum despre polinomul $Î=g$ știm totul, pentru că ni s-a dat că $g=X^2-5X+6$, înseamnă că știm și cum să-l anulăm. Căci dacă-l anulăm pe $Î$, atunci facem să dispară orice este lipit de el prin înmulțire, căci zero înmulțit cu un alt polinom va fi tot zero. 

Iată, deci, care a fost șmecheria: să ne folosim de rădăcinile lui $Î$, despre care știm că îl anulează pe $Î$ (căci aia înseamnă „rădăcină”, numărul care face ca polinomul să se anuleze, deci numărul care pus în locul  lui $X$ ne dă zero).

Dar voi știți să găsiți rădăcinile lui $g=X^2-5X+6$, cu delta sau cu Viète, așa că nu voi insista aici, căci în mod sigur am vorbit despre așa ceva undeva, pe blogul meu, deja sau au vorbit alții, mai pe înțelesul vostru, poate, în altă parte. Deci, veți găsi că rădăcinile lui $g$ sunt $x_1=3$ și $x_2=2$ (produsul lor trebuie să ne dea 6, iar suma lor 5).

Cu aceste informații în minte, ne reamintim că teorema împărțirii cu rest ne spune că $D=C\cdot Î+R$, lucru care se poate scrie și mai amănunțit, folosindu-ne de necunoscuta $X$, $$D(X)=C(X)\cdot Î(X)+R(X).$$

Orice am pune în locul lui $X$ (deci chiar și rădăcinile lui $g$), relația dată de teorema împărțirii cu rest rămâne valabilă. Așadar, este valabil și faptul că   $$D(x_1)=C(x_1)\cdot Î(x_1)+R(x_1).$$

V-ați prins de idee? Observați acum cât de utile sunt rădăcinile lui $g$? Haideți să facem calculul de mai sus, ca să obținem ceva și mai curat. Cum $x_1=3$, cum $D=f$, $Î=g$ și $R=aX+b$, avem, deci, că $$f(3)=C(3)\cdot g(3)+a\cdot 3+b.$$

Și cum $g(3)=0$, căci $3$ este una dintre rădăcinile lui $g$, va rezulta că și $C(3)\cdot g(3)=C(3)\cdot 0=0$. Iată, deci, de ce nu ne-a păsat cum arată polinomul $C$, pentru că știam că vom găsi o metodă să scăpăm de el. Așadar, obținem atunci ceva și mai frumos și anume: $$f(3)=0+3a+b.$$

Dar pe $f(3)$ știm să-l calculăm. Căci $$f(3)=(3-1)^{10}+(3-2)^{12}=2^{10}+1=1025.$$  

Așadar, am obținut că $$1025=3a+b,$$ ceea ce reprezintă tocmai prima ecuație a sistemului căutat de două ecuații cu două necunoscute.

Similar, pentru a doua ecuație ne vom folosi de a doua rădăcină a lui $g$ și vom obține
$$D(x_2)=C(x_2)\cdot Î(x_2)+R(x_2),$$ adică
$$f(2)=C(2)\cdot g(2)+a\cdot 2+b.$$ Cum $$f(2)=(2-1)^{10}+(2-2)^{12}=1,$$ obținem cea de-a doua ecuație drăguță a sistemului, adică $$1=2a+b.$$ Această ecuație, pusă lângă ecuația precedentă $1025=3a+b$, va constitui un sistem de două ecuații cu două necunoscute 
$$\begin{cases}3a+b=1025\\2a+b=\,\,\,\,\,\,\,1\end{cases},$$

pe care îl puteți rezolva ușor cu una dintre metodele pe care le știți deja, adică cu metoda substituției, reducerii sau Cramer (recomand, desigur, metoda reducerii aici). Rezolvând sistemul (scăzând, de exemplu, din prima linie pe cea de-a doua), obținem că $a=1024$ și $b=-2047$. 

Așadar, restul căutat va fi $$\color{red}{R=aX+b=1024X-2047}.$$

Ce ziceți, facem o mică recapitulare? Ca să vedem de ce este vorba despre teorema generalizată a restului. 

Așadar, dacă împărțitorul are gradul $n$, atunci restul are gradul $n-1$. În acest caz, pentru a determina restul, ne trebuie un sistem de $n$ ecuații cu $n$ necunoscute, necunoscute ce reprezintă tocmai coeficienții restului. Cele $n$ ecuații ale sistemului se obțin cu ajutorul celor $n$ rădăcini ale împărțitorului, rădăcini ce vin înlocuite în relația dată de teorema împărțirii cu rest.

Cel mai simplu caz este acela în care împărțitorul are gradul unu, caz în care el are o singură rădăcină (să o notăm cu $a$), restul este de gradul zero, deci este un simplu număr, notat cu $r$, iar „sistemul” de $n$ ecuații devine, de fapt, o singură ecuație care spune că $$f(a)=r,$$ deci ne spune că restul împărțirii este tocmai f(a). Aceasta este teorema simplă a restului, negeneralizată. Cea generalizată este pentru împărțitor de grad mai mare decât unu.

Așadar, în general putem spune atunci că restul $R$ al împărțirii unui polinom $D$ de grad mai mare decât $n$ la un polinom $Î$ de grad $n$ este dat de un sistem de $n$ ecuații cu $n$ necunoscute (aceste necunoscute sunt tocmai coeficienții restului căutat) care sistem se obține prin folosirea relației $D(X)=C(X)\cdot Î(X)+R(X)$ pentru fiecare dintre cele $n$ rădăcini (deci, prin înlocuirea necunoscutei $X$ cu rădăcinile lui $Î(X)$).