Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 11 noiembrie 2015

Triunghiul echilateral


Cel mai frumos triunghi posibil este triunghiul echilateral. El este cel mai simetric triunghi. „Echi” înseamnă că ceva acolo este egal, iar „lateral” înseamnă că e vorba despre laturi. Așadar, triunghiul echilateral are toate cele trei laturi egale una cu cealaltă. 

Bineînțeles, dacă ne strofocăm să discutăm extraordinar de riguros, atunci trebuie să spunem că laturile triunghiului echilateral sunt congruente, nu egale, căci numai numerele sunt egale unul cu celălalt, nu și figurile geometrice. Dar noi n-o să facem acum abuz de atâta rigurozitate și vom spune în continuare că laturile triunghiului echilateral sunt toate egale, pentru că ne adresăm mereu începătorului în ale matematicii, începător pe care nu trebuie să-l sperii cu noianul de complexitate cu care poate fi abordată matematica și căruia trebuie să-i prezinți de fapt o față simplă a matematicii, o față esențială.








Datorită aceste proprietăți minunate de a avea laturile egale, triunghiul echilateral suportă consecințele. Pentru el coincid toate centrele și toate liniile interesante. Mai exact, în triunghiul echilateral centrul de greutate este exact acolo unde se află și celelalte centre, adică exact în centrul cercului circumscris, în centrul cercului înscris și în ortocentrul triunghiului.

De asemenea, mediana unui asemenea triunghi este totodată și mediatoare și bisectoare și înălțime. Vă dați seama câte bunătăți sunt adunate împreună într-unul și același triunghi?

În plus, dacă tăiem fix în două părți egale un asemenea triunghi echilateral, obținem două triunghiuri dreptunghice speciale pentru care este valabilă așa-numita „teorema 30, 60, 90” (pe care o învață cei mici, cei care încă nu s-au lovit de funcțiile trigonometrice), teoremă care spune că în acel triunghi dreptunghic cateta mică este jumătate din ipotenuză.

În fine, mai vreau să vă vorbesc despre încă două lucruri interesante pentru triunghiul echilateral: aria și înălțimea. Și vreau să vă vorbesc de ele împreună, pentru că formulele lor seamănă foarte mult.

Astfel, formula pentru aria triunghiului echilateral este 
$$A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4},$$
pe când înălțimea aproape că rezultă din arie dacă facem în formula precedentă „simplificarea cu 2” (desigur, e o „simplificare” simbolică, atenție!)
$$h=\frac{l\sqrt{3}}{2}.$$

Nu-i așa că cele două formule pot fi reținute mai ușor împreună? Dacă o uitați pe una, v-o puteți aminti din cealaltă.

Oare ce-a mai rămas nespus despre acest triunghi frumos?