Faceți căutări pe acest blog

duminică, 16 august 2015

Ipotenuza este dublul medianei corespunzătoare



Să presupunem că primiți următoarea problemă: 

Într-un triunghi dreptunghic ABC, dreptunghic în A, lungimea medianei duse din vârful A este egală cu 8 centimetri. Se cere lungimea ipotenuzei.

Desigur, din titlu vă puteți da seama că ea va fi dublul lui 8, adică 16 centimetri. Dar să vedem de ce este așa.

Pentru aceasta, vom desena un cerc de centru O, vom trasa un diametru oarecare (verde), adică o coardă oarecare, dar care trece prin cercul centrului, diametru pe care îl vom nota cu BC, după care vom alege un punct (de asemenea) ARBITRAR, deci oarecare, oriunde pe cerc, punct pe care îl vom nota cu A (de la ARBITRAR?).

Atunci, triunghiul ABC este DREPTUNGHIC în A.

Așadar, atât triunghiul ABC din figura 1 este dreptunghic,
Figura 1.

cât și triunghiul ABC din figura 2 este, de asemenea, dreptunghic.

Figura 2.

Figura 2 diferă de figura 1 prin faptul că am deplasat punctul A mai spre dreapta pe cerc. Și, cu toate că am deplasat acest vârf, triunghiul ABC rămâne, totuși, dreptunghic în A.

Aceasta se întâmplă deoarece unghiul sub care se vede diametrul de pe cerc este un unghi drept. Deci, un observator care se află pe cerc și privește diametrul va constata, dacă măsoară cu un raportor, că unghiul dintre raza vizuală trimisă în B și raza vizuală trimisă în C este mereu de 90 de grade, oriunde s-ar afla observatorul pe cerc.




Dar minunea nu se oprește aici. Căci are loc și o minune inversă. Adică, minunea inversă o putem formula astfel: ipotenuza unui triunghi dreptunghic este TOCMAI DIAMETRUL cercului circumscris acelui triunghi.

Acum suntem aproape de final. Căci putem trage concluzia de care avem nevoie. Mai exact, din moment ce ipotenuza triunghiului nostru dreptunghic este diametrul cercului circumscris (deci, al cercului care trece prin toate vârfurile triunghiului), atunci mijlocul ipotenuzei este tocmai centrul cercului circumscris.

Cum mediana dusă din vârful A (cea care ni se dă în problemă, ca fiind egală cu 8 centimetri) unește acest vârf A cu mijlocul ipotenuzei, înseamnă că mediana este egală tocmai cu raza cercului, căci orice segment care unește un punct de pe cerc cu centrul cercului este o rază.

Prin urmare, ipotenuza, care este tocmai un diametru, este egală cu două raze puse una după alta. Așadar, rezultă ceea ce trebuia demonstrat (prescurtat „cctd”), adică rezultă că ipotenuza este dublul medianei corespunzătoare ipotenuzei.


Într-un alt articol puteți găsi o altă demonstrație a acestei proprietăți, fără utilizarea cercului circumscris.