Suma cuburilor este pătratul sumei lui Gauss

Știți că suma lui Gauss ne spune, de exemplu, că $$1+2+3+...+7=\frac{7\cdot 8}{2}.$$

Așadar, suma primelor n numere naturale este semiprodusul dintre ultimul număr și succesorul său, fapt care se poate exprima prin formula $$1+2+3+\dots n={\color{blue}{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}}.$$

Apoi, suma pătratelor se poate exprima printr-o formulă asemănătoare, la care se mai înmulțește o fracție simplă:

$$1^2+2^2+3^2+\dots n^2={\color{blue}{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}}\cdot\frac{2n+1}{3}.$$

Dar cea mai interesantă dintre toate este suma cuburilor, care se scrie drept:

$$1^3+2^3+3^3+\dots n^3=(1+2+3+\dots n)^2=\left[{\color{blue}{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}}\right]^2!$$

Vă dați seama ce interesantă este această relație? Adică ea ne spune, de exemplu, că: 

$$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2!$$

Minunată-i Matematica asta!