Compararea puterilor

Dacă vi s-ar cere să comparați numărul $2$ cu numărul $3$, problema ar fi extrem de simplă și ați răspunde automat că $2<3$.

Mai departe, dacă, fiind elevi de gimnaziu (când încă nu ați învățat complicații legate de puteri cu baze fracționare) vi s-ar cere să comparați $2^\color{red}{5}$ cu $3^\color{red}{5}$, din nou, răspunsul nu ar fi greu de dat, din moment ce exponentul puterilor ce trebuie comparate este același.

În fine, dacă bazele puterilor ar fi aceleași, din nou ar fi simplu să comparăm cele două puteri. De exemplu, putem compara ușor $\color{blue}{5}^2$ cu $\color{blue}{5}^3$, prin simpla comparare a lui $2$ și $3$.


Însă, apar probleme atunci când cele două puteri care trebuie comparate nu au nici baza identică și nici exponentul. Cum facem în acest caz? Cum comparăm, de exemplu, puterile $$2^{33}\text{ și }3^{22}?$$

Bineînțeles, nu le putem compara direct. Nu știm să comparăm puteri care nu au nici aceeași bază și nici măcar același exponent. Deci, va trebui să piscălim ceva, să modificăm ceva, acolo unde se poate modifica, în așa fel încât sau baza să devină aceeași pentru ambele puteri, sau exponentul să devină același. 

Și, unde se poate modifica ceva în puterile pe care le avem ca exemplu? Păi, bazele celor două puteri ($2$ și, respectiv, $3$) sunt prea simple ca să le mai putem modifica cumva, în vreun fel care să ne poată ajuta.

Atunci, haideți să ne gândim la exponenți. Nu cumva putem aduce niște modificări interesante celor două numere aflate la exponent ($33$ și, respectiv, $22$)? Nu observăm ceva comun la aceste două numere?

Cum să nu? Observăm că ambele numere sunt multipli ai lui $11$. Mai exact, $33=3\cdot 11$, iar $22=2\cdot 11$.

Hmmm... Interesant! Și la ce ne ajută această descoperire? Păi, să vedem. Puterile noastre vor arăta acum puțin mai altfel. Vom avea de comparat acum $$2^{3\cdot 11}\text{ și }3^{2\cdot 11}.$$

Dar acum mai trebuie să știm că avem o proprietate faină a puterilor în care găsim exponenți înmulțiți între ei. Mai exact, avem proprietatea $$\color{red}{a^{b\cdot c}=(a^b)^c}.$$

Acum avem tot ce ne trebuie ca să putem compara pe $2^{33}$ cu $3^{22}$. Căci, facem $$2^{3\cdot 11}=(2^3)^{11}=8^{11}.$$

Adică, din $2^{33}$ am obținut $8^{11}$.

Cealaltă putere devine și ea ceva cu exponentul $11$. Adică $$3^{22}=3^{2\cdot 11}=(3^2)^{11}=9^{11}.$$

Prin urmare, dintr-o problemă complicată în care a trebuit să comparăm două puteri ciudate, care nu aveau nici aceeași bază și nici același exponent, am reușit să obținem o problemă mult mai simplă în care comparăm două puteri cu același exponent, problemă a cărei rezolvare este evidentă.

Așadar, când primiți puteri ciudate pe care trebuie să le comparați, încercați să găsiți în ele ceva comun.